Динамика стержневой большой орбитальной космической системы цепочечной структуры
Автор: Вертипрахов И.А., Остапенко Е.Н., Репьях Н.А.
Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi
Рубрика: Механика. Математическое моделирование
Статья в выпуске: 4 (12), 2012 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается математическая модель большой орбитальной космической системы (БОКС) цепочечной структуры. Приведено исследование движения 5-массовой системы. Предполагается, что длины стержней и массы точек равны. Система совершает движение в плоском центральном гравитационном поле. Приведено описание последовательных состояний системы в транспортирующей системе координат на промежутке одного оборота системы вокруг гравитационного центра.
Центральное гравитационное поле, голономная орбитальная система, транспортирующая система координат
Короткий адрес: https://sciup.org/14729817
IDR: 14729817
Текст научной статьи Динамика стержневой большой орбитальной космической системы цепочечной структуры
Особенностью поведения космических систем рассматриваемого вида является хаотический характер вращательных движений стержней в механической системе с большим числом степеней свободы. На параметры этого движения определяющее влияние оказывают массы точек, длины стержней, нелинейность гравитационного поля и дифференциальных уравнений движения системы и, естественно, начальные условия при численном моделировании [1, 2, 3].
1. Описание механической системыВывод уравнений движения
Рассматривается движение механической системы, состоящей из M (i = 1,2,..., n +1) материальных тел, соеди ненных последовательно n невесомыми стержнями с длинами lj (j = 1, 2,..., n). Тела принимаются за материальные точки мас-
сами m; ( i = 1, 2,..., n + 1 ) . Точки движутся в плоскости в центральном гравитационном поле. Длины стержней достаточно велики и такие, что позволяют называть систему S , образованную точками m , БОКС – большой орбитальной космической системой цепочечной структуры.
Движение механической системы S происходит под действием сил притяжения G к Земле:
-
- Mm. -
- Gi = -Y —3^Ri, (i = 1,2,..., n +1), (1) Ri
где у - гравитационная постоянная, M -масса Земли, m – масса i -го тела, R – радиус-вектор i -го тела. Сила G направлена от i -го тела к центру Земли.
Для построения математической модели движения БОКС рассматриваемой структуры введем неподвижную связанную с Землей систему координат OXY и зададим обобщенные координаты системы. Положение первого тела будем определять радиус- вектором R (t) и углом его поворота v(t) относительно оси OX . Положения остальных тел зададим углами рj (j = 1,..., n) отклонения стержней l относительно оси OX (рис. 1).
M 1 :
M :
X j = R ( t ) cos v ( t ) , yx = R ( t ) sin v ( t ) , x2 = X j + l j cos ^ ( t ) , . y 2 = y 1 + 1 i sin ^ 1 ( t ) ,

Рис. 1. Большая орбитальная космическая система цепочечной структуры
M n + 1 :
u i , ( i = 1
'x n + 1 = x n + l n cos ^ n ( t ) , . У п + 1 = У п + l n sin P n ( t ) -
Из равенств (4) определяются скорости
,...,
тел системы и значение
кинетической энергии T системы S :
u i = X\ + yi , n + 1 1 n + 1 , .
T = Z T . = 7 Z m i ( X 2 + y 2 ) , ■ (5)
i = 1 2 i = 1
( i = 1
,...,
Обобщенные силы Q определяются проекциями гравитационных сил Gi :
G xi
Mm x
—Y R
—
Mm x ■ Y / ,
Система S имеет в рассматриваемом случае n + 2 степени свободы, соответственно вектор-строка обобщенных координат q , описывающая положение механической системы, имеет n + 2 координаты qk :
q = { R ( t ) v ( t\ P 1 ( t \ —, Pn ( t )} • (2)
G yi
( i = 1
Mm y
—Y—
—
W22
Xi + yi
Mm y
■ Y / .
I / 22
W Xi + y i-
,..., n , n +1 f z^v
Q k = Z G x i + G
‘=1 [
d q k
yi
dr ] , d q k J
,
,
Дифференциальные уравнения движения БОКС как голономной механической системы могут быть представлены в виде уравнений Лагранжа II рода:
( k = 1,
...
, n + 2 ) .
d (dr ^ — - dt rqk J
.T = Qk, (k = 1, dqk
n + 2 ) , (3)
где T ( t , qk , qk ) - кинетическая энергия механической системы, q – обобщенные координаты, Q – обобщенные силы.
Запишем координаты тел механической системы в абсолютной системе координат XOY :
2. Исследование 5-массовой БОКС в транспортирующей системе координат
Исследование поведения системы проводилось на модели, состоящей из пяти тел. Определяющими параметрами системы S являются массы тел, длины стержней и начальные условия. Орбитальное движение системы M , M ,..., M задается движением первой точки, предполагая, что в начальный момент она находится на расстоянии R 3 + H от гравитационного центра и имеет начальную скорость, соответствующую круговой скорости для этого расстояния
U 0
у M
\ R 3 + H
где R 3 – радиус Земли, H – начальная высота точки M над поверхностью Земли.
Начальное состояние системы полностью определяется размером и положением дуги полуокружности, на которой расположены точки M , M ,..., M в начальный момент времени, система S движется мгновенно-поступательно.
Ниже приводится анализ движения БОКС из пяти точек, соединенных последовательно, в транспортирующей системе координат M xy [1, 2, 3] (рис. 1), при этом массы всех тел одинаковы и равны m , длины всех стержней одинаковы и равны l (при этом 4 1 << H ).
Система в начальном положении S 0 находится в четвертой четверти транспортирующей системы координат (ТСК), первая и пятая точки – на оси M y (рис. 2).

Рис. 2 . Начальное положение БОКС в ТСК
На первом этапе движения системы t e [t0, tj ] к моменту tx (рис. 3) происходит "выпрямление" – увеличение радиуса кривизны дуги, проходящей через точки M , M , M . Радиус кривизны дуги M M M увеличивается незначительно. Точка M незначительно смещается с оси M y в четвертую четверть ТСК. При этом угловая скорость первого стержня щ < 0, а угловые скорости других стержней щ > щ > щ > 0. Расстояние между точками M и M возрастает с 3000 м до 4000 м.
y
M 1 x
Рис. 3. Положение системы в момент времени t 1
На втором этапе t e[t{ , t 2 ] при сохранении знаков угловых скоростей стержней на первом этапе к моменту t (рис. 4) второй, третий и четвертый стержни практически располагаются вдоль прямой M M . Стержень M M проходит нижнее "вертикальное" направление, точка M оказывается в третьей четверти ТСК. Кривизна дуги M M M меняет знак по отношению к кривизне этой дуги на первом этапе. Таким образом, при t e [ t j, t 2 ] существует момент, когда точки M , M , M располагаются на одной прямой. Расстояние между точками M и M увеличивается до 4700 м.

Рис. 4. Положение системы в момент времени t
На следующем этапе к моменту t меняется знак угловой скорости первого стержня MM^, соотношение щ > щ > щ сохраня- ется. Таким образом, все угловые скорости щ > 0 (i = 1,2,3,4). Система S остается в четвертой четверти ТСК, образуя фигуру выпуклостью "назад", пройдя состояние, близкое к симметричному по отношению к отрезку M M в начальном положении S , при условии, что этот отрезок составляет с осью минус M y угол порядка 700 . Расстояние между точками M и M уменьшается до 3500 м.

Рис. 5. Положение системы в момент времени t
На промежутке t e [ t 3, t 4 ] вращение четвертого стержня замедляется, щ & 0 . Соотношение между угловыми скоростями становится следующим:
щ > щ > щ > ^ 4 > 0. (8)

Рис. 6. Положение системы в момент времени t
Далее, при t e [ t 4, t5 ] условие (8) для угловых скоростей стержней системы S сохраняется. Все точки последовательно переходят из первой четверти во вторую, образуя симметричную относительно средней точки M фигуру с кривизнами k , k , k одного знака. Эта фигура, как и в начальном положении, снова обращена выпуклостью "вперед", в направлении вращения S вокруг опорной точки M .
Соотношение (8) между угловыми скоростями меняется на противоположное:
щ > щ > щ > щ , (9)
причем с увеличением щ происходит уменьшение щ до отрицательных значений в моменты t и t (рис. 8 и 9).
Система точек S переходит из четвертого квадранта ТСК в первый и к моменту t все точки системы, как и на втором этапе, располагаются практически на одной прямой, образующей с осью M^x угол ® 40 °. Расстояние M M близко к максимальному: M M 5 & 4 1 . Отклонения точек от прямой M M таковы, что дуги M M M и M M M , а также M M M имеют соответственно малые кривизны k , k , k чередующихся знаков, причем |k 21« | k 31,
I k i| < k 2I.

Рис. 7. Положение системы в момент времени t

Рис. 8. Положение системы в момент времени t
На промежутке t е [t8, t9 ] и далее непрекра-щающееся изменение угловых скоростей к моменту t приводит к условию щ > щ > щ > щ. При этом на некоторых промежутках т = [t', t"]^[t9, tx0] в отличие от условия (8) щ < 0 .
Минимальное расстояние между точками M\M5 х 2 1 , достигнутое при трапециевидной форме S , увеличивается, ю4 растет. Отрезки l , l , l практически "выпрямляются" вдоль прямой M 1 M 4 . К моменту t система S приходит в третью четверть выпуклостью "вперед" вследствие малых значений

Рис. 9. Положение системы в момент времени t
Эти изменения угловых скоростей приводят к тому, что на момент времени t система S , оставаясь во второй четверти, образует трапециевидную фигуру, обращенную "выпуклостью" (меньшим основанием) "назад" (рис. 10).

Рис. 10. Положение системы в момент времени t а 4.

Рис. 11. Положение системы в момент времени t
Переход системы точек S из третьей четверти ТСК в четвертую происходит практически при равных щ > 0 с малым изменением относительного углового положения отрезков на предыдущем этапе t е [ t 9, t j0 ] .
Далее продолжается хаотическое движение точек системы с сохранением известных интегралов энергии и площадей для рассматриваемых условий орбитального движения.
Заключение
Математическая модель БОКС цепочечной структуры, описанная в данной работе, может быть использована для дальнейшего анализа больших космических систем.
Исследование движения 5-массовой системы проводилось численно с применением пакета Mathematica в предположении равных длин стержней, равных масс точек, мгновенно-поступательного начального состояния системы в плоском центральном гравитационном поле. Приведено описание последовательных состояний системы в транспортирующей системе координат на промежутке одного оборота системы вокруг гравитационного центра.
Создана визуализация движения 5-массовой системы.
Список литературы Динамика стержневой большой орбитальной космической системы цепочечной структуры
- Белецкий В.В., Новикова Е.Т. Об относительном движении связки двух тел на орбите//Космические исследования. 1969. Т.7. № 3.
- Белецкий В.В., Егоров В.А. Межпланетные полеты с двигателем постоянной мощности//Космические исследования. 1964. Т.2. № 3.
- Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. 3-е изд., испр. и доп. М.: URSS: Изд-во ЛКИ, 2009. 426 с.