Целочисленное моделирование макропроцессов: древние и современные подходы

ВВЕДЕНИЕ. Понятие числа как качественная категория никогда не исчезало из культуры. Числовые знаки-символы, принятые в каждом культурном ареале, сопровождают человека на протяжении всей жизни и воспринимаются как само собой разумеющееся. Позиции числа «пошатнулись» в современной науке, признающей возможность его использования только для измерения количества. Предлагаемый подход призван вернуть качественным применениям числа подобающее место как в современной науке, так и культуре посредством непредвзятого рассмотрения.

ИСТОРИЯ ВОПРОСА. Проблема соотношения количественных и качественных методов анализа – одна из важнейших проблем научного познания, которая остаётся открытой и на сегодняшний день. Для пифагорейского и платоновского видения реальности ключевым было понятие числа, но оно понималось как качественная категория. Именно с этой категорией Аристотель связывал возможность глубинного познания мира. Ограниченность математических методов, постулируемая Аристотелем, может быть усмотрена именно в ограничениях, которые действуют в отношении количественных методов. C появлением теории множеств, теории вероятности и логарифмических методов анализа изменилось представление о количественных методах анализа, стало возможным обобщённое отображение данных. Аналогичным образом в физике термодинамика не описывает всей совокупности взаимодействий между молекулами газа, чего следовало бы ожидать в рамках применения рациональных методов, основанных на эксперименте и математических методах анализа, а только характеризует состояние системы на определённый момент времени. При построении физических моделей в целом в первую очередь предпринимается выявление наиболее значимых механизмов, которые определяют качественные особенности процессов, затем проводится разработка математической модели: составление уравнений в частных производных, определение начальных и/или краевых условий с последующим созданием алгоритмов и программ, а затем в собственно компьютерное моделирование. Данный подход предполагает по умолчанию гладкость искомых функций (как минимум, дважды дифференцируемость), по крайней мере, для средних значений искомых параметров.

Математическая модель позволяет провести качественный и количественный анализ описываемых явлений. По мере накопления экспериментальных сведений, которые подтверждают математическую модель, производится её уточнение. Однако в случае её опровержения приходится создавать новую физическую модель.

МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ. В настоящей статье рассматриваются древние и современные 10-элементные модели, отражающие структуру бытия и макропроцессов. В качестве предпосылок исследования выступают анализ Д. В. Денисовым способов реализации 8-элементных циклов в художественных текстах и в исторических процессах1, а также способов реализации 10-элементной модели в ходе освоения восьми функциональных зон (основных и промежуточных сторон света) в функционально-топологическом анализе, предложенном коллективом соавторов в составе Д. В. Денисова, М. Ю Журавлёва, Н. Ю. Медведевой2.

На сегодняшний день целочисленное моделирование – одно из перспективных, динамично развивающихся направлений математического программирования, направленного на решение задач экономического планирования, организации производства и исследования конфликтных ситуаций, в котором команды задаются целыми числами. Первым шагом по моделированию деятельности была оптимизация Ф. Гилбертом движений рабочего до 18 микроэлементов (14 действий, 4 перерыва) посредством видеосъёмки на заводах Форда в 1920-е годы. Применение этого подхода привело к трёхи четырёхкратному повышению производительности труда. В настоящее время система микроэлементов деятельности является основой для программирования роботов для автоматизации производства. Из 18 микроэлементов Гилберта в робототехнике используются 16 базовых (например: искать, найти, выбрать, протянуть руку, переместить руку с грузом, нажать…)3.

Разные способы структурирования 10-элементной целостности отражают уровни её системной организации. Три из них были предприняты в древности в разных направлениях философии числа: античной, индийской и иудейской.

Тетрактис Пифагора имеет вид простой арифметической прогрессии, относительно которой выделяются четыре начала: трансцендентное – Монада (о), трансцендентальное – Дуада (оо), познающее – Триада (ооо), Тетрада (оооо) – начало, рассматриваемое как основание множественности:

1 + 2 + 3 + 4 = 10 (1).

Саанхкья – древнейшая из шести индийских философских систем, насчитывающая 25 элементов бытия, выделяет группу из 9 высших и группу из 16 низших элементов (сравни выше с количеством операций в робототехнике). Первую группу составляют два начала: Сознание ( скр. purusha, букв . ‘человек; высочайший дух’) – эл. 25 и Природа ( скр. prakRti) – эл. 24, структурированная восьмичастно, где элементы с 23-го по 17-й – её немодифицируемые модификации ( скр. prakRti-vikRtayaH)⁴. Данное структурное решение аналогично спектральному разложению дневного света на семь призматических цветов. В формуле 2 порядковые номера саанкхьи с 25-го по 16-й приводятся в подстрочнике:

I 25 + (II 24 … IX 17 ) + X 16 = 10 (2).

Десятый элемент– элемент Ум ( скр. manas, эл. 16) – приобщён как к 10-, так и к 16-элементной группе. В формуле 2 он выступает в качестве опосредующего, т. е. познающего начала (X 16 ), но в тет-рактисе Пифагора (формула 1) – его атрибут «власть» ( f властных полномочий; см. об этой функции далее).

Древо Сефирот иудейской каббалы объединяет сефиры, эманации божества в триады, трёхэлементные целостности, посредством которых они и становятся доступными для человеческого восприятия:

(I + II + III) + (IV + V + VI ) + (VII + VIII + IX) + X = 10 (3).

Пример такого объединения имеет место в обобщённом восприятии времени, требуемого для выполнения отдельных действий, когда реальные временные затраты значительно превышают запланированное время: в два раза – при решении относительно простых практических задач, в три раза – при выполнении задач особой важности. Современные аналоги древних целочисленных концепций получают процентное или десятичное выражение (формула 6).

Л.Я. Жмудь, рассматривая акустические эксперименты Пифагора, говорит о значимости для выражения гармонических интервалов чисел 1, 2, 3, 4, составляющих пифагорейскую тетраду. Для образования интервала октава требуется сравнение звучания целой струны (число 1) и её половины (число 2). Интервал кварта возникает при сравнении звучания целой струны с звучанием её ¾, а интервал квинта – со звучанием её 2/3. Эти опыты, а также присутствие в акусматической традиции (акусмы – религиозные правила пифагорейской общины) уподоблений чисел и понятий (справедливость – четвёрка, брак – пятёрка, здоровье – семёрка и т. п.) закрепили арифмологические представления, присутствовавшие уже у Гомера, Гесиода, в народных поверьях и в псевдогиппократовском трактате «О седмерицах», в котором число семь служит своеобразным структурным принципом, способным организовать всё многообразие мира. Подводя итог двухстраничного экскурса, Л. Я. Жмудь отмечает: «Гуманитарная наука XIX и в особенности ХХ в. не раз становилась свидетелем энергичных и по большей части бесплодных попыток найти числовую закономерность и сверхстройную структуру там, где они отсутствуют»1.

В большем объёме и без материалистических идеологических установок обращение к тематике числа происходило в трудах А. Ф. Лосева по античной эстетике. Свобода и естественность, с которой А. Ф. Лосев обращался к теме числа объяснялась стремлением к осмыслению того, как категория числа воспринималась в античный период в контексте действовавших на тот момент представлений. Именно А. Ф. Лосевым был переведён и опубликован трактат Ямвлиха «Теологумены арифметики»2.

Представления об упорядочивающей силе числа были в древности популярны и служили одним из факторов установления порядка и гармонии в обществе. Так, даже теорема Пифагора вплоть до III в. до н. э. служила только средством математического выражения идеи (утопии) равенства в рамках аристократии3. В нашем применении формула 4, представляющая базовое решение формулы теоремы Пифагора, выражает соотношение 9 (32) высших и 16 (42) низших элементов саанкхьи:

32 + 42 = 52 (4).

Линия раздела между высшей и низшей группами может быть установлена относительно золотого сечения (Ф = 1,6180339887…):

9,549151 + 15,450850 ≈ 25 (5), где 15,450850 = 25 : Ф, а 9,549151 = 15,450850 : Ф. В формуле 5 одна единица оказывается распределённой между двумя слагаемыми в совершенном согласии с саанкхьей, наделяющей элемент «Ум» двумя природами и функцией посредничества. Доля «высшей» составляющей преобладает в этом «срединном» элементе (см. выделение двойным подчёркиванием)4.

Символы, включая числовые, – часть культуры, изучаемой целым рядом гуманитарных дисциплин, в том числе такой межпредметной дисциплиной, как культурология. Данное направление представлено монографическим исследованием А. И. Степанова «Число и культура: Рациональное бессознательное в языке, литературе, науке, современной политике, философии» (2004). На восьмистах страницах автор подробно рассматривает реализацию числовых моделей в сферах, отражённых им в названии работы. Степанов отмечает, что революция в точных науках имела следствием пересмотр самих представлений о числе: из философии, истории, искусства и искусствоведения, из гуманитарных и социальных наук были изгнаны сознательные математические приёмы, включая применявшиеся столетиями. «Число всё более отчуждается и выражает теперь только количество»5. Резуль- татом этого стала ситуация глубочайшего разрыва между естественнонаучным и точным знанием, с одной стороны, и гуманитарным, с другой.

На этом фоне эксцентричным выглядит упомянутый выше функционально-топологический анализ архитектурных ансамблей1, представляющий собой попытку установления «числовых закономерностей и сверхстройных структур» во всех результатах человеческой деятельности, будь то пространственные объекты, тексты, история или концепции исторических процессов, против чего так активно выступал Л. Я. Жмудь. Ещё более «дерзкими» представляются: 1) соотнесение Д. В. Денисовым элементов этой 10-элементной матрицы с первыми десятью десятичными значениями числа π2, 2) описание в соавторстве с Д. С. Гариповым мифологической картины мира с помощью математических чисел и физических констант3; 2) анализ в соавторстве с Н.М. Латыповой распределения помещений отечественного вуза4 на предмет выявления действия 10-элементной модели.

Авторы этих исследований не только констатируют факты использования числовых моделей для обобщения явлений, но и используют их для моделирования реальных процессов. В основу матрицы пространственной организации ими было положено представление материального начала в саанкхье в виде восьми элементов. Д. В. Денисов предложил волновую концепцию, в которой в виде восьмиэлементных циклов (волн, фаз) представляются все три элемента декады: трансцендентное, трансцендентальное и познающее (формула 2). Будучи включёнными в фазовое движение со смещением в один шаг, они и составляют 10-элементную модель: фаза А 1 – с 1-го по 8-й, фаза В 1 – со 2-го по 9-й, фаза С 1 – с 3-го по 10-й элементы. Общее число элементов этих трёх фаз, равное 24, сопоставимо с количеством материальных элементов саанкхьи, а 25 элемент (purusha «Сознание», букв . «человек»), трансцендентное начало, становится направляющим (духовным) элементом. Таким образом трансцендентное присутствует в данном решении в двух видах: в виде единичного, недоступного познанию внешнего элемента и в виде первой восьмиэлементной фазы⁵.

Восьмиэлементный цикл, рассматриваемый как модель природных процессов в целом и процессов самоорганизации в частности, представляется Д. В. Денисовым как две четырёхэлементные парадигмы, первая из которых логическая, охватывающая начало процесса (этапы 1–2) и его завершение (этапы 7–8), а вторая соотносится со сферой обретения опыта, т. е. практикой (этапы 3–6). Разница между элементами логической парадигмы и «сферой обретения опыта» (т. е. удваиваемой парадигмой) заметна при переходе к пятистадиальной модели, в которой элементы исходной парадигмы получают статус отдельных стадий (1-й этап переходит в стадию А; 2-й этап – в стадию В; 7-й этап – в стадию D; 8-й этап – в стадию Е), а четыре центральных этапа (с 3-го по 6-й) обобщаются как центральная стадия цикла (стадия С)6, имеющая содержанием конфликт сущностностных характеристик четырёх основных стадий.

Характеристики элементам 10-элементной модели авторы «Первоначал…» присваивают на основе анализа существующих восьмеричных систем: а) система восьми ступеней звукоряда (анализ гармонических интервалов); б) цветовой круг П. Маркова, включающий три основных, три дополнительных, черный и белый цвета1; в) периодическая система химических элементов; г) на основе анализа геополитических оппозиций и представлений об уникальных характеристиках секторов пространства, бытующих в разных культурах. Подход этого авторского коллектива согласуется с концепцией тектологии А. А. Богданова (1913–1929 гг., вновь открыта в 1960-х), посвященной единым принципам организации вещественных и духовных объектов. Характеристика задач тектологии, предложенная В. И. Макаровым, актуальна и для функционально-топологического анализа: «Задача тектологии – систематизировать организационный опыт всех наук. Она должна выяснить, какие способы самоорганизации наблюдаются в природе и в человеческой деятельности. Затем она должна обобщить и систематизировать эти способы, объяснив их при этом, выявить закономерности. При обобщении опыта придётся считаться с фактами бесконечно разнообразными, часто принадлежащими к самым далёким одна от другой областям, отыскивать единство организационных приёмов там, где оно маскируется крайним различением элементов, к которым они применяются»2.

В настоящее время право на столь широкие обобщения закреплено только за синергетикой, в которой и обнаруживаются удивительные схождения с древними числовыми схемами, скрытые посредством процентных соотношений и десятичной записи. Именно такое схождение наблюдается в фрактально-кластерной модели сложных систем В. Т. Волова (СамГУПС). Основываясь на главных положениях неравновесной термодинамики И. Пригожина и на так называемых фрактальнокластерных соотношениях В. П. Бурдакова³, В. Т. Волову удалось показать, что эволюционирующие системы самого различного происхождения⁴ содержат пять групп характеристик, определяемых как кластеры ( англ . cluster «группа, рой, пачка, скопление, сгусток, связка»)⁵. Подкластеры первых двух уровней фрактально-кластерной модели, образующие квадратную матрицу 5 х 5, структурно и количественно сближаются с 25-элементной моделью саанкхьи⁶, подкластеры трех первых уровней – с 5-, 25- и 125-элементной моделью бытия иудейской каббалы⁷. Пример фрактально-кластерной модели третьего уровня дают 125 районов г. Москвы, входивших в десять административных округов г. Москвы с 1990-х по 2010-е годы.

Группы фрактально-кластерной модели связаны в формуле 6 в относительных единицах значениями, выявленными В. П. Бурдаковым: информационный (0,06), технологический (0,13), экологический (0,16), транспортный (0,27), энергетический (0,38) кластеры. Относительно минимального значения – 0,06 могут быть установлены целочисленные соотношения, сопоставимые со структурой тетрактиса Пифагора:

(0,06 + 0,13 + 0,16 + 0,27) + 0,38 = 1 (6), (1 + 2 + 3 + 4) + 6 = 16 (7).

Сравнение элементов левой части формулы 6 показывает, что значение, закреплённое за технологической группой, примерно в 2 раза превосходит значение, связанное с информационной группой, значение экологической группы – почти в 3 раза , значение транспортной группы – чуть более, чем в

4 раза , а энергетическая группа – представлена 6-кратным значением. Данная прогрессия обнаруживает тенденцию, представленную в тетрактисе Монадой (I), Дуадой (II), Триадой (III) и Тетрадой (IV), что позволяет установить следующие соответствия: 1) информационную составляющую (затактовая функция) соотнести с функцией трансцендентной Монады; 2) материально-технологическую составляющую – с функцией трансцендентальной Дуады; 3) экологическую составляющую – с разумностью Триады, позволяющей снижать негативные последствия любого технологического цикла; 4) транспортную составляющую – с Тетрадой, атрибут которой «основание множественности», т. е. множество приобретает на данном этапе пространственный характер.

Характеристика Пентады (V) «равновесие» подразумевает равновесие двух начал Дуады и Триады. Пятый элемент формулы 6, который позиционно соотносится с античной Пентадой, определяется В. П. Бурдаковым как энергетический кластер и представлен скачком в значениях от 0,27 % к 0,38 %. Тем самым создаётся предпосылка для передачи идеи, выражаемой Пентадой, понятием «энергетический кластер».

Правая часть формулы 6, представленная значением «1», символизирует собственно целостность, определяемую как фрактально-кластерная модель сложных систем. Правая часть формулы 7 представлена значением «16», присутствующим в древних символах имперской власти (хризантема в Китае и Японии; лотос в Индии), в саанкхье – это число низших материальных элементов. Во всех применениях число «16» символизирует некую систему, подлежащую эффективному управлению. Значение «1» формулы 6 и значение «16» формулы 7 – шестой порядковый элемент этих формул, который в предпринимаемом сравнении соотносим с Гекадой (VI) тетрактиса Пифагора, характеризуемой как «сила, оживляющая и гармонизирующая мир, искореняющая беспорядок, принуждающая материю к упорядоченным изменениям»1. Данному атрибуту соответствует понятие «устойчивое развитие».

Отсутствие седьмого элемента в формуле 6 объясняется относительно тетрактиса Пифагора атрибутами Гептады (VII) «критический момент, случай», «отсутствие протяжённости», актуализирующими необходимость отстаивания ранее завоёванных позиций (атрибут «сильная крепость»). В отношении к модели устойчивого развития Гептада, взятая в качестве элемента, дополняющего формулы 6 и 7, символизирует фактор негативных воздействий или фактор случайности. Таким образом, можно констатировать, что модели устойчивого развития как мифологического, так и современного естественно-научного характера реализуют некий универсальный алгоритм.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Предложенный авторами подход представляет собой попытку обоснования наличия «числовых закономерностей и сверхстройных структур» в результатах человеческой деятельности. Во-первых, проведённый анализ позволил установить наличие общего универсального алгоритма как мифологических моделей, так и современных моделей устойчивого развития. Во-вторых, в ходе анализа была предложена волновая интерпретация базовой трёхэлементной модели, в результате чего был выявлен механизм перехода как к 10-элементной модели, объединяющей в фазовом движении три 8-элементные фазы, каждая из которых представляет цикл самоорганизации, так и к 24-элементной, соответствующей 24 материальным элементам саанкхьи. В-третьих, был предложен способ вывода 10-элементной модели тетрактиса из фрактально-кластерной модели сложных систем В. Т. Волова.

• 1.    Бурдаков, В. П. Эффективность жизни. – М.: Энергоиздат, 1997. – 304 с.

• 2.    Волов, В.Т., Китаев, Д.Ф. Синергетика как базовая методология гуманитариев. – Самара: Изд-во Самарск. науч. центра Рос. акад. наук, 2005. – 276 с.

• 3.    Волов, В.Т. Вероятностный фрактально-кластерный закон возникновения биологических организмов // Известия Самарского научного центра РАН. Социальные, гуманитарные, медикобиологические науки. – 2017. – Т.19, № 5–2. – С. 242–247.

• 4.    Волов, В.Т. Фрактально-кластерная теория и термодинамические принципы управления сложными системами. - Известия Самарского научного центра РАН. Социальные, гуманитарные, медикобиологические науки. – 2002. – Т. 4, № 1. – С. 113–120.

• 5.    Волов, В.Т. Фрактально-кластерный подход к описанию фундаментальных закономерностей развития биоло-

  гических организмов // Известия Самарского научного центра РАН. Социальные, гуманитарные, медикобиологические науки. – 2018. – Т. 20, № 5-2. – С. 204–213.

• 6.    Денисов, Д.В., Журавлев, М.Ю., Медведева, Н.Ю. Естественно-научные аспекты функциональнотопологической модели: инженерно-транспортные объекты // Наука и образование транспорту: материалы Х Международной научно-практической конференции (2017, Самара) «Наука и образование транспорту». – Т. 2. – Самара: СамГУПС, 2017. – С.143–149.

• 7.    Денисов, Д.В. Макроалгоритмы развития: первоначала бытия как фактор ритмической организации, повествования и исторического процесса (на примере древнеиндийской сāнкхьи) // Вестник Мордовского университета. – 2015. – Т. 25, № 3. – С. 121–128.

• 8.    Денисов, Д. В., Гарипов, Д.С. Математические величины и физические константы как первопринципы древности // «Наука и культура России», XII Междунар. научно-практич. конф. – Самара: СамГУПС, 2016. – С. 63–68.

• 9.    Денисов, Д.В. Семантика десятичных знаков числа пи в контексте древнеиндийской философии числа // Аспирантский вестник Поволжья. – № 3–4. – 2013. – С. 21–30.

• 10.    Денисов, Д. В., Журавлёв, М.Ю., Медведева, Н.Ю. Функционально-топологическая модель освоения пространства (на примере площади Славы г. Самары, Самарской конурбации и исторической части г. Санкт-Петербург) // Аспирантский Вестник Поволжья. – 2015. – № 7–8. – С. 34–40.

• 11.    Жмудь, Л.Я. Пифагор и его школа. – Л.: Наука, Ленингр. отд., 1990. – 192 с.

• 12.    Игнатьев, М. Б. Кибернетическая картина мира: Сложные киберфизические системы. – СПб.: ГУАП, 2014. – 472 с.

• 13.    Ильин, И. А. Эстетика гармонии и числа // История искусства и эстетика: избр. статьи. – М.: Искусство, 1983. – 288 с.

• 14.    Лайтман, М. Учение Десяти Сефирот / М. Лайтман. Серия «Каббала. Тайное учение». – М.: НПФ «Древо Жизни», Изд. группа kabbalah.info, 2003. – 640 c.

• 15.    Латыпова, Н. М., Денисов, Д.В. Философия числа и вероятностная модель распределения помещений вуза (на примере СамГУПС) // «Наука и культура России», XII Междунар. научно-практич. конф. – Самара: СамГУПС, 2016. – С. 78–83.

• 16.    Лосев, А. Ф. История античной эстетики. Последние века. Книга 2. – М.: Изд-во АСТ, 2000. – 544 с.

• 17.    Лунный свет Санкхьи / Пер. с санскр. и комм. В.К. Шохина. – М.: Ладомир, 1995. – 326 с.

• 18.    Макаров, В. И. Философия самоорганизации. – М.: Кн. дом «ЛИБРОКОМ», 2014. – 432 с.

• 19.    Марков, П. Об акварели или живописи водяными красками. – М.: Моск. гос. специализированная школа акварели С. Андрияки, 2001. – 170 с.

• 20.    Первоначала как фактор организации и освоения пространства: генезис, число, топология, вероятность, классификация: монография / под общ. ред. Д.В. Денисова. – Самара: Изд-во СамГУПС; Книжное издательство, 2016. – 352 с.

• 21.    Степанов, А. И. Число и культура: Рациональное бессознательное в языке, литературе, науке, современной политике, философии, истории. – М.: Языки славянской культуры, 2004. – 832 с.

THE INTEGER MODELING OF MACROPROCESSES: ANCIENT AND MODERN APPROACHES