Фундаментальное решение начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения четвертого порядка с негладкими коэффициентами

§ 1.    Введение

К настоящему времени усилиями многих математиков теория дифференциальных уравнений с постоянными или достаточно гладкими коэффициентами развита достаточно хорошо (см., например, [1]).

В этих и других работах разработаны различные методы исследования вопросов корректной разрешимости начальных, начально-краевых задач, а также вопросов построения фундаментальных решений для таких уравнений.

В литературе существуют только отдельные работы, в которых исследованы вопросы построения фундаментальных решений для гиперболических уравнений с доминирующими производными (или псевдопараболических уравнений) с переменными коэффициентами. Работы D. Colton [2], М. Х. Шханукова и А. П. Солдатова [3], выполненные в этом направлении, показывают, что для некоторых классов таких уравнений с достаточно гладкими коэффициентами фундаментальное решение можно определить как аналог классической функции Римана. Однако, примененный в этих работах метод характеристик Римана является весьма ограниченным методом и, вообще говоря, не допускает обобщение даже на случай простых нелокальных задач, даже в случае уравнений с постоянными коэффициентами.

Особо нужно отметить, что в литературе до сих пор функцию Римана для различных классов уравнений удавалось построить только для случая достаточно гладких коэффициентов [4–8].

Имеется ряд работ, в которых введены аналоги функции Римана для некоторых специфических классов уравнений с переменными коэффициентами и доминирующими производными _∂x ^∂ _{2 ∂} ⁴ _{y 2} и _∂x ^∂ _∂ ³ _{y 2} . В связи с этим отметим работы М. Х. Шханукова [9] и В. А. Водаховой [10].

В работе R. Di. Vincenzo и A. Villani [11] понятие функции Римана было обобщено для уравнения с переменными коэффициентами и доминирующей производной ∂x∂y2 .

Поэтому возникает весьма актуальный вопрос об исследовании вопросов корректной разрешимости и построении фундаментальных решений для начально-краевых задач, связных с гиперболическими уравнениями (или псевдопараболическими уравнениями) с доминирующими производными, вообще говоря, с негладкими переменными коэффициентами.

В связи с этим данная продемонстрированная работа посвящена исследованию начально-краевых задач нового типа для псевдопараболических уравнений с доминирующими смешанными производными, обладающими, вообще говоря, негладкими Lp -коэффициентами (т. е. коэффициентами из пространств типа L _p ) и вопросами разработки метода построения их фундаментальных решений. Она изложена, в основном, применительно к псевдопараболическим уравнениям четвертого порядка с трехкратными характеристиками. При этом важным принципиальным моментом является то, что рассматриваемое уравнение обладает разрывными коэффициентами, которые удовлетворяют только некоторым условиям типа P -интегрируемости и ограниченности, т. е. рассмотренный псевдопараболический дифференциальный оператор не имеет традиционного сопряженного оператора. Поэтому функция Римана для такого уравнения не может быть исследована классическим методом характеристик. В данной статье для исследований таких задач разработана методика, которая существенно использует современные методы теории функций и функционального анализа. При помощи этой методики для начально-краевых задач введено новое понятие сопряженной задачи. Такие сопряженные задачи, в отличие от сопряженных задач традиционного вида, определяемых посредством формально-сопряженных дифференциальных операторов, по определению имеют вид интегрального уравнения, и поэтому имеют смысл при достаточно слабых условиях на коэффициенты. При помощи такой сопряженной задачи введено понятие фундаментального решения и найдено интегральное представление для решений соответствующих начально-краевых задач.

§ 2.    Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

(V3,iu)(x) = D3D2u(x) + a3,o(x)D3u(x) + ЕЕ ( x)Di Dj u(x)

i=0 j=0                              ^(2-1)

= ^3,i(x) G Lp(G), x = (xi, X2) G G, при следующих условиях Гурса нового типа [12]:

Vo,ou = u(0,0) = ^0,0 G R;

Vi,ou = Diu(0, 0) = ^1,0 G R;

V2,ou = DM0 0) = ^2,0 G R;

' (V3,0u)(xi) = D ³ u(xi,0) = ^3,0(xi) G Lp(Gi);                       ⁽²-²⁾

(V0,iu)(x2) = D2u(0,X2) = ^0,1(X2) G Lp (G2);

(Vi,iu)(x2) = DiD2u(0,X2) = ^1,1G Lp(G2);

,(V2,1U)(X2) = D2D2u(0,X2) = ^2,1(X2> G Lp(G2), где yi,0, i = 0, 2, — заданные постоянные, а остальные ^i,j являются заданными измеримыми функциями; Dk = дХ^ (к = 1, 2) — оператор обобщенного дифференцирования в смысле Соболева. Кроме того, выше заданные ai,j(x) — измеримые функции на

G = Gi x G2; Gi = (0, hi) , G2 = (0, h^ ) и удовлетворяющие лишь следующим условиям:

ai,o(x) G Lp(G), ai,i(x) G LX^² (G), i = 0,2;

aa,o(x) G L™ (G).

При наложенных условиях решение u(x) задачи (2.1), (2.2) естественно искать в пространстве Соболева

Wp ^{3 , 1)} (G) = |u(x) : D\Dj u(x) G L _p (G), i = 0, 3, j = 0,1|, 1 6 p 6 ro .

Норму в пространстве Wp ^{3 , 1)} (G) будем определять равенством

3i k u(x) k w p (3,i) ₍ G ₎ = ЕЕ|И D2u(x) i=o j=0

.

L p (G)

§ 3.    Некоторые структурные свойства пространства Соболева Wp(3,1)(G) и операторный вид начально-краевой задачи (2.1), (2.2)

Задачу (2.1), (2.2) мы будем исследовать методом операторных уравнений и при этом будем следовать схеме работы [13]. Предварительно задачу (2.1), (2.2) запишем в виде операторного уравнения

Vu = y,                                     (3.1)

где V есть векторный оператор, определяемый посредством равенства

V = (Vo,o, Vi,o, V2,o, V3,o, Vo,i, Vi,i, V2,i, V3,i) : W(3,1)(G) ^ Ep3,1), а y есть заданный векторный элемент вида y = (yo,o, yi,o, y2,o, y3,o, yo,i, У1,1, ^2,1, ^3,1) из пространства

E^’¹ = R x R x R x Lp(Gi) x Lp(G2) x Lp(G2) x Lp(G2) x Lp(G).

Заметим, что в пространстве EP3,1) норму будем определять естественным образом при помощи равенства lly HEps,!) = llyo,o Hr + ky1,okR + ky2,okR + ky3,o IIlp(G1) + kyo,1kLp(G2) + Hyi,i kLp(G2) + Hy2,1HLp(G2) + Hy3,1kLp(G) .

Прежде всего отметим, что интегральные представления функций из пространств типа Wp3,1) (G) (из соболевских пространств с доминирующими смешанными производными общего вида) изучены в работах Т. И. Аманова [14], С. М. Никольского [15], П. И. Ли-зоркина и С. М. Никольского [16], О. В. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Никольского [17], А. Дж. Джабраилова [18], С. С. Ахиева [19], А. М. Наджафова [20], И. Г. Мамедова [21] и др. Но из них мы будем использовать интегральное представление из [22], по которому любая функция u(x) G wP3,i)(G) единственным образом представима в виде xi

Х2        1 Г          ₂

u ( x ) = ( Qb )( x ) = bo,o + xibi,0 + -у b2,0 -2 (xi - Ti) ² b3,o(n) dTi

X 2                         X 2                      2 X 2

+ j bo, ifa) dT2 + Xi j b1,1(T2) dT2 + xl j b2,1 ( T2 ) dT2 000

(3.2)

X i X 2

+2 j j (xi - Т1) ² Ьз,1(т1, T2) dTi dT2

посредством единственного элемента b = (bo,o,bi,o,b2,o,b3,o, bo,i, bi,i, b2,i, b3,i) G EP ^{3 , i)} .

При этом существуют положительные постоянные M ₁ ⁰ и M ₂ ⁰ такие, что

M k b k^ i) 6 k (Qb)(x) k _W (3,i) _(G ) 6 M 2¹ k b k _E (3,i) V b G EP ^{3 , i)} .            (3.3)

Очевидно, что оператор Q : Ep3^J ) ^ wP ^{3 , i)} (G) является линейным ограниченным оператором. Неравенство (3.3) показывает, что оператор Q имеет также ограниченный обратный оператор, определенный на пространстве Wp ^{3 , i)} (G) . Следовательно, оператор Q есть гомеоморфизм между банаховыми пространствами E ^{(3 , i)} и Wp ^{3 , i)} (G) . Поэтому решение уравнения (3.1) эквивалентно решению уравнения

VQb = у.

(3.4)

Уравнение (3.4) будем называть каноническим видом уравнения (3.1).

Кроме того, формула (3.2) показывает, что любая функция u(x) G W p^{3, i)} (G) имеет следы u(0, 0), D _i u(0, 0), D ² u(0, 0), D ³ u(x _i , 0), D ₂ u(0,x ₂ ) , D _i D2u(0,x ₂ ) , D ² D ₂ u(0,x ₂ ) , и операции взятия этих следов непрерывны из Wp ^{3 , i)} (G) в R, R, R , L _p (G _i ) , L _p (G ₂ ) , L_p (G2) , L _p (G2) соответственно. Далее, для этих следов справедливы также равенства: u(0,0) = bo,o; Diu(0,0) = bi,o ; D ² u(0,0) = b2,o ; D3u(xi, 0) = b3,o(xi) ; D2u(0, X2) = bo,i(X2) ; D1D2U(0,X2) = bi,i(X2) ; D2D2U(0, X2) = b2,i(X2) .

Задачу (2.1), (2.2) мы будем изучать при помощи интегрального представления (3.2) (3, )                                                                                                                       (3, )

функций u(x) G WP ^;(G) . Формула (3.2) показывает, что функция u(x) G WP ^J(G) , удовлетворяющая условиям (2.2), имеет вид:

u(x) = go(x) + jj G

Ro (ti , T2; Xi, X2)D3D2u(ri, T2) dn dT2, где

X i

, x ²           , ¹

go(x) = yo,o + Х1У i ,o + "2" ^2,o + 2   (xi

- Ti) ² ^3,o(Ti) dTi

X 2                          X 2                       ₂ X 2

+ j yo,i(T2) dT2 + Xi j уi,i(T2) dT2 + ^^ j У2,i(T2) dT2, 000

(x - t ) ²

Ro(Ti,T2; X1,X2) = ----t:---- 9(xi - Ti) 0(X2 - T2), причем 0(z) является функцией Хевисайда на R, т. е. 0(z) =

I

1,

0,

z > 0, z 6 0.

Тогда после замены u = go + и, где

^u(x)= п

G

Ro(T1, Т2; xi, X2)D3D2u(T1, Т2) dT1 dT2,

уравнение (2.1) можно записать в виде

(V3,iu)(x) = T(x),

(3.5)

где T = ^3,1 — V3,igo . Очевидно, что производные функции и можно вычислить посредством равенств

Х 1 Х 2

D1U(x) = j У (x1 — T1)D3D2u(T1, Т2) dT1 dT2, 00

Х 1 Х 2

D2u(x) = У j D3D2u(Ti, T2) dn dT2, 00

Х 2

D3u(x) = У D3D2u(x1, T2) dT2, D2u(x) 0

Х 1

DxD2u(x) = j (xx — T1)D3D2u(Ti,x2) dn, 0

Х 1 =/^(x 0

—

2!

T1)2 3

----D3D2u(Ti, x2) dn,

x i

D2D2u(x) = У^Т^) dTi,

D3D2u(x) = D3D2u(x).

Теперь доминирующую производную рассмотрим как неизвестную функцию, иначе говоря, произведем замену D ³ D2u(x) = b(x) . Тогда уравнение (2.1) можно записать в виде:

Х 1 Х 2

(Nb)(x) = b(x1,x2) + У j a0,0(x1,x2)R0(T1,T2; x1,x2)

Х 1 Х 2

x b(T1, T2) dT1 dT2 + У У (x1 — T1) a1,0(x1, x2) b(n, T2) dT1 dT2

Х 1 Х 2

Х 2

+ J j a2,0(xi,x2) b(Ti,T2) dTidT2 + j аз,о(Х1,Х2) b(xi,T2) dT2

(3.6)

Х 1 +j^^ 0

—

2!

^T1^{) 2} ------^a0,1

Х 1

(x1,x2) b(T1,x2) dT1 + y(x1 — T1) a1,1(x1,x2) b(T1,x2) dT1

Х 1

+ ya2,1(x1,x2) b(T1,x2) dT1 = T(x), x = (x1, x2) € G.

Оператор N уравнения (3.6) линеен. Используя условия, наложенные на коэффициенты ai,j , можно доказать, что этот оператор является ограниченным оператором из Lp(G) в Lp(G) , 1 6 p 6 го .

Определение 3.1. Если задача (2.1), (2.2) для любого

У = ⁽У0,0, ^1,0, ^2,0, ^3,0, ^0,1, ^1,1, ^2,1, ^3,1) ^{€ Е (3}"

имеет единственное решение u Е w P ^{3 , 1)} ( G ) такое, что ||u ^ ^ (з,1) (^) 6 M1 ||^| _Е (з,1) , то будем говорить, что оператор V = (V0,o, Vi,o, V2,o, V3,o, Vo,i, V1,1, V2,1, V3,1) задачи (2.1), (2.2) (или уравнения (3.1)) является гомеоморфизмом из w P ^{3 , 1)} ( G ) на E ^{(3 , 1)} или задача (2.1), (2.2) везде корректно разрешима . Здесь M1 — постоянное, не зависящее от ϕ .

Очевидно, что если оператор V задачи (2.1), (2.2) является гомеоморфизмом из w P ^{3 , 1)} ( G ) на E ^{(3 , 1)} , то существует ограниченный обратный оператор

V - 1 : Е(3,1) ^ Wj ³ ’ ¹ )(G).

Оператор N является вольтерровым оператором относительно точки (0, 0) . Это означает, что если функции b1, b2 Е L_p (G) в области G( _{X 1} ,x ₂ ) = (0, Х1) X (0, Х2) удовлетворяют условию Ь1 (т1,т ₂ ) = Ь ₂ (т1,т ₂ ), то выполняется также условие ( Nb1 )( т1,т ₂ ) = (Nb ₂ )(T1,T ₂ ) почти для всех ( t i ,T 2 ) Е G( _{X 1} ,x ₂ ) , где (Х1,Х2) Е G — произвольная точка.

Используя вольтерровость оператора N , при помощи, например, метода последовательных приближений можно доказать, что уравнение (3.6) для любой правой части T (х) Е L _p (G) имеет единственное решение b Е L_p ( G), где 1 6 p 6 го , и это решение удовлетворяет условию Hbl^ 6 M2 W T | l _p ( _G ) , где M2 — постоянное, не зависящее от T . Далее, очевидно, что если ^3,1 Е L _p (G) , то T Е L _p (G) . Кроме того, если b Е L_P ( G) есть решение уравнения (3.6), то решение задачи (2.1), (2.2) можно найти при помощи равенства

Х 1 Х 2

u ( x ) = go (x) + j j b(T1,T2)Ro(T1,T2; X1,X2) dT1 dT2.

Поэтому справедлива

Теорема 3.1. Оператор V задачи (2.1), (2.2) есть гомеоморфизм из w P ^{3 , 1)} ( G ) на

г(3,1) Ep

.

§ 4. Построение сопряженного оператора

Пусть f = (f0,0,f1,0,f2,0,f3,0(x1),f0,1(x2),f1,1(x2),f2,1(x2),f3,1(x1,x2)) Е E.'/1,1

= R X R X R X Lq (G1) X Lq (G2) X Lq (G2) X Lq (G2) X Lq (G), где q = p—j — некоторый линейный ограниченный функционал на Eq3,1). Тогда по определению имеем:

f (Vu) = У [ f3,1 ( x1,X2 )( V3,1U )( x1,X2 ) dG + f0,0(V0,0u) + f1,0(V1,0u) G

+f2,0(V2,0u) + j f3,0(x1)(V3,0u)(x1) dG1 + j f0,1 (X2)(V0,1U)(X2) dG2       (4 1)

G 1

G 2

+ j f1,1(x2)(V1,1 u)(x2) dG2 + j f2,1(x2)(V2,1 u)(x2) dG2.

G 2

G 2

Учитывая здесь выражения операторов Vi _, j , имеем:

f (Vu) = У^ f3,i(xi,X2)< D ³ D2u(x) + a3,o(x)D3u(x)

G

⁺         ai,j ( x)DiD ₂ i u(x) ^dG + fo,ou(0, 0) + fi,oDiu(0,0)

i=0 j=0

+f2,oD2u(0,0) + У f3,o(xi)D3u(xi, 0) dGi + j fo,i(x2)D2u(0,X2) dG2

G 1

G 2

+ У fi,i(x2)DiD2u(0, x2) dG2 + У f2,1(x2)D2D2u(0, x2) dG2.

G 2

G 2

(4.2)

Используя интегральное представление (3.2) функций u Е wP ^{3 ,} 1)(G) , из (4.2) получим:

f (Vu) = У^ f3,i(xi,x2M

G

2                    x                                    x2

+ xy D2u(0, 0) + 2 y(xi — Ti) ² D3u(Ti, 0) dTi + yD2u(0, T2) dT2 + xi j DiD2u(0,T2) dT2

2 x2

+"21 У D2D2u(0,T2) dT2 + | У y(xi — Ti)2D3D2u(Ti,T2) dTidT2 + ai,o(xi,x2) Diu(0,0) 000

x1                                    x2

+xiD ₁ ² u(0, 0) +   (xi — Ti)D _i ³ u(Ti, 0) dTi +   DiD2u(0, T2) dT2 + xi D ₁ ² D2u(0, T2) dT2

D _i ³ D2u(xi , x2) + ao,o(xi , x2) u(0, 0) + xiDiu(0, 0)

x x 2

+ I J ‘(xi - Ti)D3D2u(Ti,T2) dTidT2 + ao,i(xi,X2) D2u(0,X2)+ XiDiD2u(0,X2)

x2 о                   1 xx ¹

+"2 ⁱ D2D2u(0,X2) + 2 у (xi -

0 x 1

Ti) ² D3D2u(Ti,X2) dnj

+xiD2D2u(0,X2) + y(xi —

0 x                        x 2

Ti)D3D2u(Ti,X2) dnj

+ ai,i(xi, X2) D1D2U(0, X2)

+ a2,0(xi,X2) D2u(0, 0)

+ У D3 u ( t i , 0) dTi + У D2D2u(0, 72) dT2 +

x 1 x 2

j j D3D2u(Ti,T2) dTidT2 + a2,i(xi, X2)

x 1

x D2D2u(0,X2) + yD3D2u(Ti, X2) dTi + a3,o(xi, X2) D3u(xi, 0)

x 2

+ D _i ³ D2u(xi , T2) dT2    dG + fo _, ou(0, 0) + fi _, oDiu(0, 0) + f2 _, oD ₁ ² u(0, 0)

+ У f3,o(xi)D3u(xi, 0) dGi + У fo,i(x2)D2u(0, X2) dG2 + У fi,i(x2)DiD2u(0, X2) dG2

G 1

G 2

G 2

+ У f2,1(x2)D2D2u(0,X2) dG2.

G 2

Поменяв здесь порядок интегрирования в нужных местах и произведя некоторые группировки, имеем:

Zj f3,i("i,"2)ao,o(xi,X2) dG + fo,oj u(0,0) + jj f3,i("i, "2) ("iao,o("i,"2)

h - h 2

) ^^dG + fi,o Diu(0,0) + I ^ f3,i(xi,X2) (уao,o(xi,X2) + "i ai,o(xi,X2)

L G

h - h 2               ₂

D2u(0, 0) + У У У ^{( a i} 2 ^{X i )} ao,o(^ai,"2)f3,i(ai,"2) daid"2

G - x - 0

h - h 2

+ 11 a^a - - xi)ai,o(^ai,X2)f3,i(^ai,X2) daidx2 + j j «2,0 (ai,"2)f3,i(ai,"2) daid"2

x - 0

x - 0

h 2

+ j a3,o(xi,"2)f3,i(xi,"2) d"2f3,o("i) D3u("i, 0) dGi h- h2 2

+    \           ao,o("i,^a2)f3,i("i,«2) d"id«2

G 2    0 ^x 2

h -

x ²

+   у ao,i ( xi,X2 ) f3,i ( xi,X2 ) dxi + fo,i("2) D2u(0,X2) dG2

h - h 2

+ / 11 2 a0’0 ( xi,“2 ) f3,i ( xi,“2 ) dxid«2

h - h 2

G 2 ^L0 X 2

h -

+ y j xiai,o(xi,a2)f3,i(xi,a2) d"ida2 + /

x ²

у ao,i ( xi,"2 ) f3,i ( "i, "2) d"i

0 x 2                                                 0

h -

+ j "iai,i(xi,"2)f3,i(xi,x2) d"i + fi,i("2) DiD2u(0,"2) dG2

h - h 2

+ 1 11 x ¹ a0’0 ( "i^,a2 ) f3,i ( xi,“2 ) d"id«2

h - h 2

G 2 ^L0 X 2

h - h 2

+ 11 "iai,o("i, ^a2)f3,i("i, «2) d"id«2 + j j a2,o("i, «2 ) f3,i ("i,«2) d"i d«2

h - ₂                                           h -

+ 1 "~2 ao,i("i, "2)f3,i("i,"2) d"i + j xiai,i("i,"2)f3,i(xi,"2) d"i

h -

+ У a2,i("i,"2)f3,i(xi,X2)dxi + f2,i("2) D^2 u(0,"2) dG2 0

+

G   ^uii X 2

h - h 2

/ / (ai - "i)

-ao,o(ai, «2)f3,i(ai, «2) d«id«2

h h 2

+ 1 /(ai - xi)ai,o(ai,a2)f3,i(ai, a2) daida2

x x 2

h h 2                                              h 2

+ У j a2,o(ai,a2)f3,i(ai,a2) dai da2 + j a3,o(xi, a2)f3,i(xi, a2) da2

X " X 2

h i

+/- x1

-

xi) ²

2---a^

h i

x 2

h 1

(ai,X2)f3,i(ai,X2) dai + j(ai - xi)ai,i(ai, X2)f3,i(ai, X2) dai x1

+ J a2,i ( ai,X2 ) f3,i ( ai,X2 ) dai + f3,i(xi,X2) D ³ D2u(xi, X2) dG.

x i

Таким образом, выражение f (Vu) приведено к виду f (Vu) = (^0,0f )u(0, 0) + (^i,of )Diu(0, 0) + (^2,of )D2u(0, 0)

⁺ J '^(Ш3’0^{f )(X}1^{D 3 u(X}1^{,0) dG}i ⁺ y^O-if ^{)( x}2 ⁾ D2^{u (0 ,x}2 ^{) d}G2

G i

G 2

+ У(^i,if )(x2)DiD2U(0, x2) dG2 + У (^2,if )(x2)D2D2u(0, x2) dG2        (4-3)

G 2

G 2

где

+ //(^3,if)(xi,X2)D3D2u(xi,X2) dG = (Vf)(u), G

^O,of = j ^ f3,i(xi,x2)ao,o(xi,x2) dG + fo,o;

G

^i,of = j ^f3,i(xi,x2) [xiao,o(xi,x2) + ai,o(xi,x2)] dG + fi,o;

G ₂

^2,of = I ^/3,i(xi,x2) |^x2 " ao,o(xi,x2)+ xiai,o(xi,x2) + a2,o(xi,x2)j dG + f2,o;

G

h h 2

/          A -      [ (ai

№o^f )(xi) =     --

-

— ao,o ( ai , X2 ) f3,i ( ai, X2 ) dai dx2

x 1 0 h h 2

+      (ai - xi)ai,0(ai , x2)f3,i (ai , x2) daidx2

h h 2                                             h 2

+ У У a2,o(ai,x2)f3,i(ai,x2) daidx2 + j a3,o(xi, x2f3,i(xi, x2) dx2 + f3,o(xi);

x i 0

h h 2 ₂

(^o,if )(x2) = j j у ao,o(xi, a2)f3,i(xi,a2) dxida2

0 x 2

h 1

x ²

+     "2" ao,i(xi,x2)f3,i(xi,X2) dxi + fo,i(X2);

+

h

Z

h - h 2

( ^1,1f )(X2) =jj

0 X 2

x ²

у ao,o (xi,a2)f3,i(xi, «2) dxida2

+

h 1 h 2

j j xiai,o ( xi ,«2)f3,i ( xi,a2 ) dxida2

0 X 2

x ²

₂ ao,i ( xi,X2 ) f3,i ( xi ,x2) dxi +

h -

Jxiai,i (xi,x2)f3,i(xi,x2) dxi + fi,i(x2);

h - h 2 ₂

(^2,if )(x2) = j j x₂ a0,0(xi,a2)f3,i(xi,a2) dxida2

0 x 2

h h 2

+ / 1 xiai,0(xi, a2)f3,i(xi,«2) dxida2

0 x 2

h - h 2

+ j y‘a2,o(xi,a2)f3,i(xi,a2)dxida2 +

0 X 2 h

h- x2

"21-a0,i(xi, x2)f3,i(xi,x2) dxi

h

+ j xiai,i(xi,x2)f3,i(xi,x2)dxi + j a2,i(xi,x2)J3,i(xi,x2) dxi + J2,i(x2);

h - h 2

h h 2

( Ш f f (ai

(W3,iJ Xxi,^) =      --- x x2

-

—ao,o(ai, a2)f3,i(ai, a2) daida2

h - h 2

+ / 1 (ai - xi)ai,o(ai,a2 ) / з , 1 (ai,a2) daida2 + j j a2,o(ai, a2)f3,i(ai, a2) daida2

x - x 2

h 2

+ a3,0(xi , a2)f3,i(xi , a2) da2 + x2

X - X 2

h 1

+/(Qi - x1

h -

(ai x-h

-

—^ao,i(ai,x2)f3,i(ai,x2) dai

xi)ai,i(ai,x2)f3,i(ai,x2) dai + j a2,i ( ai, x2 ) f3,i ( ai, x2 ) dai + f3,i(xi,x2). x

Используя равенство (4.3), т. е. равенство f(Vu) = (V * f)u , а также общий вид линейных ограниченных функционалов на wP ^{3 , i)} (G) , получим, что оператор V имеет сопряженный оператор вида

V* = (^0,0,^i,0, ^2,0, ^3,0? ^0,i, ^i,i, ^2,i, ^3,i) : Eq3,i) ^ Eq3,1), где операторы Wi,j, i = 0, 3, j = 0,1, определяются посредством равенств (4.4).

Поэтому сопряженное уравнение

(4.5)

V *f = X можно записать в виде эквивалентной системы следующих интегро-алгебраических уравнений:

wo,of = j ^ f3,i(xi,x2)ao,o(xi,x2) dG + fo,o = ^0,0;

G

^i,o f = j ^ f3,i(xi, x2) [xiao,o(xi,x2) + ai,o(xi,x2)] dG + fi,o = ^i,o;

G

^2,of = I ^f3,i(xi,x2) [y ao,o(xi,x2)+ xiai,o(xi,x2) + a2,o(xi,x2)j dG + f2,O = ^2,o;

G hi h2              2

-

(w3,of )(xi) = j j ^{( a i} 2 ^{x i )} ao,o(ai,x2)f3,i(ai,x2) daidx2

X" o h" h2                                                        h" h2

+ 1 ./^ - xi) ai,o(ai, x2)f3,i(ai,x2) daidx2 + j j a2,o(ai, x2)f3,i(ai, x2) daidx2

h 2

+ j a3,o(xi,x2)f3,i(xi,x2) dx2 + f3,o(xi) = ^3,o(xi);

h i h 2 ₂

(wo,if )(x2) = j j "21 ao,o(xi,a2)f3,i(xi,a2) dxida2

O X 2

hi x2

+     "2" ao,i(xi,x2)f3,i(xi,x2) dxi + fo,i(x2) = ^O,i(x2);

h i h 2 ₂                                                h i h 2

(wi,if )(x2) = j j "21 ao,o(xi,a2)f3,i(xi,a2) dxida2 + j y‘xiai,o(xi,a2)f3,i(xi,a2) dxida2

O X2o hi 2

+ j "2 " ao,i(xi,x2)f3,i (xi,x2) dxi + j xiai,i(xi, x2)f3,i(xi, x2) dxi + fi,i(x2 )= ^i,i (x2);

hi h2

(^2,if )(x2) = j j -21- ao,o ( xi,a2 ) f3,i ( xi,a2 ) dxi da2

0 X 2

h i h 2

h i h 2

+ 11 xiai,o(xi,a2)f3,i(xi,a2) dxi da2 + j j a2,o(xi, a2)f3,i(xi,a2) dxi da2

(4.6)

h i ₂                                           h i

+ j x" ao,i(xi,X2)f3,i(xi,X2) dxi + j xiai,i(xi, x2)f3,i(xi, x2) dxi hi

+ j a2,i(xi,x2)f3,i(xi,x2) dxi + f2,i(x2) = ^2,i(x2);

+

h i h 2 (^3,1f)(x1,x2) = j j

X i X 2

(ai

- xi) ²

ao,o(ai, a2)fa,i(ai, a2) dai da2

h 1 h 2

j j (ai - xi)ai,o(ai, a2)f3,i(ai, «2)

X i X 2

h i h 2

da _i da ₂ + У У a ₂ ,o(a _i , a ₂ )f3, _i (a _i , a ₂ ) da ₁ da ₂

x i x 2

+

h 2

h i

j a3,o(xi, a2)f3,i(xi,a2)da2 + j

(ai

- xi) ²

ao,i(ai, x2)f3,i(ai, x2) dai

x 2

h i

+ j(ai - xi)ai,i(ai,X2)f3,i(ai,X2) dai xi hi

+ У a2,i(ai,X2)f3,i(ai,X2) dai + f3,i(xi,x2) = ^3,i(xi,x2), xi где 0 = (00,0, 0i,0,02,0,03,0(xi),0o,i(x2),0i,i(x2),02,i(x2),03,i(xi,x2)) € Е^’1 — заданный, а f = (f0,0,f1’0,f2’0,f3’0(xi),f0’1(x2),f1’1(x2),f2’1(x2),f3’1(xi,x2)) € Eq3’1) — искомый элемент.

Последнее уравнение системы (4.6) является самостоятельным двумерным интегральным уравнением. Очевидно, что оператор ^3,1 этого уравнения является вольтер-ровым относительно точки (hi,h2). Используя это, а также условия, наложенные на коэффициенты a^(xi,x2), можно доказать, что это уравнение для любой правой части 03,1 € Lq(G) имеет единственное решение /3,1 € Lq(G). Очевидно, что если известно решение /3,1 последнего уравнения системы (4.6), то остальные компоненты решения f = (f0’0,f1’0,f2’0,f3’0(x1),f0’1 (x2),f1’1(x2),f2’1(x2),f3’1 (x1,x2)) € E^3’1)

можно вычислить посредством остальных равенств системы (4.6) при помощи решения /3,1 € L _q (G) последнего уравнения этой системы.

Следует отметить также, что оператор 03, ₁ : L_q (G) ^ L _q (G) можно рассматривать как сопряженный оператор для оператора N : L _p (G) ^ L _p (G) эквивалентного интегрального уравнения (3.6). Иначе говоря, для всех 1 6 p 6 го справедливо тождество

У^(Nb)(xi,x2)f3,i(xi,x2) dxi dx2 G

j ^ b(xi, X2)(V3,1/3,1 )(xi, X2) dxi dx2, G

(4.7)

b € LP(G),   f3’1 € Lq(G), где ^3’if3,i = ^3,1f.

Тождество (4.7) показывает, что если 1 6 p <  го , то N * = ^3,1 ; если же 1 < p 6 го , то ш * 1 = N . Поэтому для всех 1 6 p 6 го либо уравнение (3.6) является сопряженным уравнением для последнего уравнения системы (4.6), либо имеет место обратное утверждение. Это показывает, что уравнение (3.6) и последнее уравнение системы (4.6) являются «связанными» уравнениями. Поэтому из теоремы 3.1 следует, что справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1. Оператор 03, ₁ : L_q (G) ^ L_q (G) есть гомеоморфизм.

Следствие 4.1. Система (4.6) для любой ф Е E^3,1) имеет единственное решение f Е Е^ и при этом kf kE(3,1) 6 MME ,(з,1), где M — положительная постоянная, не q                         Eq               Eq зависящая от ψ .

§ 5. Построение фундаментального решения

Теперь возьмем произвольную точку (xi,x ₂ ) Е G и рассмотрим систему

^o,of = 1, W1,of = xi, 2 ^2,of = Xl, <^3,o f )(ai) = ( 1 2 11 e(xi ai), «1 Е (0, hi), (5.1) (^o,if)(«2) = 9(x2 ~ «2), «2 Е (0, h2), (^1,1 f)(«2) = xi0(x2 - «2), «2 Е (0, h2), (^2,1 f )(«2) = xi 0(x2 - «2), «2 Е (0, h2), l(^3,if )(ai,O2) = ( 1 2 1) e(xi ai) 9(x2 «2), («i, «2) Е G, которая является частным случаем системы (4.6).

Определение 5.1. Если для каждой заданной точки (xi,x ₂ ) Е G система (5.1) имеет хотя бы одно решение f (xi,x ₂ ) = (fo,o(xi, x ₂ ), fi,o(xi, X2), f2,o(xi, X2), f3,o(«1; xi,x2), fo,i(«2; xi,x2 ) ,fii ( a2 ; xi,x2), f2,i(«2; xi,x2), f3,i(«i,«2; xi,x2)) Е E^'¹¹, то это решение будем называть фундаментальным ( в -фундаментальным) решением задачи (2.1), (2.2).

Последнюю компоненту f3, ₁ ( « ₁ , « ₂ ; x1 , x ₂ ) можно рассматривать как новую функцию Римана для задачи Гурса. Можно показать, что если коэффициенты ai,j (xi, x ₂ ) обладают непрерывными производными D(D2 ai,j (xi, x ₂ ) в области G , то f3,i («1, « ₂ ; x1, x ₂ ) на самом деле есть функция Римана задачи Гурса в классическом смысле.

Теорема 5.1. Задача (2.1), (2.2) имеет единственное в-фундаментальное решение f (xi,X2)- При этом решение u Е wP ^{3 , 1)} (G) задачи (2.1), (2.2) может быть представлено посредством θ -фундаментального решения в виде

u(xi,X2) = yo,ofo,o(xi ,Х2) + ^1,0 f1,o(xi,X2) + ^2,of2,O (xi ,X2)

+

hl j V3,o(ai)f3,o(ai; xi,x2) d«i +

h 2

j Vo,i ( «2 ) fo,i ( «2 ; xi,x2) d«2

+

h 2

j ^ 1,1 («2)fi,1 («2; xi,x2) d«2 +

h 2

j ^2,1 («2)f2,1 («2; xi,x2) d«2

(5.2)

+

j ^ ^3,1 («1, «2)f3,i(«i,«2; xi,x ₂ ) dG.

G

C Существование единственного θ -фундаментального решения следует из следствия 4.1. Для доказательства справедливости представления (5.2) будем сравнивать

(3,i)                      (3,i)

правые части тождеств (4.1) и (4.3) на решениях u E Wp ^J( G) и f E Eq ^; задачи (2.1),

• (2.2)    и системы (5.1). Тогда получим:

^0,0^f0,0^(xi, ^x2) ⁺ Vi,ofi,o ^(xi^,x2^{) +} ^2,0^f2,0 ^(xi^,x2⁾

h                                         h 2

+ j ^3,o(ai)f3,o(ai; xi,x2) dai + j ^o,i(a2)fo,i(a2; xi,x2) da2

h 2

h 2

+ j Vi,i ( a2 )fi,i(a2; xi,x2) da2 + j ^2,i(a2)f2,i(a2; xi,x2) da2

+ / f ^3,i(ai,a2)f3,i(ai,a2; xi,x2) dai da2 = u(0, 0) + xiDiu(0, 0) + x2 1 D2u(0, 0)

^JG                                                                                                           (5.3)

h l

+/- h2

-

h 2

----0(x _i — a _i )D3u(a _i , 0) da _i +    6 ( x ₂ — a ₂ )D ₂ u(0,a ₂ ) da ₂

+ j xi6 ( x2 — O2)DiD2u(0, 02) da2 + 0

h 2

x ²

"2 1 0(x2 — O2)D2D2u(0, 02) da2

h l h 2

+Z Z^{(x i}

-

^ai^{) 2} W -----9(xi

-

a _i )D3D ₂ u(a _i , a ₂ ) da _i da ₂ .

Интегральное представление (3.2) функций u E wP ^{3 , i)} (G) показывает, что правая часть формулы (5.3) совпадает со значением u(xi,x ₂ ) решения u(ai, 02) в точке (xi,x2) -Этим справедливость представления (5.2) доказана. B

Пример. Пусть ai,o(xi,x2) = ai,i(xi,x2) = 0, i = 0,2; a3,o(x) = 0. В этом случае из (5.1) θ-фундаментальное решение задачи (2.1), (2.2) находится в виде f3,o(ai; xi,x2) = —

-

ai) ²

-----0(x _i — a _i ), a _i E (0, h _i );

fo,i(a2; xi,x2) = 9 ( x2 — «2),

a2 E (0, h2);

fi,i(a2; xi,X2) = xi 9 ( x2 — «2),

a2 E (0, h2);

x ²

f2,i(a2; xi,x2) = ₂ 0(x2 - a2),

a2 E (0, h2);

f3,i (ai,O2; xi,x2) = —

-

ai)2 /,.

-----0(xi

-

ai) 9 ( x2 — a2), (ai,a2) E G.

По формуле (5.2) в этом случае решение задачи (2.1), (2.2) можно найти в явном виде

h i

, X             .             .        X1 . f / x(x1 - «1)2

u(xi, Xi) = Ж0 + ^1,0X1 + ^2,0   +   ^3,o(ai)-----^-----

9 ( x1 — ai) da1

h 2                                       h 2

+ У ^0,1 («2) 9 ( x 2 - «2) d«2 + У^1,1(«2)Х1 9(X2 - «2 ) d«2

^h 2       _Xx2                                Лх1

+ У ^2,1 («2 )j 1 9 ( X2 — «2 ) d«2 + j ^ ^3,1(01,02)--- 0                               G

-

«1)2

-----9 ( x1 — ai) 9 ( x2 — «2) da ₁ da ₂ .

При конструировании приведенной выше схемы построения θ -фундаментальных решений краевых задач важную роль сыграл тот факт, что уравнение и краевые условия рассматривались нами в связанном виде, как различные компоненты одного операторного уравнения. Такой подход к краевым задачам открывает прямой путь к современным методам функционального анализа и является особенно удобным применительно к вопросам, связанным с рассмотрением сопряженных задач. В рамках такого подхода вопросы представления решения, а также разрешимости самой задачи и ее сопряженной системы оказываются тесно связанными, что позволяет получить более окончательные результаты в этом направлении. Более того, именно такой подход позволяет выявить также некоторые пути постановки корректных краевых задач в пространствах Wp( ^{3 , 1)} (G) .