Формирование информационно-дидактической базы для организации самообразовательной деятельности студентов

Деятельностные Уровни

Познавательные уровни

Репродуктивная деятельность

Продуктивная деятельность

Узнавание d₁

Воспроизведение d₂

Применение d₃

Творчество d₄

Отражение /

^у11

^у12

^у13

^у13

Осмысление /

^у21

у₂₂

^у23

у₂₃

Алгоритмирование /

^у31

^у32

^у33

у₃₃

Контролирование //

у 41

^у42

^у43

у₄₃

Учебные элементы

Последовательность действий

Y₁₁ – отражение на уровне узнавания

Требуется решить дифференциальное уравнение второго порядка.

Y₂₁ – осмысление на уровне узнавания

'                                                                                dy ’        1               -

Так как y = y2_ , то исходное уравнение перепишем в виде =— = --+ х - sin x ; это

dx                                             dx  1 + х х

уравнение с разделяющимися переменными, разделим переменные и получим уравнение

dy' = | — 1- + х - sin x | dx . Интегрируя, находим

• 1 1 + х²           )

• , г Г ¹      .          ■ I . ^x x

• у = I----- + х - sin x dx = arctgx ++ cos x + C .

• ^J ( 1 + х²              )                  2               ¹

Y₃₁ – алгоритмирова-ние на уровне узнавания

'   dy  dy            x

Далее y = — ; — = arctgx +---+ cos x + C ;

dx  dx          2

2

dy = ( arctgx + x - + cos x + C ) dx , интегрируя, получаем

x ²                                1          ₂     x ³

y = ( arctgx +---+ cos x + C ) dx = xarctgx + — ln(1 + x ^ +--- + sin x + C_Yx + C₂

2¹         2       6¹²

Y₄₁ – контролирование на уровне узнавания

Запись общего решения.

1           2     x ³

y = xarctgx + — ln(1 + x ^ +--- + sin x + C_tx + C₂

2     6¹²

Учебные элементы

Последовательность действий

Y₁₁ – отражение на уровне узнавания

Требуется решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

Y₁₂ – отражение на уровне воспроизведения

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение решается подстановкой y = uv , где u и v - некоторые функции переменной х на интервале ( a , b ): u = u ( x ) , v = v ( x ) .

Y₂₁ – осмысление на уровне узнавания

Дифференцируя это равенство по х , получим y' = uv' + vu' .

Y₂₂ – осмысление на уровне воспроизведения

Подставив в уравнение у = uv и у' = uv ' + vu ' получим _u'_v + _v ' _u + 2 _uv = _x ² или x

2

uv + u 1 v + — v 1 = x .

I     x )

Y₃₁ – алгоритмирование на уровне узнавания

Нам нужно найти две функции u и v ; эти функции связаны лишь одним условием: их произведение должно быть решением уравнения. Поэтому одну из этих функций мы вправе выбрать произвольно. В целях упрощения выберем функцию v так, чтобы выражение v ₊ 2 _v (стоящее в скобках) обратилось в нуль; иначе говоря, возь- x

2         dv 2

мем за функцию v одно из решений уравнения v +— v = 0 ^--1— v = 0 разделим

x       dx x

dv   2

переменные — = — dx почленно проинтегрируем полученное выражение vx

Г — = - 21" — ^ ln v = - 2ln x ^ v = Д-

v        x                         x ²

Y₃₂ – алгоритмирование на уровне воспроизведения

u'       2

При этом уравнение приводится к виду — = x ^ х ²

— = x ⁴ ^ du = x⁴ dx ^ duu = f x⁴ dx ^ u = — + C dх                                       5

Y₄₁ – контролирование на уровне узнавания

Подставив значение u и v в у = uv , получим общее решение линейного неоднородного уравнения

Y₄₂ – контролирование на уровне воспроизведения

Общее решение данного уравнения у = _uv = | ^х ₊ с |. ¹

1 5      J х²

Учебные элементы

Последовательность действий

Y₁₁ – отражение на уровне узнавания

Требуется решить дифференциальное уравнение 2-го порядка с правой частью ^{f (x} ) = ^x

Y₁₂ – отражение на уровне воспроизведения

Обозначим искомое решение через у . Тогда у = у + у * , где у - общее решение уравнения у + 6 у + 13 у = 0

Y₁₃ – отражение на уровне применения

Составим характеристическое уравнение к ² + 6 к + 13 = 0, D = - 16

Y₂₁ – осмысление на уровне узнавания

к =- 3 + 2 / , к ₂ =- 3 - 2 i

Y₂₂ – осмысление на уровне воспроизведения

Следовательно, у = e ^3x ( C cos2 x + C ₂ sin 2 x ) — общее решение уравнения без правой части.

Y₂₃ – осмысление на уровне применения

По виду правой части f ( x ) = 3 cos5 x находим число r = а + P i = 0 + 5i = 5i , (случай

2, табл. 2). Такого числа среди корней характеристического уравнения нет, поэтому у * = a cos5 x + b sin 5 x ;

Y₃₁ – алгоритмирование на уровне узнавания

Найдем ( у *) = a ( - sin5 x ) • 5 + b cos5 x • 5 и ( у *) = a ( - cos5 x ) • 25 + b ( - sin5 x ) • 25

Y₃₂ – алгоритмирование

Подставим эти значения в данное уравнение и потребуем, чтобы оно обратилось в тож-

на уровне воспроизведения

дество

Y₃₃ – алгоритмирование на уровне применения

- 25 a cos5 x - 25 b sin 5 x + 6( - 5 a sin 5 x + 5 b cos5 x ) + 13( a cos5 x + b sin 5 x ) = 3cos5 x или ( - 12 a + 30 b ) • cos5 x + ( - 12 b - 30 a ) • sin5 x = 3cos5 x .

Y₄₁ – контролирование на уровне узнавания

Сравнивая слагаем

f- 12 a + 30 b = 3

i            _^'

[- 12 b - 30 a = 0

• е,    содержащие cos5 x и sin 5 x , получим

• f,     30       5           ,

b =-- a = — a      ,   5

• 12      2          b = - - a               1  ,   5

/   .   ^i     2       ^ a =-- , b =—

- 12 a + 30 |- ⁵ a | = 3     - 12 a - 75 a = 3        ^{29    58}

_                   2 J           ¹

Y₄₂ – контролирование на уровне воспроизведения

Поэтому у* = —— cos5 x + — sin5 x , 29       58

Y₄₃ – контролирование на уровне применения

у = У + У * = e "³ x ( C cos2 x + C ₂ sin2 x ) - ^cos5 x + ^sin5 x — общее решение данного уравнения.

Учебные элементы

Последовательность действий

Y - отражение на уровне узнавания

Требуется решить систему дифференциальных уравнений.

Y  - отражение на

уровне воспроизведения

Пусть x = a • e k , у = в • e^kt ,

Y - отражение на уровне применения

Подставим эти значения в систему:

fa e k k = -a e ^kt + 5 p e k    fa k = -a + 5 Д   f ( - 1 - k ) a + 5 p = 0

j e e ^kt k = a e ^kt + 3 в е ^к ^\ pk = a + 3 p ^[ a + (3 - k) p = 0

Y  - отражение на

уровне творчества

Получим линейную систему уравнений относительно a и в • Чтобы эта система имела ненулевые (нетривиальные) решения, ее определитель должен быть равен нулю

Y  - осмысление на

уровне узнавания

Рассчитаем определитель

- 1 - к    5                                ,

= 0, ( - 1 - к )(3 - к ) - 5 = 0, к ² - 2 к - 8 = 0

1    3 - к

Y  - осмысление на

уровне воспроизведения

Это уравнение называется характеристическим и имеет два корня.

Найдем его корни

,    2 ± V4 + 32  2 ± 6

к ==

1,2           _{2             2}

к = —2, к₂ = 4

Y  - осмысление на

уровне применения

Для определения а и в решим систему при к = к₁₂

f a + 5 в = 0

к = - 2   (         ^ a = - 5 в

[ a + 5 в = 0

Y  - осмысление на

уровне творчества

Полагаем в =1, получим a =-5.

Y - алгоритмирование на уровне узнавания

- 2 1

Тогда первое частное решение имеет вид J x ¹ = ^{5 e}

[ У 1 = ^e '