Дистанционное изучение устойчивости систем дифференциальных уравнений

В настоящее время дистанционное обучение активно развивается в различных областях науки. Сейчас уже не является проблемой получение полноценного образования практически по любому предмету в условиях нехватки времени. Спрос на дистанционное обучение особенно возрос, поскольку многие специалисты нуждаются в повышении квалификации или переквалификации, но не имеют достаточно времени, чтобы пройти полноценное обучение по очной или даже заочной форме. Дистанционная форма обучения предоставляет возможность создать системы массового непрерывного самообучения, всеобщего обмена информацией, на который не влияют ни временные, ни пространственные пояса. Кроме того, системы дистанционного образования дают равные возможности всем людям независимо от социального положения (школьникам, студентам, гражданским и военным, безработными и т. д.) в любых районах страны и за рубежом реализовать права человека на образование и получение информации. Именно эта система может наиболее адекватно и гибко реагировать на потребности общества и обеспечить реализацию конституционного права на образование кажДдиосгтоагнрцаижоднанноиеноабсутчреанниые. – это новая, специфичная форма обучения, отличная от привычных очной или заочной форм. Она предполагает иные средства, методы, организационные формы обучения, иную форму взаимодействия учителя и учащихся, учащихся между собой. Вместе с тем как любая система обучения она имеет тот же компонентный состав: цели, обусловленные социальным заказом для всех форм обучения; содержание, также во многом определенное действующими программами для конкрет- ного типа учебного заведения; методы, организационные формы, средства обучения.

Дистанционная форма обучения обладает рядом преимуществ:

• -    высокая               эффективность

профессиональной подготовки по сравнению с вечерней и заочной формами обучения при более низкой стоимости образовательных услуг;

• -   сокращение сроков обучения;

• -    возможности параллельного обучения в российском и зарубежном вузах;

• -    независимость студента от географического расположения вуза.

Наряду с положительными сторонами дистанционного обучения есть и некоторые недостатки:

• -    отсутствие прямого очного общения между обучающимися и преподавателем.

• -    необходимость в хорошо оснащенном персональном компьютере и доступе к Интернету, другим источникам информации;

• -    высокие требования к постановке задач обучения администрированию процесса, сложность мотивации слушателей.

• -    необходимость наличия целого ряда индивидуально-психологических условий – для дистанционного обучения нужна жесткая самодисциплина, а его результат напрямую зависит от самостоятельности и сознательности учащегося;

• -    недостаток практических занятий;

• -    высокая трудоемкость разработки

курсов дистанционного обучения;

• -    недостаточная          компьютерная

грамотность обучающих и обучаемых, отсутствие опыта дистанционного обучения [1].

Дистанционное обучение, естественно, может эффективно использоваться при очном и заочном обучении. Так, в случае болезни студента он может изучить пропущенный материал дистанционно. С этой целью на кафедре «Прикладная математика» разрабатывается

темы (1). Устойчивость такой системы можно исследовать при помощи системы уравнений первого приближения или функций Ляпунова. Кроме теорем Ляпунова, Четаева и т.д. применим также метод функций Ляпунова. Этот ме-

пакет программ по пяти разделам дисциплины «Дифференциальные уравнения».

Целью данной работы является разработка и использование двух тестов-программ ЭВМ для дистанционного изучения устойчивости систем дифференциальных уравнений (обучающее-контролирующей и контролирующей).

В обеих программах рассматривается нормальная форма системы

тод заключается в непосредственном исследовании устойчивости положения равновесия системы (1) с помощью подходящим образом подобранной функции Ляпунова V ( x ₁, x ₂,..., x_n , t )

без предварительного нахождения решений системы [2].

Для системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений

dx = f (xp x2, dt

...

, xn), i = 1, n

<

и ее решение      ф. (x) (i = 1, n), удовлетворяющее начальным условиям:

Ф.(to) = Фю, i = 1,n.

Используются основные определения устойчивости системы (1) по Ляпунову:

Если для любой сколь угодно малой величины ε существует δ(ε) такое, что для всякого решения x i ( t ) ( i = 1, n ) системы (1), начальное значение которого удовлетворяет ^y-° x иям - _Фд < 5 , i =й ,               (2)

имеют место неравенства

I x( t) - ^i( t )| < e, i=1,n, V t > t0,           (3)

то решение системы (1) устойчиво;

Если при сколь угодно малом δ > 0 хотя бы одно из неравенств (3) для одного решения x i ( t ) ( i = 1, n ) не выполняется, то решение ф . ( x ) ( i = 1, n ) неустойчиво.

Если кроме неравенств (3) при условии (2) выполняются также условия

limlx.(t)-^i(t)| = 0, i = 1,n,                (4)

t ^~ то решение называется асимптотически устойчивым.

Как известно, исследование на устойчивость решения ф . ( x ) ( i = 1, n ) системы (1) можно свести к исследованию на устойчивость нулевого решения x i ( t ) = 0 ( i = 1, n ) системы, аналогич

dx

— = au x + a12 y dt

dy

dt" = a 21 x + a 22 y

ной системе (1), где f i(0,0,...,0,t) = 0 (i = 1,n)

и x i ( t ) = 0 ( i = 1, n ) является точкой покоя сис-

определена точка покоя х=0 у=0, в которой правые части уравнений системы (5) обращаются в ноль. Различают следующие простейшие типы точек покоя: устойчивый узел, неустойчивый узел, устойчивый фокус, неустойчивый фокус, седло и центр. Тип точки покоя определяется при помощи корней характеристического уравнения системы (5) (А-λЕ)Д=л0я[ 3]. дистанционного изучения теории устойчивости составлены обучающая и контролирующая программы. Программы написаны на языке Turbo Pascal 7.0 и предназначены для работы в среде MS DOS или WinПdрoоwгрs.аммы состоят из основного откомпилированного файла и текстовых файлов, в которых сохранены задания, варианты ответов и правильные ответы к ним. Управление программами осуществляется следующими клавишами: стрелки вверх и вниз – выбор варианта ответа, Enter – ввод ответа, пробел – следующий вариант ответа. Программа запускается откомпилированным рабочим файлом. Перед началом работы следует зарегистрироваться, введя фамилию и имя в соответствующие поля. Отвечать на вопросы необходимо в той последовательности, в которой они выдаются. При этом пропустить вопрос невозможно. После ввода ответа (нажатия клавиши Enter) выдается сообщение верным или неверным он является. Если ответ неверный, то выдается правильный вариант. Количество неправильно введенных ответов подсчитывается, и также как и номер текущего вопроса выводится на экран во время работы. После того как даны ответы на все вопросы не-

обходимо позвать преподавателя или нажать клавишу «1», после чего на экран выводится оценка за пройденный тест. Результаты теста сохраняются в текстовом файле.

Цель обучающей программы-теста состоит в проверке знания основных понятий теории устойчивости, видов точек покоя системы дифференциальных уравнений, а также умения применять различные методы исследования на устойчивость решения системы дифференциальных уравнений (1). Тест разделен на три части. Первая часть содержит двенадцать вопросов по основным понятиям теории устойчивости, вторая часть – пятнадцать вопросов на определение метода решения, третья часть – восемь вопросов на определение типа точки покоя системы. Критерии оценок следующие: от трех и меньше допущенных ошибок ставится оценка отлично, от четырех до шести ошибок – хорошо, за семь или восемь ошибок – удовлетворительно, при большем количестве ошибок тест считается не проВй декноннытрмо. лирующей программе-тесте цель заключается в закреплении материала по теории устойчивости. Данный тест содержит двенадцать различных вариантов задач по пять заданий в каждом. Первая задача решается с помощью определений устойчивости по Ляпунову, вторая и третья задачи – методом функций Ляпунова, четвертая задача – с помощью системы первого приближения и характеристического уравнения системы, пятой задачей является определение типа точки покоя. Критерии оценок: если не допущено ни одной ошибки, то ставится отлично, если допущена одна ошибка – хорошо, две ошибки – удовлетворительно. Если во время выполнения теста допущено три ошибки, то выводится сообщение, что тест не пройден, следующий вопПреорсепдриввэтоодмомнеовтыведтаает с ял.едует внимательно прочитать вопрос, сделать необходимые вычисления в тетради, выбрать ответ из списка с помощью клавиш вверх и вниз, а затем нажать клавишу Enter. Вернуться и ответить на вопрос заново невозможно.

При написании программ составлены следующие процедуры:

PROCEDURE READD – процедура считывания данных с текстового файла. PROCEDURE PROBEL – нажатие клавиши пробел. PROCEDURE WMENU – вывод вопроса на экран.

PROCEDURE VMENU – выбор ответа. procedure vmenu;

begin

b:=1; yy:=1;

window(x-2,y+2,x-

1,y+3+nq);textcolor(2);clrscr;gotoxy(1,yy);write(' ►');

repeat

c:=readkey;

case ord(c) of

72:begin yy:=yy-1;if yy<1 then yy:=nq; end;

80:begin yy:=yy+1;if yy>nq then yy:=1; end; end;

gotoxy(1,b);write(' ');

gotoxy(1,yy);write('►');

b:=yy;

until (ord(c)=13);

gotoxy(1,yy);write(' ');textcolor(15);

end.

PROCEDURE PMENU – вывод результата на экран (является ответ верным или неверным). В данной процедуре подсчитывается количество ошибок.

procedure pmenu;

var otwet:integer;

begin str(yy,ans); otwet:=pos(ans,v[i]);

case otwet of

0: begin inc(mist);textcolor(14);

textbackground(4);window(x,21,39-x,22);clrscr;

writeln('НЕВЕРНО’);

write('ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ: ');

for j:=1 to length(v[i]) do write(copy (v[i],j,1),' ');end;

1,2,3,4,5,6: begin textbackground(2);

textcolor(15);window(x,21,39-x,22);clrscr;

writeln('ВЕРНО');delay(10);end;end;

probel;

end.

PROCEDURE INIT – случайный выбор вопроса из текстового файла. В данной процедуре используется генератор случайных чисел RANDOMIZE. PROCEDURE WYWOD – вывод на экран промежуточных результатов (номер текущего задания и количество допущенных ошибок). Наглядное оформление программы осуществляется с помощью PROCEDURE RAMKA.

Фрагмент основной программы:

begin highvideo; randomize;

textbackground(9); clrscr;

write('Ваше имя,фамилия: ');read(std); clrscr; textcolor(9);

x:=5;y:=6;

s:=1;q:=2;sx:=79;qy:=5;ramka;

s:=1;q:=y+1;sx:=79;qy:=13;ramka;

s:=1;q:=20;sx:=40;qy:=4;ramka;

s:=41;q:=20;sx:=39;qy:=4;ramka;

window(1,1,79,24);textbackground(15);gotoxy( 1,1);textcolor(1);

write(' TEST 1 теория ');

gotoxy(1,24);

write('Управление:   клавиши   вверх/вниз,

Enter–ввод ответа, пробел–след. вопрос ');

for next:=1 to s1 do begin textbackground(9);textcolor(15);

i:=ran[next];

wmenu; vmenu; pmenu;

wywod; end;

window(1,1,79,23);textbackground(15);gotoxy( 1,1);textcolor(1);

Аналогично выводятся все задания. С помощью следующего условного оператора запоминается оценка.

if mist>8 then ocenka:=2;

case mist of

1,2,3 : ocenka:=5;

4,5,6 : ocenka:=4;

• 7,8 : ocenka:=3;

END.

Вывод сообщения в конце работы теста и нажатие клавиши «1»:

window(1,1,79,24);textcolor(15);clrscr;

gotoxy(20,10);

write('Тест окончен!!!');

gotoxy(20,11);

writeln('Позовите преподавателя!');

repeat

c:=readkey;

until(c=code);

После того как нажата клавиша «1» выводится сообщение, содержащее фамилию тестируемого, количество допущенных ошибок и оценку [4].

window(1,1,79,24);              textcolor(15);

clrscr;gotoxy(20,10);

writeln('Студент',std); gotoxy(20,11);

writeln(''Количество допущенных ошибок: ',mist);gotoxy(20,12);

writeln('Оценка ',otz);

Обучающая и контролирующая программы-тесты могут использоваться как на практических занятиях в университете, так и при самостоятельном обучении. Данные программы не требуют больших знаний персонального компьютера. Наглядное представление делает их удобными в использовании.