Дифференциальное уравнение типа Клеро в частных производных со степенной функцией

Предлагаемая вниманию читателя научная статья посвящена изучению дифференциальных уравнений в частных производных типа Клеро. Класс этих уравнений широко известен и подробно описан в курсах теории обыкновенных дифференциальных уравнений [1–3] и теории дифферен- циальных уравнений в частных производных [4-6]. Основные определения и алгоритм получения общего решения приведен нами для описания концептуальных положений теории. Общее решение дифференциальных уравнений типа Клеро в частных производных представляет собой семейство линейных функций, однако поиск особых решений уравнений типа Клеро привлекает внимание исследователей, так как до сих пор нет единого алгоритма их получения. В аспекте проблематики нашего исследования представляют интерес следующие работы [7-10]. Проведенные в них исследования внесли заметный вклад в развитие подходов к поиску особых решений уравнений типа Клеро. По-прежнему актуальной остается проблема поиска особого решения для конкретных функций. Настоящая статья посвящена проблеме нахождения особого решения уравнений типа Клеро в частных производных, правая часть которого имеет вид степенной функции от произведения n-независимых переменных.

1 Общие сведения

В теории дифференциальных уравнений в частных производных изу чают уравнения вида:

V"1 ду

у -L ^xi = v i=1дx

^ ду ду v дхт дx 2

5xn)

где у = у ( x ₁, x ₂,..., x_n ) . Уравнения вида (1) называют уравнениями типа

Клеро [4-6] в частных производных. Сделаем замену -ду = zt (x), дxi i = 1,2,...,n. Тогда уравнение (1) в новых обозначениях примет вид:

n у = L zx + ^(z 1,z2»-»zn ).                 (2)

I = 1

Продифференцируем уравнение (2) по переменным x i , i = 1,2,..., n :

У z

L Isx

д x ,

• x^j + z, —j + '' д x i

ду дz, дzj дx ,

= z .

д x,                                                  »

Учтем, что —- = 5j, где 5, — символ Кронекера и L zjSj = zi, дx                                                         ,=1 ■ д,

^L дx,

ду дz,

+ z = z.

После приведения подобных получаем систему уравнений:

ⁿ Llr j. , = 1 ^д x (

+ 5V 1 = 0. 5zj )

д z j

Общее решение исходного уравнения (1) получается, когда —-^ 0, дх, i, j = 1,2,...,n , следовательно, все zj = Сj, где Сj — произвольные постоянные. Это согласуется с системой уравнений (5). Таким образом, общее решение уравнения (1) запишем в виде:

У ^{( х} _р x 2 ,..., x n ) = £ ^С Л + У ⁽ C 1 , ^C 2 ^,...^, C n ).           ⁽⁶⁾

I = 1

д z j                      д z j

— невырожденная , тогда выражение в

Если —- ^ 0 и матрица —-дх ,                       дх, круглых скобках системы (5) обращается в ноль:

^д ^ ⁽ Z„ Z 2 ,..., Z „ )

^х , +----------------- = ° i = 1,2,..., n .             ⁽⁷⁾

^д z

Если система уравнений (7) имеет вещественные решения и величины z , выражаются как функции от аргументов х 1 , х ₂,..., x n , то уравнение (1) имеет особое решение : n

У = ^ Xz, ( ^х ) ⁺ v ( ^z 1^{( х} ), ^z 2^{( х} Х--, ^z n ( ^х ) ) .             (8)

i = 1

Здесь для краткости использованы следующие обозначения:

z , ( х ) = z , ( х„ х 2 ,..., х_п ),         i = 1,2,..., n .               (9)

• 2 Поиск особых решений

• 2.1    Поиск особых решений для функции у в виде произведения двух сомножителей

Актуальность поиска особых решений уравнений типа Клеро в частных производных, отмечалась в недавних работах [7; 8]. В своей работе поиск особых решений будем проводить для функции у ( z 1 , z ₂,..., z n ) специального вида.

Предположим, что функцию у ( z 1 , z ₂,..., z_n ) можно представить в виде произведения функций: z 1 ■ z ₂ ■ ... ■ z_n в произвольной степени a . Для начала рассмотрим частные случаи выбора n = 2,3,4 , а затем воспользуемся методом математической индукции и обобщим полученные результаты для произвольного n е ¥ .

Предположим, что функцию у можно представить в виде произведения двух сомножителей: z 1 ■ z ₂

у ( z„ z ₂) = Д ( z 1 ■ z ₂) “ , (10) где а , в — произвольные ненулевые вещественные числа. Система (7) примет вид:

X 1 + a3 ■ z 2 ( z 1 ■ z 2 ) ^{a - 1} x ₂ + a3 ■ z 1 ( z 1 ■ z ₂ ) ^{a 1}

Выражаем из системы (11) произведение z_x ■ z ₂

= 0,

= 0.

z 1 ■ z 2 =

2 x ■ x₂

1 (3

2 a - 1

Так же из системы (11) можно найти произведение x_t ■ z _х , г = 1,2:

x 1 ■ z 1 = x ₂ ■ z ₂ = - ae ( z 1 ■ z ₂ ) ^a .

Подставляем (13) в выражение (8), получаем:

a

(                A 2 a - 1

У = (1 - 2 a ) в ( - 1 )

2 x ■ x₂

,

a ф — .

Выражение (14) является особым решением уравнения (1) для случая n = 2 . Данный результат является известным и описан в литературе [9].

2.2 Поиск особых решений для функции у в виде произведения трех сомножителей

Предположим, что функцию у можно представить в виде произведе-

ния трех сомножителей: z 1 ■ z ₂ ■ z ₃:

У ⁽ z 1 , z 2 , z э ) = ^{в (} z 1 ■ z 2 ■ z 3 ^{) a} .

Система (7) примет вид:

x 1	+ a3	z 2	z 3 ( z 1 ■ z 2 ■ z 3 ) a -	= 0,
x 2	+ a3	z 1	z 3 ( z 1 ■ z 2 ■ z 3 ) a -	= 0,	(16)
x 3	+ a3	z 1	z 2 ( z 1 ■ z 2 ■ z 3 ) a -	= 0.

Выражаем из системы (16) произведение z 1 ■ z ₂ ■ z ₃

Г                     А ■

Z • Z • Z = z 1 z 2 z 3

3 x 1 ■ x ₂ ■ x 3 ( a3 ) ³

Так же из системы (16) можно найти произведение x_t ■ z _х , г = 1,2,3 : x 1 ■ z_x = x ₂ ■ z ₂ = x ₃ ■ z ₃ = - ae ( z 1 ■ z ₂ ■ z ₃ ) ^a

Подставляем (18) в выражение (8), получаем:

a

(                     А 3 a - 1

у = (1 - 3 a ) в ( - 1 )

3 x 1 ■ x ₂ ■ x 3 ( a3 ) ³

,

1 a ф -.

Выражение (19) является особым решением уравнения (1) для случая n = 3. Полученный результат ранее не был описан в литературе и является новым.

• 2.3    Поиск особых решений для функции у в виде произведения четырех сомножителей

Предположим, что функцию у можно представить в виде произведе ния четырех сомножителей: zi ■ z2 ■ z3 ■ z4

V ⁽ z i , z 2 , z 3 , z 4 ) = ^{P (} z i ■ z 2 ■ z 3 ■ z 4 ) “ .

Система (7) примет вид:

^X i + ttp ■ z 2 ■ z з ■ z 4 ( z i ■ z 2 ■ z з ■ z 4 ) “ — 1 = 0, x 2 + «Р ■ z i ■ z з ■ z 4 ( z i ■ z 2 ■ z з ■ z 4 ) “ — 1 = 0, x з + ap ■ z i ■ z 2 ■ z 4 ( z i ■ z 2 ■ z з ■ z 4 ) “ — 1 = 0, x ₄ + aP ■ z _i ■ z ₂ ■ z ₃ ( z _i ■ z ₂ ■ z ₃ ■ z ₄ ) ^{a i} = 0.

Выражаем из системы (2i) произведение z _i ■ z ₂ ■ z ₃ ■ z ₄

<                 >  4 a^

z • z • z • z = zi z 2 z 3 z 4

4 X i ■ X 2 ■ X 3 ■ X 4 ( aP ) 4

Так же из системы (2i) можно найти произведение X i ■ z i , i = i, 2,3,4 :

^X i ■ ^z i ^X 2 ■ ^z 2 ^X 3 ■ ^z 3 ^X 4 ■ ^z 4      ^aP ⁽z i ■ z 2 ■ z 3 ■ z 4 ) *           ⁽²³⁾

Подставляем (23) в выражение (8), получаем:

y = (i - 4a)в (-i)

4 X i ■ X 2 ■ X 3 ■ X 4 ( aP ) 4

a

4 a - i

,

a ^ —.

Выражение (24) является особым решением уравнения (1) для случая n = 4 . Полученный результат также ранее не был описан в литературе и является новым.

• 2.4    Обобщение полученных результатов для функции у в виде произведения n сомножителей

Для обобщения полученных результатов, рассмотрим случай, когда функцию у можно представить в виде произведения n -сомножителей:

У ⁽ z i , z 2 ^,...^, z n ) = ^{P (} z i ■ z 2 ■ ..* ■ z n ^{) a} *                           ⁽²⁵⁾

Система (7) примет вид:

x + ар ■ z 2 ■ z з ■ ... ■ z n ( z_x ■ z 2 ■ ... ■ z n ) a ^{- 1} = 0

x 2 + aP ■ z , ■ z з ■ ... ■ z n ( z i ■ z 2 ■ ... ■ z n ) a ^{- 1} = 0

...

x n + aP • z , • z 2 • ... • z n - 1 ( z , • z 2 • ... • z n ) a ^{- 1} = ⁰

Выражаем из системы (26) произведение z1 ■ z2 ■... ■ zn z1 z 2 ... zn

и I

1 n a x ₁ ■ x ₂ ■ ... ■ x_n И ) n J

Так же из системы (26) можно найти произведение x_t ■ z _t , г = 1,2,

n :

x 1 ■ z 1 = x 2 ■ z 2 = ... = x n ■ z n = ^-aP ⁽ z 1 ■ z 2 ■ ... ■ z n ^{) a} .

Подставляем (28) в выражение (8), получаем:

y = (1 - na)p (-1)

,n x 1 ' x 2 ■ ... ■ x n И ) n

a na-1

,

. 1 a * —.

n

Выражение (29) является особым решением уравнения (1) для произвольного случая n е ¥ . Формула (29) является центральным результатом данной работы и ранее не рассматривалась в литературе.

Заключение

Полученное в данной работе особое решение (29) уравнение типа Кле-ро в частных производных (1), со специальной правой частью, представленное выражением (25), по нашему мнению, можно рассматривать как новый результат в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Заметим, что из найденного особого решения (29), при n = 2, следует ранее полученное особое решение в работе [9]. Из этого можно судить о правильности полученного результата и корректности сделанного обобщения.

Об актуальности полученных в настоящей работе результатов для теории дифференциальных уравнений в частных производных можно судить по большому количеству статей, посвященных нахождению особых решений уравнений типа Клеро (см., например, [7-10]). Однако поиск особых решений для конкретных функций остается малоразработанным и представляет собой перспективное направление для дальнейших исследований.