Гармонические функции и теория потенциала

Harmonic functions and the potential’s theory

В области D с границей Г пространства R переменных Хь-., х„ рассмотрим функцию U(Xi,,„, x„)=U(X) точки X - (хь......, х„). Дифференциальное уравнение называется уравнением Лапласа, а его решения - гармоническими функциями. Соответствующее неоднородное уравнение, которое будем писать в виде

Дц = -<ц_п^(Х), (2) где ю_п = 2(7^) [г(н/2)] площадь единичной сферы пространства К\ есть уравнение Пуассона, причем р(Х) - заданная функция точки XeD. Если область D ограничена, то обладающее непрерывными вторыми производными в D решение уравнения Лапласа считается регулярной гармонической функцией. Аналогично, если р(Х) непрерывна в D, то решение уравнения Пуассона с непрерывными вторыми производными называется регулярным в D.

Пусть п-З. a p.w,n - аналитическая функция комплексного переменного w. Непосредственной подстановкой в уравнение Лапласа нетрудно проверить, что функция u=f(z-^ lx cos t + iy sin t, l) при любом t удовлетворяет этому уравнению, а отсюда следует, что при любых фиксированных а и b

u(x,y,z)= j/(z + ixcost + iysint,t)c// (3) является решением уравнения Лапласа. Если в этой формуле положим

/(и'_т#=и'" exp imt, а= -л, Ь=л, то получим однородный гармонический полином u(x,y,z) =

= J(z + ix cos t + iy sin t)" exp imldt, который в сферических координатах x=r sin 0 cos

принимает вид

+n = IFt™’*’ £ (cos# + i sin# cos/)" x xcosmtdi - P’P™(cos#)exp imp, где /'"(cos#) - присоединенные функции Лежандра

P” (cos#) = (-1Г            (sin#r X хр^т-п,т + п + );т + 1;(1 -cos#)/2).

Здесь F(a. /3; у s) - гипергеометрическая функция Гаусса, которая при т < п превращается в полином [2].

В сферических координатах при п-3 оператор Лапласа л                д / 2    . /А

Дц = —--— г и, sin# + r2sin#L#H z 7

+ A^sin6) + A(wjsi^ .

Пусть u(x, у, z) - регулярная в ограниченной области гармоническая функция, рассмотрим функцию

р(л,у,г) = г'ЧДх / г², у/г² ,z / FY

2      2      2      2

Г = Х -by + Z *

Она определена в области D', получаю- щейся из области D инверсией относительно единичной сферы Syr + у3 + z2 = 1}. Непосредственным подсчетом проверяется соотношение г5 -~--—(г2гл sin  = г sin# Эгх '

р sin9 др^х         '

где р=г *’. Из этого равенства и вида оператора Лапласа в сферических координатах следует, что функция vfx, у, z) гармонична во всех конечных точках области D’. В пространстве К¹, п>3, наряду с функцией и(х;, ...,х^ гармонична функция

v(x_L ..., х_п) = ^""uCxi/r², .... х^?) , (4) что можно проверить подстановкой в уравнение.

Пусть гармоническая функция и регулярна в ограниченной области D. Возьмем некоторую внутреннюю точку области D и осуществим инверсию относительно единичной сферы с центром в этой точке, без ограничения общности считая эту точку началом координат. Область D переходит при этом в область D\ лежащую во внешности образа Г', границы Г области D. Гармоническую функцию v, которая получается из и по формуле (4), будем называть регулярной в области D'. Следовательно, регулярность гармонической функции в области D, простирающейся до бесконечности, определим так: при помощи инверсии относительно сферы с центром во внешней для D точке область D переводим в ограниченную область D'. Гармоническая функция и называется регулярной в D, если соответствующая ей функция v регулярна в D*. В частности, если D содержит некоторую окрестность бесконечно удаленной точки, а и такова, что v регулярна в D', то и называется регулярной в бесконечности. В силу этого определения при п>3 гармоническая функция и(х_;, ..., х_п) const не регулярна на бесконечности.

Найдем решения уравнения Лапласа ф(г), зависящие только от г = ^2 + ... + .x,f. Непосредственным подсчетом из уравнения Лапласа получаем для <р (г)

^" + (rt-l)r"V = 0, общее решение которого имеет вид

3, где С] и Сз - произвольные постоянные. Рассмотрим функции

/ (И = 7—5л—      3’

(«~2)ч

П                2

Т^— In-, п-2, r²=£(x_t-£).

2тг г

Эти функции при т=0 имеют так называемую характеристическую особенность. Любое решение уравнения Лапласа, заданное в области D:

V(Xb .... х„, ^, ..., ^ = ^r)+w , где Н=(^. --, ^п )- внутренняя точка области D, a w - регулярная в области D гармоническая функция, называется фундаментальным решением с особенностью в точке

Нетрудно построить решение с характеристической особенностью и для более общего уравнения Ди+си=0, где с - некоторая постоянная. Для решений вида этого уравнения теперь получаем ф +---ф +сф-б, г а в результате замены переменных p-r'Tc^^-r^^tpkrJcX приходим к уравнению Бесселя [3]:

. 1 . Г (п-2^ 1 р \ г ) р ф=о.

Искомое решение с характеристической особенностью является неограниченным при р = 0 решением этого уравнения и имеет вид

^(г) = г²^ V, (гД n-2k + 1,

^(r) = r²^ ^^ ^г^У n = 2k.

Здесь Л - функция Бесселя, N_v - функция Неймана:

• - «     *       _«

я^(г)=2У,(г)[/л z/2 + С]-

34   „ Mlyl у ( 7   £ у J + у 1

где £ + 7 - натуральное число, а С - постоянная Эйлера.

При и=3 фундаментальное решение уравнения Лапласа можно взять в виде 1/4 лг. Физически функция r"l = [(x-£) + (у-?) + (*-<) ]

является гравитационным потенциалом, который создается в точке Р= (x,y,z) единичной массой, сосредоточенной в точке Q - (ЗД-

Пусть д^,?/,0 - функция, заданная в области D. Интеграл

u[x,y,z) = I—-------d^drjdQ (5)

d r называется потенциалом пространственного распределения масс с плотностью ц в области D. В общем случае интеграл

«(^)={д(е)/(г)^.^,    (5а)

X = (х_ь ..„x_n),Q = (^.„4n)), также называется потенциалом распределения масс в области D с плотностью у. Если точка X лежит во внешности области D. то потенциал и(Х) в этой точке является гармонической функцией. Это легко показать, дифференцируя под знаком интеграла. Если же X^D и ц имеет непрерывные производные, то потенциал (5а) удовлетворяет уравнению Пуассона Дм = -у(Х). Более подробно рассмотрим только случай п=3.

Теорема 1. Если плотность у(Х) в (5) ограничена и интегрируема в области D, то потенциал (5) и его первые производные равномерно непрерывны, при чем эти производные можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла.

Доказательство. Рассмотрим функцию иЛхХ^= \н^'"П^ M^d^dnd^, fg(r) - вспомогательная положительная функция, совпадающая с 1/г при г >6, т.е.

1/>, г >8.

Имеет место неравенство к-“|=

= [ J p^,n,OVA^rV^r"'"\^d^^dnd-; <

-М W^^^^A^nd^

= АяМ /Дг) + г"' ^dr = -—лМ8\ о                        5

где М- максимум |//|, а Дб) - шар г<8. Из этого неравенства следует, что при 8-А последовательнсть неравномерно сходится к потенциалу ним равномерно непрерывен ъП.

Из дифференцируемости функции /_J(r) = g(x-^,y-?7,z-^') вытекает дифференцируемость и₅, причем

\р^,дХ)^- fsA)d^di;.

ОХ £         ох

Рассмотрим сходящийся интеграл w(x,y,z) =

= \pU,n,0l"V-\d4dndC, ⁽⁶⁾ у          ОХ У Г )

который получается формальным дифференцированием выражения под знаком интеграла (5). Имеем

[ р^,Ц,^ ^-fAA~^r'' d^dr}dC. Л,,           ох ох

Хоткуда следует неравенство

— и, - W < дх 5

У² dr = 5лМ§.

Это значит, что последовательность

—ug равномерно сходится к w, поэтому Эх м> = wx и w равномерно непрерывна.

Определение 1. Функцию у будем называть непрерывной, по Гельдеру, в области D с показателем а, 0 < а < I, и с коэффициентом К, если для любой пары точек Р и Q области D справедливо неравенство рруре^ррр.еуу где L(P,Q) - расстояние между точками Р и Q.

Неравенство в этом определении называется условием Гельдера, а о функции ц иногда говорят, что она удовлетворяет условию Гельдера.

Теорема 2. Если плотность д(Х) потенциала (5) удовлетворяет условию Гель-дера в области D, то этот потенциал имеет непрерывные вторые производные и удовлетворяет уравнению Пуассона

Ли- -4яц.

Доказательство проведем для случая, когда плотность р(Х) непрерывно дифференцируема. При таком предположении в формуле (6) можно проинтегрировать но частям. Имеем

D         VA\J ;

= -$р«,ц,С)™^У^^ =

= ^p4-dCdr)dC - ^pr v^S, D Г Г где dS - элемент площади границы Г области D, а г, - косинус угла между внешней нормалью к Г и осью ОС В равенстве для их можно дифференцировать выражение под знаком интеграла в силу тех же обстоятельств, что и в доказательстве теоремы 1. После дифференцирования получим

Так как точка Р~(х, у, Г) не зависит от точ ки Q^CCdbO- —р^Р^б, последний Интезу грал в (7) можно записать так:

^p(e)--^)]~[}V-

/ 1 X

- £ а(0 - аМ ] — - Wd^.

yj                    С ЦМЛ ^ ' /

Подставив это выражение для J в (7) и воспользовавшись равенством д2 , У2 д^дх Эх приведем (7) к виду

/ дх\г )

d^d^.

/)

Аналогичные формулы получаются и для

Z^)yi U22*

»p(e)-#y)]^w к„(Р) = -д(Р)[ ^^^,5 +

/ 8z\r 4

₊ ^(2)-^(Р)]^Г1Ъ^<, л            V)

где v₂ и V; - косинусы углов, составленных внешней нормалью к Г с осями Оц и ОС соответственно.

Из формул (8) и (9) следует непрерывность вторых производных функции и и равенство

• 6 (П a ГП 1 _ . + — - v₂ + — — v₂dS = -^яр.

• 2.    Гобсон Е.В. Теорема сферических и эллипсоидальных функций. - М.: ИЛ, 1952. - 476 с.

• 3.    Курант Р. Уравнения с частными производ

  ными. - М.: Мир, 1964. - 830 с.

• 4.    Якушаускас А. К задаче о наклонной производной для эллиптических уравнений // Сиб. мат. журя,- 1975.-Т. 16,-№2.-С. 405-408.

• 5.    Якушаускас А. Аналитическая теория эллиптических уравнений. - Новосибирск: Наука, 1979.- 192 с.

ду V г )    Sz\ г ) J

При помощи формулы Гаусса-Острограде кого [2] в силу гармоничности г"¹ вычисление этого интеграла можно свести к вычислению аналогичного интеграла по сфере L(P,Q) = <5, а этот последний интеграл вычисляется явно[1],[4],[5].

Из-за того, что функция №W(Q)-p(P) в точке Р имеет нуль первого порядка, в предыдущем интеграле можно осуществить интегрирование по частям, в результате че го находим