Численные решения дисперсионных уравнений электромагнитных волн в ограниченных продольно-намагниченных гиротропных эллиптических областях

Известно, что направление поворота поляризации электромагнитной волны (ЭМВ) в продольно-намагниченной гиротропной ограниченной области не зависит от направления распространения волны и изменяется на обратное при изменении направления постоянного намагничивания. Это свойство, являющееся проявлением невзаимности, используется в сверхвысокочастотных ферритовых устройствах поляризационного или фарадеевского типа [1,2].

ЭМВ, распространяющаяся в регулярной эллиптической ограниченной области, имеет меньшее затухание, чем в прямоугольной и круглой при равных периметрах поперечного сечения [3].

Кроме того, эллиптическая форма поперечного сечения позволяет сохранять положение плоскости поляризации волны по отношению к сечению в отличие от круглой, у которой плоскость поляризации волны неустойчива и зависит от распределения деформации ее сечения по длине [3].

Целью настоящей работы является вывод и численное решение дисперсионных уравнений ЭМВ в продольно-намагниченных эллиптических областях для выявления особенностей распространения волн в указанных областях.

Вывод дисперсионных уравнений

Уравнения Максвелла для гармонических процессов без наведенных токов и зарядов имеют вид [1]:

rotH = jw s E ; rotE = - jwB ;

divE = 0; divB = 0,

где E,H – соответственно напряженности электрического и магнитного полей; s - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, sE = D -электрическая индукция, B – магнитная индукции, j – мнимая единица, w – циклическая частота.

При распространении волны в магнитогиротропной среде магнитная индукция B в системе (1) примет следующий вид:

B =| И ^Н .

При продольном намагничивании, когда направление внешнего намагничивающего постоянного магнитного поля совпадает с направлением распространения ЭМВ (волна распространяется вдоль координаты Z), тензор магнитной проницаемости феррита, как следует из [1], имеет вид:

И j K 0

IIи| 1= - jK    И     0 ,                              (3) 0      0    И| где ww И = И 0 + И 0 2    2 , w 0 - w к = И0 WwM 2 , Wm = И0YM0, Y = 1.76*1011 Кл -w 2 - w2                             кг гиромагнитное отношение для спина электрона, w0 = и0YH0 - частота ферромагнитного резонанса, И0 — магнитная постоянная, М0 - намагниченность феррита, Н0 – намагничивающее внешнее магнитное поле.

Знаки перед н едиагональными компонентами в (3) могут быть проти- воположными, если взять к = - и 0

wwM

2 w 0 ²

-

w 2 .

Для получения выражений для поперечных компонент электромагнитного поля (ЭМП) в [4] на основе уравнений Максвелла был разработан метод инвариантных преобразований (МИП).В результате применения МИП к ограниченной продольно-намагниченной эллиптической области в работе [4] были получены выражения для поперечных ЭМП:

где _  jya2 1 ГдE   wц c2 дHz  jw2£k <дEz   у дHz) Ei=                   +                                            1, g+g- ed di    у a2 дф    a2 V дф   w£ di J F _  jYa 1 dEz  wц c dHz , jw £k pEz   у dHz) Еф =                                                      1                        1                 1 , g+g- ed ^ дф y a di a v di w£ дф JJ jYa2 1 Г w£ dE dHz jw2£k ( w£ dE dHz )! Hi =^-г-т+       1+      1 , g+g2 ed Y дф   di     a2 V Y di   дф J jYa2 1 Г w£ dE   dH, jw2£k ( w£ dE   dH,) zz    zz Иф =   22,     as 1 a '    2       a     as 1, g+g- ed ^ Y Si   дф    a V Y дф   di J i, ф - поперечные координаты эллиптической системы координат, e - фокусное расстояние эллипса, у - постоянная распространения, 2   2  22   22  222  2  2

d = С h i i - cos ф , a = w ц 11 £ - у = w ц£ - у , g ± = w £ц ± w £ k - у ,

2    2 ц

С = w £ —

—

k

—

ц

Y ².

Ранее в работе [5], используя МИП, были получены уравнения Гельм- гольца гибридных ЕН и НЕ волн соответственно:

E • ' + e2d2 (w £ц± - Y Ez - je2d2 Yw ^Hz = 0, di    дф                                ц

d 2 H₇ d 2 H₇     2 2 ^ 2        ^ц || 2 ^           2 ,2 k

---+--- Z + e ² d ² w² £ц -y ² H_z + je ² d ² y w e — E_z = 0,

_ di2     дф2 v 1 ц J Ц Z

где ц± =

ц ² - k²

ц

Краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнений (5) имеют вид: 'E_z e C ² ( G ) n C ( d G ) ;

E_z = 0 на границе ограниченной области G ( d G )

и

'Hz e C2 (G )n C1 (d G);

d H,

—— = 0 на границе ограниченной области G ( d G ) , Id n

где G - ограниченная область, dG - граница ограниченной области, C(G) - непрерывные на G функции, C1 (G) - непрерывно дифференци руемые на G функции, C2 (G) - дважды непрерывно дифференцируемые на G функции, n - нормаль к границе ограниченной области dG.

Для решения уравнений Гельмгольца (5) с условиями (6) и (7) применим метод, предложенный в [6]. Затем, подставив полученные решения в (4) и применив граничные условия в виде E z = Е _ф = 0 на бесконечно проводящей внутренней поверхности ограниченной эллиптической области, получим следующее дисперсионное уравнение:

где k 1 = w ² sц _± ,

^Г ,2     2 ⁴ q 1 ) ⁴ q 2 Ce m ⁽ ^ 0 , q 1 ) Г , 2     2 ⁴ q 2 ) ⁴ q 1 Ce m ⁽ ^ 0 , q 2 )

-I k 1 - ^У --Г I~77—77---A + | ^k 1 - Y --Г I T 77—77---A ⁺

V e ² J e ² Ce m ( ^ O , q 1 ) I e ² J e ² Ce m ( ^ o , q 2 )

Y2 ska2 Л.Л, + j ц 2 cem (ф, q 2 ) -cem (ф, q 2 ) . Y3 wsk ’+j ц2 cem (ф, q 1 ) Л - cem (ф, q 1 ) 1 1= (8) - cem (ф, q 1) cem (ф, q 1 ) - cem (Ф, q 2 ) Л cem (ф, q 2 ) 2 cem (ф, q 12) - четные обыкновенные функции Матье I рода целого порядка m и их производные cem (ф, q12); Cem (^, q 1,2) - чет- ные присоединенные (модифицированные) функции Матье I рода (с целым индексом) и их производные Cem (5, q 12), £0- граничный эллипс,

q =

2 7        2    .          ^k

e I k1 - y -ЛxYws —

V ц

^и q 2 =

k!- Y Y

V

- Л 2 Yws — ц

- параметры

функций Матье, А .. ^- корни уравнения

^k , 2 .       2

YWS— Л2 + W ^8Ц« ц

V

^ц ||    2        2

--Y - w sц ± ц

^

+ Y

J

k

Л - y w ^ | — = 0. ц

Известно, что в ограниченных эллиптических областях распространяются четные и нечетные волны [7]. Выражение (8) описывает распространение четных волн. Для получения дисперсионного уравнения для нечетных волн в (8) надо сделать следующую замену:

Ce ( ^ 0 , ^q 1,2 ) ^ ^Se ( ^ 0 , ^q 1,2 ) , Ce ( ^ 0 , ^q 1,2 ) ^ ^Se ( ^ 0 , ^q 1,2 ) ; ce ( ф ,q^ ) ^ se ( Ф , q^ ) , ce ( ф ,q^ ) ^ se ( ф , q_xa ) ,

где Se(^0,q 1,2)»Se U.;, q 12) - нечетные присоединенные (модифицированные) функции Матье I рода (с целым индексом) и их производные, se(ф, q 1,2), se' (^, q12) - нечетные обыкновенные функции Матье I рода целого порядка m иих производные.

Графики численных решений

Так как дисперсионные уравнения (8) не решаются аналитически, то их анализ проводился численно. Для этого был составлен комплекс программ на основе программного пакета Maple. Полученные результаты по- зволяют проводить численный анализ дисперсионных уравнений (8) для различных сечений ограниченной эллиптической области и степени гиро-тропии заполнения.

На рисунке 1 представлены графики зависимостей постоянных распространения γZ от напряженности намагничивающего магнитного поля kZ w0 для гиротропной эллиптической области при продольном намагни-w чивании с длиной большой полуоси s=0,016 м и эксцентриситетом E=0,75 при частоте w =6,28 ⋅1010 Гц и намагниченности феррита wM = 0,15 ⋅w.

На рисунке 1 нижние индексы «С» и «S» означают четную и нечетную моды, верхние индексы «+» и «–» означают правое и левое направления вращения, каждая цифра нижних индексов «11» и «12» определяет число полуволн, укладывающихся вдоль поперечных координатных осей эллиптической ограниченной области: первая цифра означает периодич- w ность поля по координате ϕ, а вторая – по ξ. При 0 = 1 наступает фер-w ромагнитный резонанс (на рис. 1 – вертикальная пунктирная линия).

- ^                             К = 0 75, ^ (1(Н6«