Гармонические потенциалы на некомпактных римановых многообразиях

DOI:

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и теории функций, Волгоградский государственный университет ,

В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией решения эллиптических уравнений в частных производных второго порядка, а конкретно, уравнения Лапласа — Бельтрами и стационарного уравнения Шредингера, и геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных математиков: M. Anderson, А.А. Григорьяна, P. Li, А.Г. Лосева, В.М. Миклюкова, Н.С. Надирашвили, D. Sulivan, L.-F. Tam, S.-T. Yau и ряда других авторов.

Изучение эллиптических уравнений на римановых многообразиях является достаточно новым направлением в современной математике и лежит на стыке математического анализа, дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии, теории случайных процессов. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории двумерных некомпактных римановых многообразий и поверхностей. Отличительным свойством многообразий параболического типа является выполнение для них теоремы Лиувилля, утверждающей, что всякая положительная супергармоническая функция на данном многообразии является тождественной постоянной. Получению условий параболичности в терминах различных геометрических характеристик (площади сечения, объемов геодезических шаров, секционной кривизны, кривизны Риччи, емкости и т. д.) посвящено множество работ.

За последние десятилетия был найден ряд условий параболичности типа римановых многообразий в терминах роста объема, изменения кривизны, выполнения изопериметрических неравенств и т. д. К числу одних из первых эффектных геометрических результатов в определении типа риманова многообразия относится теорема S.Y. Cheng и S.T. Yau [9], утверждающая, что полное риманово многообразие является параболическим, если объем геодезического шара радиуса R растет не быстрее чем R 2 при R ^ то .

Позднее А.А. Григорьян доказал, что параболичность типа полного риманова многообразия эквивалентна тому, что вариационная емкость любого компакта равна нулю [4]. Вообще поиски признаков параболичности имеют большую историю. Общее представление о современных исследованиях в данном вопросе можно получить, например, из работы [10].

При этом исследования, посвященные классификационной теории римановых многообразий, не потеряли своей актуальности и в настоящее время. За последние годы получены обобщения параболичности типа как для различных эллиптических операторов, так и для других геометрических объектов (графы, фракталы и т. д.). Проблемы существования нетривиальных гармонических и субгармонических функций естественным образом приводят к теоремам типа Лиувилля, которые являются наиболее популярной частью рассматриваемой тематики.

В последние годы осуществляется следующий подход к теоремам типа Лиувилля. Пусть на римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор L . Говорят, что на М выполнено (А,!) -лиувиллево свойство, если любое решение

(субрешение) уравнения Lu = 0 , принадлежащее классу А , является тождественной постоянной. В случае когда L — линейный оператор, имеет смысл ставить вопрос о размерности пространств решений рассматриваемого уравнения.

Отдельно рассматривается близкая задача об асимптотическом поведении решений эллиптических уравнений на «бесконечности». Данным вопросам посвящены сотни работ (см., например, [5; 6; 11]).

Чаще всего в качестве класса А рассматриваются следующие множества функций: ограниченные, положительные, суммируемые, имеющие конечный интеграл энергии, с заданной скоростью роста и др. При этом в качестве L в основном берутся линейные и квазилинейные эллиптические операторы.

Ряд работ был посвящен исследованию решений эллиптических уравнений на римановых многообразиях с конечным числом концов [7; 8; 12; 13; 16].

Пусть М — полное некомпактное риманово многообразие. Будем говорить, что открытое множество Е С М является концом, если оно связано, не ограничено и его граница дЕ — компакт. Будем говорить, что М — многообразие с концами, если М представимо в виде объединения компактного множества и конечного числа непересе-кающихся концов.

В подавляющем большинстве работ разделяют концы параболического и гиперболического типа. Заметим, что гиперболичность типа конца Е эквивалентна существованию нетривиальной гармонической функции и на Е такой, что 0 <  и <  1 и v I qe = 0 . Такую функцию и принято называть емкостным потенциалом Е .

Большая часть исследований, проводившихся в данном направлении, посвящена получению оценок размерностей различных пространств решений эллиптических уравнений в терминах количества концов параболического и гиперболического типа или других емкостных характеристиках.

Однако ограничение на структуру многообразий с концами является достаточно жестким. Развивая емкостный подход, А.А. Григорьян в работах [2] и [1] ввел понятие массивного ( D -массивного) множества. С помощью данного понятия была получена оценка размерности пространств ограниченных гармонических функций (с конечным интегралом энергии).

Позже с помощью понятия q — массивных множеств в работах [3] и [14] была получена оценка размерности пространств ограниченных решений стационарного уравнения Шредингера

Ли — q(x)u = 0.

Применяемый подход позволил определить точные условия существования нетривиальных ограниченных решений полулинейного уравнения

Ли — д(х, и) = 0

на произвольных некомпактных римановых многообразиях [15].

Гармонические потенциалы

Важную роль в дальнейших исследованиях будет иметь понятие массивного множества. Следуя [10], введем его следующим образом.

Пусть Q С М — открытое множество. Будем говорить, что неотрицательная функция и является допустимой субгармонической функцией для Q, если она является ограниченной субгармонической функцией на М такой, что и = 0 на М \ Q и sup _Q и >  0.

Открытое множество Ω называется массивным , если существует как минимум одна допустимая субгармоническая функция для Q.

Субгармоническим потенциалом Ь _а открытого множества Q будем называть супремум всех допустимых субгармонических функций v для Q таких, что v <  1.

Если не существует допустимых субгармонических функций для Ω , то будем полагать Ь _а = 0. Очевидно, что Q является массивным тогда и только тогда, когда Ь _а = 0. Функцию Ь _а также называют гармонической мерой множества М \ Q.

Для множества Q с гладкой границей функцию Ь _а можно построить как предел последовательности решений соответствующих задач Дирихле. А именно, пусть { B _k } — произвольное гладкое исчерпание М, то есть последовательность открытых предком-пактных подмножеств в М с гладкими границами, что B k С B _k +1 и U _k B k = М. Пусть также { B _k } выбрана таким образом, что границы dB _k и dQ являются трансверсальными. Далее рассмотрим решения следующих задач Дирихле

• ' Ab k = 0, ж G Q П B k

• < b k = 0,х G д Q n B _K .

• b k = 1,х G dB k П Q

Несложно проверить справедливость следующего утверждения [10].

Предложение. Предположим, что Ω имеет непустую гладкую границу. Положим

Ь а = lim b k k ^^

в Ω , и

Ь а = 0

в М \ Q . Тогда справедливы следующие утверждения.

• 1.    Функция Ь _а является непрерывной и субгармонической в М и гармонической в Q.

• 2.    Для каждого собственного открытого множества Ω имеем

• 3.    Справедлива следующая дихотомия: либо Q — немассивное множество и Ь _а = 0, либо Q — массивное множество и sup Ь _а = 1.

Ь а = sup Ь а ‘ ,

Ω′ где супремум берется по всем областям Ω′ с гладкими границами, чьи замыкания содержатся в Ω.

Всюду далее будем рассматривать множества Ω с достаточно гладкими границами.

Перейдем к исследованию связи структуры массивных множеств и поведения гармонических функций на произвольных некомпактных римановых многообразиях. Будем считать, что М — полное некомпактное риманово многообразие с пустым краем. Обозначим через HB(М ) пространство ограниченных гармонических на М функций.

В [2] доказано, что на многообразии М существует нетривиальная гармоническая функция тогда и только тогда, когда на М существует как минимум два непересе-кающихся массивных множества. Далее будем считать, что данное требование на М выполнено. В противном случае задача становится тривиальной. Несложно доказать существование функции v _a , что v _a = 0 в М \ Q и

Av _a = 0,х G Q <     0 <  v a <  1     .

sup v a = 1

Далее такую функцию v _q будем называть емкостным потенциалом Q , или емкостным потенциалом, порожденным Q .

Пусть Q — некоторая область многообразия М, а { B _k } — произвольное гладкое исчерпание М. Обозначим SH (Q) — множество емкостных потенциалов, порожденных Q. Фиксируем некоторую функцию f Е SH (Q).

Обозначим v _k решение следующей краевой задачи

Г Av k (ж) = 0,х Е B k

\    ^vk \ dB _k = ^{f 1} дв _к ,

и vq = lim vk.

k ^^

Функцию v _q будем называть гармоническим потенциалом области Q . Отметим, что v _q является гармонической на М функцией, такой, что 0 <  v _q < 1. Также заметим, что множество гармонических потенциалов области Q может обладать достаточно большой мощностью. С другой стороны, мы можем каждому множеству Q поставить в соответствие единственный гармонический потенциал следующим образом.

Обозначим h _k решение следующей краевой задачи

Av k (x) = 0,х Е B k *      ^hk ¹ дв _к р q = ¹      ,

. ^hk ¹ дВ _к ^р{ М \Q} =⁰

и hQ = lim hk.

k ^^

Заметим, что если Q = М, то h _M = 1. Также заметим, что если Q — немассивное множество, то h _Q = 0, а если Q — массивное множество, то h _Q = 0.

Функцию h _Q будем называть базовым гармоническим потенциалом, порожденным областью Q (или просто гармоническим потенциалом, порожденным Q ). Отметим, что h _Q является гармонической на М функцией, такой, что 0 <  h _Q <  1. Очевидно, что базовый гармонический потенциал области Q принадлежит множеству гармонических потенциалов Q.

Обозначим линейную оболочку множества гармонических потенциалов на М как НО(М).

Введем на НО(М ) стандартную норму пространства непрерывных функций. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Подпространство НС(М ) является плотным в НВ(М ) .

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо проверить, что для любого е > 0 и любой функции и Е НВ(М) найдется такая линейная комбинация гармонических потенциалов, что т sup 1и(х) — У a{Vi(x)l < е.

х е м        _i =1

Предположим противное, то есть что найдется такая и Е НВ(М) и положительная константа е0 > 0, что для любой линейной комбинации ^aivi(x) выполнено sup |и(х) — У aiVi(х)| > ео, хем или, иначе

Ж       ^SUP ^^ - ^{Ф ( ж )) |} = ^е ° > °.

^ф^ нс ⁽ м ) _хеМ

Учитывая, что константа является гармоническим потенциалом (порожденным М ), не умаляя общности, можем считать, что и(х) — положительная гармоническая функция. Умножая на соответствующие константы, можем переформулировать предположение следующим образом.

Будем предполагать, что существует положительная функция w Е НВ(М ) такая, что для любой v Е HG(M ) и, в частности, для любого гармонического потенциала, выполнено

||w(x) — v(x) || >  1.

Зафиксируем некоторое e _i > °. Обозначим

Q = { х Е М : w(x) >  1 — e _i } .

Заметим, что Q — массивное множество. Пусть v _i (х) — гармонический потенциал области Q .

Докажем далее, что

I|w — V1II < 1, что сразу приводит к доказательству нашего утверждения.

Напомним процедуру построения гармонического потенциала и доказательство его нетривиальности. Обозначим f = (w — 1 + e _i ) ₊ — положительную срезку функции (w — 1 + € 1 ). Очевидно, что f — субгармоническая на М функция. Далее строится последовательность решений краевых задач

Г Av _k (х) = °,х Е В _к \    ^v k \ dB_k = ^f \ дв _к .

Обозначим v‘ = lim vk. п^^

Из принципа максимума для гармонических функций сразу следует, что v‘ > f. Далее производится нормировка vi = - v'.

€ 1

Таким образом в Q выполнено v' > f = w — 1 + €1.

Отсюда получаем	v i >  -w + 1 — -. € 1               € i
Тогда справедливо неравенство	1 — v i <  —(1 — w), € i
или	1 — v i <    . 1 — w € i

Следовательно, справедливо неравенство

€1 — e1v1 < 1 — w, или w — e1v1 < 1 — €1.

Несложно увидеть справедливость неравенств w — v1 < 1 — €1 + (e1 — 1)f1 < 1 — e1.

Отсюда сразу получаем, что на Q выполнено

||w — V 1|| < 1.

На М \ Q справедливость данного неравенства сразу следует из свойств гармонического потенциала v 1 и неравенства w <  1 — е 1 .

Теорема доказана.