Формирование системного мышления при изучении школьного курса математики

(23)_31

В современных условиях развития общества проблема формирования системного мышления приобретает особую значимость. Это обусловлено тем, что человек всё чаще сталкивается не с отдельными изолированными явлениями, а со сложными, динамично изменяющимися системами, включающими множество взаимосвязанных компонентов. Социальные, экономические, информационные, технологические и образовательные процессы становятся более многоуровневыми, а их понимание требует не просто совокупности разрозненных фактов, а умения охватывать целостную картину, прослеживать характер изменений во времени и прогнозировать возможные последствия принимаемых решений с учётом нелинейных эффектов.

Термин «системное мышление» появился в середине двадцатого века благодаря исследованиям Людвига фон Берталанфи. В настоящее время в научной литературе оно рассматривается как важнейшее качество человека, позволяющее воспринимать объект или явление в его целостности, структуре, развитии и взаимосвязи с другими объектами. Системный подход ориентирует субъекта не на механическое выделение отдельных элементов, а на раскрытие целостности объекта, выявление многообразных связей внутри него и сведение этих связей в единую картину. Системное мышление на современном этапе выступает не просто частным интеллектуальным умением, а способом познания и преобразования действительности и является мощным инструментом, позволяющим учитывать сложные взаимосвязи и взаимодействия внутри различных процессов.

Актуальность формирования системного мышления усиливается в связи с нарастающим объёмом информации, характерным для цифровой эпохи. Современному человеку недостаточно обладать большим количеством сведений; значительно важнее уметь отбирать актуальные данные, отделять существенное от второстепенного, соотносить частные знания с более широким контекстом и выстраивать их в непротиворечивую логическую схему. В противном случае информация остаётся фрагментарной и не превращается в инструмент осознанной деятельности. Поэтому системное мышление становится одним из условий сохранения целостного восприятия мира, успешной адаптации к изменениям и принятия ответственных решений в условиях неопределённости.

Особую значимость оно приобретает в профессиональной и социальной деятельности человека. В различных сферах практики всё чаще востребованы специалисты, способные комплексно видеть ситуацию, анализировать её с разных сторон, учитывать ресурсы и ограничения, предвидеть последствия своих действий. Системное мышление позволяет рассматривать проблему не как совокупность случайных фактов, а как целостную систему взаимосвязанных условий, причин, противоречий и возможных путей решения. В связи с этим оно всё чаще определяется как универсальная компетенция, необходимая современному специалисту независимо от конкретной области деятельности [1].

Современные исследования системного мышления направлены на его изучение, формирование и развитие в различных сферах деятельности:

• –    в промышленности – при разработке нового продукта, учёте рисков и последствий;

• –    в бизнесе – при анализе и оптимизации бизнес-процессов;

• –    в экологии – при создании точных и надёжных моделей прогнозирования климатических изменений и/или вмешательство человека в экосистему планеты;

• –    в экономике – при государственном регулировании налогов и бюджета, анализе инфляции, распределении доходов, рост и развитие ВВП;

• –    в медицине – при разработке стратегии борьбы с эпидемиями, улучшения системы здравоохранения и др.

В педагогическом контексте системное мышление приобретает особую значимость и рассматривается как способность устанавливать связи между предметами и явлениями объективной действительности, выявлять закономерности процессов и прогнозировать их развитие. Такое понимание позволяет рассматривать системное мышление не только как качество развитого интеллекта, но и как образовательный результат, который может целенаправленно формироваться в процессе обучения.

В образовании проблеме формирования системного мышления посвящены многочисленные современные исследования: вопросы взаимосвязи системного и критического мышления у студентов представлены в работах Н.М. Софоновой, В.О. Казинцевой [2] через применение цифровой образовательной среды, А.Ю. Айрапетовой, Г.В. Саградян, В.К. Мальцевой [3] на основе специальной организации учебного процесса, О.Ю. Воробьевой, Н.А. Нонь, А.А. Старцевой, А.В. Фоминой [4; 5; 6] посредством системы математических заданий и др.

Формирование системного мышления у школьников обладает своей спецификой, поскольку школьное образование призвано заложить основы познавательной деятельности, научить анализировать, систематизировать, обобщать, классифицировать, аргументированно отстаивать свою точку зрения. Но если эти умения осваиваются изолированно, без взаимосвязи, то полученные знания и навыки так и останутся набором разрозненных правил, законов, алгоритмов. Школа сегодня ориентирована не на передачу знаний, а на умение применять их, использовать в нестандартных ситуациях. В центре внимания становится личность обучающегося, его готовность самостоятельно ориентироваться в информационном пространстве, видеть и решать проблемы, выбирать оптимальные пути решения, оценивать результат.

Современное образование ориентировано на преодоление фрагментарности и разрозненности учебных знаний. Однако на практике зачастую возникают ситуации, когда обучающийся хорошо решает задания на репродуктивном уровне, знает правила, теоремы, законы, но не может их применить при решении задач продуктивного уровня, требующих переноса знаний в другую область или многоходовых заданий. Для школьного обучения важно, чтобы мышление было связано не с механическим накоплением знаний, а с их структурированием. Учащийся должен не просто усвоить отдельные понятия, правила и способы действия, а увидеть их место в общей системе учебного содержания. В этом отношении системное мышление выступает средством преодоления фрагментарности знаний, поскольку направляет ученика на установление внутренних связей между изучаемыми объектами, действиями и результатами. Учебный процесс, направленный на формирование системного мышления, предполагает такую организацию, в которой каждое новое знание органично встраивается в существующую систему, устанавливаются осознанные связи между уже освоенным содержанием и новыми элементами.

Следует отметить, что выбор между традиционными методами и методами, направленными на формирование системного мышления, зависит от конкретной ситуации, целей и задач. Если имеет место сложная проблемная ситуация, предполагающая анализ различных факторов и поиск оптимального решения, или учебная задача, для решения которой необходимо привлекать знания из различных тем и разделов учебного курса, прослеживать причинно-следственные связи, допускающая многовариантные решения, то системное мышление, конечно, предпочтительнее. На практике рекомендуется комбинированный подход, включающий элементы различных методов, для достижения максимальных результатов.

Будем рассматривать системное мышление школьника в нескольких взаимосвязанных аспектах: как способность целостного восприятия объекта, как умение выявлять связи между его элементами, как готовность анализировать структуру и функции системы, а также как способ преодоления фрагментарности знаний.

Проанализировав специальную литературу по проблеме исследования, можем отметить, что существует три основных инструмента формирования системного мышления в образовании:

• 1)    включение специальных курсов в учебный план [7];

• 2)    организация внеурочной проектной деятельности [8];

• 3)    внедрение специального цикла задач в процесс обучения (банк заданий) с учётом межтематических или межпредметных связей [9].

Мы остановим своё внимание на последнем пункте, который позволяет развивать системное мышление в рамках уже существующих дисциплин без перегрузки учебного плана. Выбор обусловлен ещё и спецификой предмета математики, поскольку именно эта дисциплина обладает широкими возможностями систематизации в определениях, свойствах, логических структурах.

Следует отметить, что само по себе изучение математики целенаправленно не формирует системное мышление; для этого необходима специальная методическая организация учебной деятельности, направленная на выявление и осознание внутрипредметных связей, многообразие способов решения определённых задач, построение математических моделей.

За основу возьмём поэтапную модель формирования системного мышления у студентов различной профессиональной подготовки [9], включающую следующие этапы: диагностический, мотивационно-целевой, организационно-процессуальный, завершающий. Однако мы адаптировали эту модель к процессу обучения в школе. В рамках нашего исследования будем выделять следующие этапы формирования системного мышления: диагностический, целевой, организационный и завершающий, включающие элементы и содержание деятельности на каждом этапе (Таблица 1):

Таблица 1

Содержание этапов формирования системного мышления у школьников

Элементы содержания	Диагностический этап	Целевой этап	Организационный этап	Завершающий этап
Смысловой	Выявление способности выстраивать причинноследственные связи	Определение проблемы через прогнозирование	Построение причинноследственных переходов	Оценка единства теории и практики, предположений и результатов
Технологический	Определение видения целостности и декомпозиции	Демонстрация продукта деятельности	Решение цикличных задач, с возвратом при определении ошибок, их устранение	Итоговая проверка решений доступными способами, оценка эффективности применённого алгоритма

Вариативный	Диагностика гибкости мышления, через выявления методов решения заданий	Определение стратегии решения задач и выбор методов	Анализ и сравнение методов, определение оптимального решения	Оценка результата на основе рефлексивного выбора
Аксиологический	Запуск механизма самодиагностики	Определение личностно-значимой цели	Аналитическая работа по коррекции ошибок, определение причин и снижение дальнейших рисков	Рефлексия достижений, аналитическая работа по определению итоговых ошибок, постановка новых целей.

Среди показателей системного мышления исследователями выделяются следующие умения и навыки:

• •    узнавать системные объекты и отличать их от несистемных;

• •    видеть систему как иерархическую структуру взаимодействующих между собой элементов;

• •    выделять общий принцип построения системы и её интегративные свойства;

• •    конструировать на основе заданных интегративных свойств новую систему или разрабатывать и использовать модель системы;

• •    выделять базовые элементы системы;

• •    критически оценивать ситуацию в условиях системного подхода к анализу явлений и процессов;

• •    рефлексировать в условиях реализации системного подхода к анализу явлений и процессов;

• •    анализировать и прогнозировать развитие системы [10].

Мы согласны с авторами, что такие показатели применимы в социальноэкономических сферах, при выстраивании управленческой деятельности, однако в сфере образования, и конкретно в школьной математике, необходимо выделить существенно другие умения и навыки, отражающие особенности мышления обучающихся, с опорой на сенситивные периоды развития, т.е. оптимальные сроки для становления и роста отдельных видов психической деятельности и обусловленного ими умственного развития, а также специфику логики построения дисциплины «математика»:

• 1.    выделять базовые элементы системы, находить опорные точки, ключевые компоненты;

• 2.    видеть системные объекты, понимая разницу между набором разрозненных данных и математической структурой;

• 3.    определять систему как структуру взаимосвязанных элементов, понимать соподчинение и зависимость математических понятий;

• 4.    выделять общий принцип построения системы и её свойства, понимать структуру задания и создание математической модели;

• 5.    конструировать на основе заданных свойств новую систему или модель;

• 6.    критически оценивать каждый этап работы над системой заданий;

• 7.    выходить за пределы системы, видеть новое решение, возможность обобщения, построения новой задачи;

• 8.    осуществлять рефлексию.

Ряд исследователей выделяют различные уровни сформированности системного мышления: недостаточный, минимальный, продвинутый, высокий –Е.Ю. Филимонова [11]; досистемный, эмпирико-системный, интегративно-системный, конструктивно-системный – И.А. Сычев [12]; описательный, упрощенный, основной анализ, теоретическое умозаключение, обобщаю- щий, трансляция системного мышления – З.А. Решетова [13], начальный уровень (эмпирико-системный, описательный и упрощённый), достаточный (интегративно-системный, основной анализ, теоретическое умозаключение, обобщающий), высокий

(конструктивно-системный, трансляция системного мышления) – Л.С. Петрова [10].

Обобщая описание уровней сфор-мированности применительно к школьной системе обучения математике, выделим следующие (Таблица 2):

Таблица 2

Характеристика уровней сформированности системного мышления у школьников

Уровень	Характеристика	Навыки	Действия
Репродуктивный	Фрагментарное восприятие материала. Владение отдельными понятиями, правилами, формулами. Решение задач по готовому алгоритму, без выделения существенных признаков и ограничений. Формальная проверка ответа или её отсутствие.	Восприятие формул как набор символов, а не как связь величин. Отсутствие видения разницы между уравнением, тождеством и функцией.	Воспроизведение по образцу
Базовый	Установление отдельных связей между элементами математической задачи. Определение известного типа задания, применение стандартного алгоритма. Трудности при самостоятельном выборе способа решения. Внешняя поддержка учителя	Узнавание и описание базовых элементов, моделирование простейших схем.	Описание элементов, управление связями, прогнозирование результата.
Продуктивный	Осознанный анализ математической ситуации как системы взаимосвязанных элементов. Самостоятельно выделение структуры задачи, установление зависимостей между величинами, понятиями, выбор рационального способы решения. Перенос известного метода в изменённую ситуацию, переход к обобщению. Видение целостной системы в математических конструкциях.	Конструирование новых задач, выход за пределы известного и изученного ранее, нестандартный подход, обобщение частного в общее.	Создание новых моделей
Высокий	Сформированная способность к самостоятельному анализу математических объектов, задач, способов решения. Установления внутрипредметных и межпредметных связей, обоснование оптимального выбора решения задачи. Прогноз, анализ и влияние изменённого условия. Уверенная работа в изменённых ситуациях. Рефлексия, критическая оценка собственных выводов, рассуждений.	Определение границ применимости, способность рассмотрения с разных позиций, прогнозирование, трансляция нового знания, рефлексия	Переопределение условий, осознание границ и перспектив, определение стратегий.

Анализ научной литературы позволил нам определить ряд компонентов, обеспечивающих формирование системного мышления через целостное восприятие учебного материала:

• 1.    содержательный (базовый) – охватывает теоретический и практический фундамент знаний, на основе которого в дальнейшем выстраиваются связи, обобщения, углубление материала. В математике это выражается в знании аксиом, определений, свойств фигур и функций, элементарных зависимостей, грамотной записи математических отношений;

• 2.    операционный – отражает мыслительную деятельность, определяющую владение обучающимися такими методами, как анализ, обобщение, сравнение, синтез, классификация, моделирование, установление причинно-следственных связей. Для системного мышления важно не просто владение мыслительными операциями, но и вектор направленности, способность видеть целостную картину, составленную одновременно из разрозненных деталей – задач;

• 3.    рефлексивный – предполагает осмысление собственных действий, рассуждений, предположений, объяснение выбора способа решения проблемы, оценку применимости определённых методов. Важно понимать, что системное мышление при решении задач не сводится к простому получению ответа; оно требует осознания условий обеспечения правильности решений, определения существенных действий;

• 4.    прогностический – проявляется в определении перспектив при изменении элементов задания, таких как преобразование условия, коррекция определённых данных, требований, вариации способов решения. Прогностический компонент позволяет обучающемуся понять, насколько устойчиво его решение, определить возможности изменения и последствия модификации задания.

Все выделенные нами компоненты не существуют сами по себе, а находятся в тесной взаимосвязи. Содержательный компонент обеспечивает опору на математические знания; здесь происходит усвоение ключевых понятий, определений, формул, теорем. Операционный позволяет выполнять действия с этими знаниями, находить применение мыслительным операциям, устанавливать причинно-следственные связи. Рефлексивный обеспечивает осознанность и контроль собственного решения, проверку результатов, анализ и исправление ошибок, оценку применимости метода. Прогностический направляет учащегося на анализ изменений и возможных последствий. Поэтому развитие системного мышления возможно только при такой организации обучения, которая включает школьника в деятельность по анализу, преобразованию, сравнению, обобщению и оценке учебного материала.

Математика обладает значительным потенциалом для формирования системного мышления школьников, поскольку её содержание строится как система взаимосвязанных понятий, утверждений, способов действия и моделей. Однако эта системность не всегда становится очевидной для учащихся. При традиционной организации обучения школьники нередко воспринимают математический материал как совокупность отдельных тем и алгоритмов. Поэтому задача учителя состоит в том, чтобы сделать связи между понятиями, задачами и способами решения предметом специального осмысления.

На уроках математики системное мышление прежде всего проявляется в умении видеть задачу как систему. Это означает, что учащийся анализирует не только данные и вопрос, но и связи между ними, скрытые условия, ограничения, возможные способы представления ситуации.

Следует особо обратить внимание на то, что работа по формированию системного мышления не является прерогативой только классов с углублённым изучением математики, профильных классов или классов с высокой учебной мотивацией. Безусловно, в таких классах потенциал для развития системного мышления выше; здесь можно быстрее выходить за рамки базового изучения предмета, решать многошаговые задачи, исследовательские проблемы [14; 15; 16; 17]. Однако это не означает, что в обычных классах эту работу можно игнорировать; напротив, включение элементов формирования системного мышления позволяет поддержать интерес к предмету, показать его логику, связь с реальными объектами, помочь увидеть математику не как набор формул, а как стройную, осмысленную систему. Этот процесс должен рассматриваться как универсальная педагогическая задача школьного образования, ориентированная на всех учащихся независимо от уровня подготовки и профиля обучения; разница будет заключаться в глубине и сложности изучаемого материала.

Системное мышление можно формировать на базе различных тем и разделов математики, однако выделим именно те, на которых этот процесс будет наиболее эффективным за счёт структурного анализа, методов сравнения, выявления закономерностей, логического перехода и выбора способа решения.

• 1.    Числа и их свойства. Этот раздел обладает недооценённым потенциалом для системного мышления школьников, так как обучающийся впервые сталкивается с числами не как с набором, а как с первыми математическими моделями, включающими четыре арифметические операции. Здесь числа рассматриваются не изолированно друг от друга, а как элементы целостной системы числовых отношений и закономерностей. По мере изучения данной темы у учащихся происходит расширение понятия числа как объекта: изученные 38

• 2.    Уравнения и неравенства – центральный раздел в школьном курсе математики. Уравнение представляет собой математическую модель в виде соотношения между известными и неизвестными величинами, предполагающую последовательное установление связей между начальным условием, промежуточными преобразованиями и конечным результатом. Неравенства добавляют отношение порядка: теперь необходимо работать не с дискретными величинами, а с множеством решений, требующим корректного применения всех условий и преобразований.

• 3.    Задачи с параметрами – особый раздел в математике, который изучается сквозным методом, проходя через все разделы алгебры. В процессе выполнения заданий приходится сталкиваться с целой системой переменных, изменение и вариация которых влияют на свойства, количество решений, исследование совокупности возникающих ситуаций. Обучающимся приходится заранее продумывать стратегию решения, выделять те значения параметра, при которых уравнение, неравенство или система существует, не имеет решений, имеет конечное или бесконечное число решений. Задания с параметрами требуют глубокого понимания всех ранее изученных тем; при этом информация не просто воспроизводится, а анализируется, трансформируется в новые связи: выстраиваются логические схемы, классифицируются случаи, прогнозируется результат, который затем соотносится с доказательством. Всё это в совокупности способствует развитию системного мышления.

• 4.    Функции и графики – один из наиболее наглядных разделов школьной математики, позволяющий визуализировать зависимость одной величины от другой. Происходит объединение нескольких компонентов: нахождение области определения и множества значений, выявление свойств функций, определение соответствий, построение графика. Системное мышление закладывается при анализе свойств, сравнении функций разных видов, преобразовании и построении сложных графиков, установлении связей между формулой и чертежом, предсказании поведения функции за пределами видимого диапазона. Обучающийся осознаёт, что с помощью функций можно описать числовые последовательности, физические и механические процессы, рост величин, статистические данные.

• 5.    Геометрия – отдельный курс математики, который изучается с 7-го по 11-й класс и обладает уникальным потенциалом для формирования системного мышления, поскольку охватывает целостную систему взаимосвязанных объектов на плоскости и в пространстве. Обучающемуся приходится не просто запоминать определения, теоремы, формулы, а видеть, как одни части соотносятся с другими, как изменение одного параметра влияет на всю систему. Особенность геометрии как части математики заключается в том, что основным методом доказательства является логическое обоснование, не опирающееся на практический опыт или эксперимент. В то же время теоретический материал, изучаемый в курсе геометрии (теорема Пифагора, признаки подобия, свойства окружности), представляет собой инструменты, которые работают в реальном мире. Понимание этого единства позволяет формировать систему мыслительных операций и делает этот процесс эффективным.

• 6.    Прикладные задачи – этот раздел относится к математической грамотности и является инструментом для решения задач реального мира [18; 19; 20; 21]. Особенностью является определение математической структуры в жизненной ситуации, которую необходимо перевести на математический язык формул и уравнений, а затем вернуться обратно, интерпретировав полученный результат. Эти задачи всегда вызывают трудности при выполнении, потому что не определена структура, не задан алгоритм, необходимо от конкретной ситуации перейти к абстрактному описанию, выявить избыточные или недостающие данные, подобрать математический аппарат. Здесь обучающийся осваивает полный цикл работы с системой: от наблюдения реальности и построения модели процесса до трактовки результата.

ранее натуральные числа обогащаются путём введения отрицательных, дробных, иррациональных и, наконец, комплексных чисел, составляя целостную систему. Разложение натурального числа на простые множители позволяет изучать внутреннюю структуру и на этой основе осваивать новые понятия, свойства, закономерности.

Важность данной темы заключается в возможности иерархического построения множества чисел, определения связи формы и содержания (по записи числа можно определять его свойства), элементарности материала (нет сложных механизмов, поэтому внимание можно сосредоточить именно на связях), что способствует формированию системного мышления.

При концентрическом изучении данных тем в школьном курсе простейшие линейные уравнения и неравенства дополняются квадратными, дробно-рациональными, иррациональными, показательными, логарифмическими, тригонометрическими; при этом каждый новый вид опирается на предыдущий, дополняя его новыми условиями существования.

Ценным для системного мышления является то, что устанавливаются связи между различными содержательно-методическими линиями математики: решение может быть представлено в алгебраической, графической, функ- циональной или геометрической форме, тем самым раскрывая различные свойства изучаемого объекта.

Все отмеченные особенности каждой темы не являются методическими разработками, но представляют взаи- мосвязанную систему условий, которые в совокупности создают благоприятную среду для формирования системного мышления.

Таким образом, формирование системного мышления в школьном курсе изучения математики является важным фактором интеллектуального развития в целом. Для этого необходима комплексная, целенаправленная, последовательная работа, включающая содержание учебного материала, методы обучения, систему задач, способы организации учебного процесса. Важнейшими условиями эффективности данной работы являются систематичность и непрерывность обучения, опора на содержательный материал каждого раздела математики, целенаправленная организация внутрипредметных и межпредметных связей.