Геометрия пучков управляемых динамических процессов, обладающих нелинейной дифференциальной реализацией в равномерно выпуклом банаховом пространстве. II

В этой работе (являющейся продолжением [1]) обратимся к вопросу разрешимости задачи нелинейной дифференциальной реализации на континуальном пучке динамических процессов; терминология и обозначения из [1] сохранены, нумерация параграфов, формул и утверждений продолжены.

Как подчеркивалось в [1], основной задачей качественной теории дифференциальной реализации систем (1) [1] с нелинейным законом x→u#(x) является анализ геометрической структуры пучков динамических процессов на многообразии Пu#. Таким образом, стратегия, которую следует выбрать исходя из программы исследований [1], состоит в том, чтобы сосредоточиться на изучении фиксированного семейства N"Пu# (фиксированное экзогенное поведение «вход-выход» исследуемой D-системы с позиционным управлением x^u#(x)). Желательно, чтобы при этом означенное семейство было настолько «обширным» по CardN, насколько это возможно; в локальном смысле (CardN=1) эта проблема решена в теореме 1 [1].

Обозначим через L( Т ,р, R ) пространство классов р-эквивалентности всех вещественных р-измеримых на Т функций и пусть < _L - квазиупорядочение в L( Т ,р, R ) такое, что ф ₁ < _L ф ₂, когда ф ₁, ф ₂ е L( Т ,р, R ) и при этом ф 1 ( t ) <ф ₂( t ) р-почти всюду в Т . Наименьшую верхнюю грань для подмножества W " L( Т ,р, R ) обозначим sup_L W , если она существует для W в структуре частичного упорядочения < L .

Для равномерно выпуклого пространства X введем (конечномерный прототип данной конструкции был введен в статье [2]) энтропийный оператор Релея - Ритца

Т : AC ( T , X ) xLq ( T , ц , Y ) xLq ( T , ц , Z ) ^ L ( T , ц , R )

построенный согласно правилу:

^ ( g , w , q )( t ) : =-

ii dg ( t ) / dt L (i g ( t )ii X +1 w ( t )i Y +1 q ( t )i Z ) q , если    ( g ( t ) , w ( t ) , q ( t ) ) * 0 е U ; 0 е R , если        ( g ( t ) , w ( t ) , q ( t ) ) = 0 е U .

Пусть N - П _u# , Card N >1 и Q - некоторое (следовательно, любое) поглощающее множество в Span N ; в геометрии поглощающего множества следуем [3, с. 302], т.е. и { a Q } _a > ₀=Span N . В такой постановке принцип максимума энтропии, выраженный теоремой 2 [2] в аналитическом решении задачи дифференциальной реализации поведения D -системы в классе конечномерных систем (1) [1], трансформируется в его аналог для реализации поведения N " П _u# бесконечномерной D -системы.

Теорема 2. Если X, Y , Z - равномерно выпуклы, то семейство процессов N " П _u# - K - решения уравнения (1) [1] тогда и только тогда, когда sup_L T ( Q ) e L p ( Т ,р, R ), или (что равносильно) существует такая р- непрерывная положительная мера v ₊, что для произвольного подинтервала Т :=[ t * , t ] с Т и любой тройки ( g , w , q ) е Q справедливо неравенство v _( Т * ) < ( v ₊( Т *)/ / ^p ( v ( Т У/ ^q , где v и v _ суть меры вида

И ⁵ ) ^: = J ⁽| g ^{( т} )| I X ⁺ 1 w ^{( т} )| Y ⁺ 1 q ^{( т )}| Z ) ц ⁽ d ^T X ⁵ е^ ц ,

S

^v ( ⁵ ) ^: = J II dg( ^T )^{/d T} ll x Ц ⁽ d ^T ) ^{5 е}Р ц .

S

Замечание 7.

Реализация фиксированной системой (1) [1] семейств динамических процессов из П _u# - свойство конечного характера [4, с. 28], что позволяет

(при желании) с учетом теоремы 2 и леммы Тейхмюллера - Тьюки [4, с. 28] построить (определение 1 [2]) весьма элегантную структурную по Бурбаки [5, с. 395] аксиоматику D -систем с реализацией в классе моделей (1) [1]; аналитическая основа - построение для заданного закона u # ( • ): AC ( ТX ^ L q ( T ,ц, Z) шкалы множеств, содержащей П _u# , и фиксация в ней максимального в П _u# множества N с характерным (структурным) теоретико-множественным свойством вида

³ sup l ^{V (} Q ) ^{е L} p ⁽ Т , ц , R ).

Доказательство теоремы 2.

Структуру доказательства можно построить на базе вывода теоремы 1 [1], но ниже за ее основу возьмем следующий цикл импликаций:

3 supL V (Q) е Lp (Т, ц, R) э э3v + :v _(Т *) 5 (V, (Т *))1/p (у(т *))'", V Т* = |t*, t* ]с Т, V(g, w, q )е Q э эN-K - решения (K-пучок) некоторого уравнения (1) [1] э э 3 supl V(Q) е Lp (Т, Ц, R).

Пусть существует sup_L V ( Q ) e L _p ( Т ,ц, R ), тогда справедливо положение: 3 f e L p ( Т ,p, R ): || dg ( • )/ dt || х < < ’ )№С)Г+l w (ОН/ +Hq C> q )1/ q , V ( g , w , q ) e Q , следовательно, в силу неравенства Коши - Буняковского, мера v ₊( S ):= J ^ | f ( t )| ^p ц( d т ), S ер_ц позволяет обнаружить (подтвердить) первое « э » - следствие:

v _( Т * ) <  ( v + ( Т "Г q (г( т * ))' q , V Т * = [ t * , t * ] с Т ,

V ( g , w , q ) е Q .

Теперь покажем, что данное неравенство означает. Семейство динамических процессов N представляет K -решения некоторого дифференциального уравнения (1) [1]. Пусть Q :={ me H : 3 T r с Т , 3 ( g , w , q ) е Q , to = x _Tr • ( g , w , q )}, X _Tr - характеристическая функция интервала T r =[ t ₀, t r ] c T , t ₀ < t r . Рассмотрим оператор Z : Q^ X

^{Z (} Х тг • ⁽ g , w , q ) ^: = J T ⁽ Х тг ^{( t} ) dg ^{( t} ) / d ^{T )} ц ⁽ d ^т ).

T

Покажем, что оператор Z допускает линейное непрерывное распространение, обозначаемое далее через Z *, на линейную оболочку Span Q . Для этого в силу теоремы 1 [6, с. 243] достаточно указать такую постоянную с >0, что каковы бы ни были конечные совокупности векторов { го i } i =i,_, k cQ и чисел { a i } i =i,_, _k с R для них всегда выполняется характеристическое неравенство || Sa i Z ( to i )|| X < с || Sa i ro i || _H .

С этой целью рассмотрим произвольный (но фиксированный) набор векторов {(xTi•(g,w,q)i}i =1,_,k из Q; при этом, не теряя общности, можно предположить, что все функции хTi различны, а сам набор упорядочен таким образом, что ti

Условимся через gi, wi и qi обозначать компоненты тройки (g,w,q)i e Q, а через gi_ю, wi_юи qi_ю- соответственно компоненты тройки (gi_ю,wi_ю,qi_ю)=юi eQ и пусть Т i:= :=[ti,ti_-1]. В такой постановке будет справедлива следующая цепочка транзитивных отношений (ниже все суммы S берутся при индексах i =1,., к):

E^a-^Z(Х* (g,wq)i)  = EJ ^(axA^T)dg. (^T) / d^T)M(d^T) =

X

T

T

<E J ⁽⁽Xt,^-Xt, J (^T ) dg ™ (^T ) / ^dT) Ц ( ^dT )  <

T

<EJ lldg- (^T) / ^dA X ^ (^dT )< T"

X

- *

T

\^1/q

*

T

X

X

*

= c

*

= c

\¹q

I <

\^1/q

<

\^1/q

JE

T

Л

T

||\ Ti     ^,VIM /X i^^{1 ш}х Xlx⁹ II'' '         '-1

v+|(Xt - Xt-1)(t)q_ (t)|^q

Yq

A A' ^q

^( dr)

m( dr)

= c *| |ЕаХт-(g, w, q )|Hh , где с*=(v+(Т))х1p . Таким образом, первый и последний члены этой цепочки показывают [6, с. 243], что линейное непрерывное распространение Z* существует.

Далее, пусть id_Span_{n -} единичный оператор на многообразии SpanO. Аналогично введем следующие операторы: id_Kend на Kerid_Spannи id_Kerz* на KerZ*.

Используя введенные выше конструкции, наглядно все необходимые дальнейшие рассуждения содержатся в следующей коммутативной диаграмме:

Ker idSpann—idKer d > Span П—idSpann— Span П n                  ||                ФС

KerZ* -----idKerz*——SpanO—Z* ---->X•

Для каждого элемента го из области значений оператора idSpann в силу условия {0}=Kerid_SpanncKerZ* следует, что вектор id_Spann-1(ro) переводится оператором Z* в Z*(ro). Этот элемент Z*(ro) поставим в соответствие с элементом го при действии оператора Z_- Полученный оператор Z_ отображает SpanO в пространстве X и, очевидно, линеен. Он непрерывен. Действительно, если D – открытое множество в X, то его прообраз при отображении Z_ равен id_Spann[Z*^-1[D]]. Но Z*^-1[D] открыто в силу непрерывности оператора Z*, тогда как область id_Spann[Z*^-1[D]] является открытой в силу гомеоморфизма id_Spann. Теперь с учетом теоремы 2 [6, с. 245] почти дословное повторение доказательства теоремы 1 [1] в части построения непрерывного продолжения Z* оператора Z_ на все пространство Hq, а также выбора (лемма 2 [1]) для Z_p — модели -Z* эквивалентной ей (А, В, B^#)p - модели - (А, В, B#) eL_p убеждает, что dg(•)/dt=Ag+Bw+B*q,V(g,w,q)eQ (установили второе «^» - следствие).

Осталось показать, что из N-K-решения (1) [1], следует 3sup_L^( Q )eLp (Т,р, R ):

dg (t) / dt = A (t) g (t) + B (t) w (t) + B # (t) q (t),

V(g, w, q) e Q ^

^ |dg⁽t )/dt^< | A^(t ]|| L₍X,X)||g⁽t )|| X +| B^(t )|| L₍Y, X )| w⁽t )| ^ +| B^{# (t} )|| L_(z, X )| q⁽t )||_z ,

V(g, w, q) e Q ^

1/p

^ ^g, w,q) < 0A0m-,X) +1B⁽-lL(Y-,X) +1B'(-IL,_z,X))   e Lp(T,Ц,^R),

V(g, w, q) e Q.

Последнее означает, что множество Т(Q) имеет в пространстве Lp(Т,μ,R) мажоранту, следовательно (теорема 17 [6, с. 68]), существует sup_LV(Q) класса L_p(Т,р,R).

• 4.    Инвариантность дифференциальной реализации на конечном семействе пучков динамических процессов

Качественное изучение дифференциальной реализации состоит прежде всего в выработке языка геометрической структуры пучков управляемых динамических процессов, поэтому естественно спросить: когда два K- пучка имеют одно (общее) дифференциальное уравнение реализации, выраженной в терминах этого языка? Требуется, следовательно, установить некоторое геометрическое отношение на заданном (для начала на конечном) семействе пучков моделируемых процессов. Ниже исследуем «угло вое отношение», которое индуцирует означенную структуру; назовем ее угловым инвариантным расширением реализации D-системы.

Пусть G и M - произвольные (но фиксированные) ненулевые замкнутые подпространства в (Hq,||-||н), такие, что GnM= {0}. Далее, через конст- рукцию

Y G, M ]:= inf {(h /| |h|| н -h'/|h'|| h : h g G/{0 },

h'g M /{0 }} обозначим угловое расстояние [7, с. 21] между подпространствами G и M; ясно, что при q=2 функция углового расстояния у[-,-], посредством скалярного произведения в Hq, тесно связана [7, с. 42] с обычной конструкцией угла в гильбертовом пространстве (например, теоремы 11. D [7, с. 21] и 14. C. [7, с. 42]).

Постановка углового расширения: пусть N1, N₂сПu#, NinN₂=0 - пучки динамических процессов с дифференциальной реализацией (1) [1] (необязательно с одной и той же (A, B, B#)p - моделью для N1 и N₂). Рассмотрим задачу, не прибегая к теореме 2, но используя факт существования реализаций для N1, N₂, необходимо определить на языке угловой метрики у[-,-] условия, когда расширенный пучок N:=N1uN₂ тоже характеризуется K-решениями некоторого дифференциального уравнения (1) [1].

Замечание 8. Другой геометрический подход к решению задачи инвариантного расширения реализации можно развить, опираясь на свойство полуаддитивности оператора Релея-Ритца (теорема 1 [8]) или, в варианте CardN=Х₀, на модифицированную из [9] конструкцию индуктивного расширения K-решений.

Обозначим через Е 1 и Е₂ замыкания в пространстве H_q линейных многообразий Span{x-(x, u, u#(x)):xgF, (x, u, u#(x))gN1} и Span{x-(x, u, u#(x)):X^GF, (x, u, u#(x))gN₂}, где FcL(Т, p, R) - семейство классов эквивалентности (modp) всех характеристических функций, индуцированных элементами о-алгебры р_ц.

Теорема 3. Пусть X, Y, Z - равномерно выпуклые пространства, тогда семейство динамических процессов N:=N1uN₂состоит (исключительно) из К-решений некоторого дифференциального уравнения (1) [1], если у[Е 1,Е₂]>0.

Доказательство. Факт у[E 1,E₂]>0 приводит к Е 1nЕ₂={0}, Е 1^Е 1+Е₂^Е₂ и для каждой тройки (g₀,w₀,q₀)g SpanN^Е 1+Е₂ имеет место равенство (g0,w0,q0)=(g 1,w 1,q 1)++(g2,w2,q2), где слагаемые (g 1,w 1,q 1)g SpanNv^E 1 и (g2,w2,q₂) g SpanN₂oE₂ определяются единственным представлением соответственно в SpanN1 и SpanN2.

В соответствии с теоремой 2 для каждого множества Sер_ц, а также означенных выше троек (g 1,w 1,q 1) и (g₂,w₂,q₂), будут справедливы два неравенства

V" (S) < (V,- (S..p V (S))"q, V 2— ( S ) < (V2+ ( SM¹' p (V 2( SM¹' q ^, где соответствующие меры равны

V^(S) ^:= J|dg 1⁽t)/ d^TXM⁽dT),

S                                                                        , (5)

^v1⁽S) ^:= J ⁽| Idg 1 ^(t )' ^dA X +1 I^dw1 ^(t )' ^dA Y+dqq 1 ^(t )' ^dA Y) ^⁽d^Tx

S

• ^V2 ⁽S) ^:= JIIdg2 ^(t) ' d^TXM^(dTX

S

• V2 (S) := J (||dg2 (t) / dTIX +||dw2 (t) / d^|Y + Xqq2 (t) / d^|Y ЫdT);

S здесь v+1 и v+2 - некоторые положительные меры, абсолютно непрерывные относительно ц и независящие от «конкретизаций» множества Sерц и троек вектор-функций (g 1,w 1,q 1)е Span^1 и (g2,w2,q2)е Span^2.

Теорема 3 будет доказана, как только покажем (теорема 2), что существует такая положительная мера v₊, абсолютно непрерывная относительно ц, что при произвольном выборе тройки (g₀,w₀,q₀) е Span^ и множества Sер_цвыполняется неравенство v_(S)<(v₊(S))¹'^p(v(S))¹'q, где меры v_, v соответственно равны

• ^V_(S):=J |dgo^(t)'^dAxM^(dTX                    ⁽⁶⁾

S

• ^v(S) ^:= J ⁽||go^(t )|| X⁺| w o^(t)| Y⁺ |qo^(t )|| Y )A^(dT).

S

Рассмотрим EixE₂ с нормой | w‘,w’’ |*:=(|w‘| ^q +|m‘‘| ^q)^1Zq, ю’еE 1, ю‘‘еE₂; ясно, что это пространство банахово. Обозначим через G соответствие между E 1xE₂ и линейным многообразием E 1+E₂ пространства H_q, организованное по правилу (ю‘, ю’’)^G(ю‘,ю‘‘)=го‘+го‘’, которое линейно, непрерывно и взаимно однозначно (последнее в силу неравенства у[E 1,E₂]>0). На основании 11.D [7, с. 21] (устанавливающего замкнутость E 1+E₂) и следствия [6, с. 454] заключаем, что непрерывен и оператор G^-1. Пусть число с*>0 - норма оператора G^-1 и пусть с:=max{1, c*}.

Теперь рассмотрим меру v₊:=с(v⁺1+v⁺₂). Тогда с учетом непрерывности оператора G"*, а так же используя (5), (6) и неравенство Ко-ши-Буняковского, имеем

• V _(S) = J ||dg 1 (t) / dT - dg₂(t) / dT _Xm(dT) <

Ы

• <    J |dg 1 ^(t) ' ^dT_XM^(dT) ⁺JIdg2 ^(t) ' ^dT_XM^(dT)<

SS

• <    v (S))1/p (v,(S))1/q + (v 2+ (S))1/p (v₂(S))1/q<

(v+ (S) + v 2⁺(S))1/p (v,( S) + v 2( S))1/q =

• =    ^(v+^(S ) + ^v2+^(S))1/p ||/_S.⁽g1, w^ q1), x_S •⁽g 2, w2, q 2 )|| * <

• < cv (S) + v₂⁺ (S))^vp|Xs. (g + g2,w + w₂,q, + q₂)||_я = (v₊(S))^vp(v(S))^vq, ^ТУ^ТXs- характеристическая функция Sер_ц. Теорема доказана.

• 5. О вложении класса вполне непрерывных нестационарных реализаций в пространство абсолютно суммируемых последовательностей

Теорема 3 позволяет, не используя прямо апелляцию к теореме 2, исследовать свойство реализации D-системы N^Пu# , 1N<к<Х₀ через анализ угловых расстояний y[Sj=1,...,Е,Ei₊₁] на конечном семействе пучков, в частности, «одноэлементных» Ni (i =1,.,к) из N, прошедших предварительную апробацию (теорема 1: Т(Ni)eLp(Т, ц,R)) на предмет существования реализации (1) [1] для каждого динамического процесса Ni. В данном контексте особый аналитический интерес приобретает постановка дифференциального моделирования слабоструктурированных D-систем, связанная с методологической позицией д)¹ замечания 6 [1]. С учетом общих положений, высказанных в замечании 7, теорема 3 имеет как «контрпункт» положения г) замечания 6 [1], очевидное, хотя и парадоксальное:

Следствие 2. Пусть N1, N_{2 —}различные максимальные элементы в упорядоченном по включению семействе всех подмножеств К-решений из Пu#, обладающих реализацией (1) [1] с u#(•):AC(TX^L_q(T,ц,Z). Тогда Y[Е1,Е₂]=0, при этом пучки динамических процессов Ni и N₂не обладают общей (A,B,B#)p - моделью в дифференциальной реализации (1) [1] с нелинейным позиционным законом x^u#(x).

Для D-системы, представленной произвольным семейством процессов, построение уравнений ее дифференциальной реализации (1) [1] довольно сложное (даже у стационарной (A, B, B#)p - модели [14, 16, 20]). Правда оно становится вполне обозримым в одном важном случае - в контексте проблемы аппроксимации [6, с. 513], когда для дифференциальной реализации (1) [1] ее интегральный ^-оператор (2) [1] нагружен дополнительными условиями, приближающими реализацию к dimX<да. Это построение формализует следующая «(A, B, B^#)p - конструкция».

Определение 4. Квазилинейную дифференциальную реализацию (1) [1] будем называть вполне непрерывной, если ее интегральный оператор (2) [1] компактный.

Для удобства подкласс (A, B, B^#)p – моделей, отвечающих в силу конструкции (2) вполне непрерывным квазилинейным дифференциальным реализациям, обозначим через Lp^com, при этом согласно (b) замечания 1 [27] далее считаем (X,||⋅||X), (Y,||⋅||Y),(Z,||⋅||Z) – вещественные сепарабельные гильбертовы пространства (предгильбертовость задают ||⋅||X, ||⋅||Y, ||⋅||Z), кроме того, используем «стандартные» обозначения lr, r∈[1,∞] банаховых пространств последовательностей [6, с. 147].

Одним из основных инструментов доказательства теоремы 2 служит лемма 2 [1]. Чтобы подчеркнуть роль, которую она играет, вначале докажем вложение Lp^comв l1 в несколько большей общности.

Теорема 4. Lp является фактор-пространством l1.

Доказательство. Пространства (X,||⋅||X),(Y,||⋅||Y),(Z,||⋅||Z) изоморфны пространству последовательностей l2[6, с. 176], следовательно, L(X,X), L(Y,X), L(Z,X) изоморфны банахову пространству L(l2,l2), которое сепарабельно (содержит всюду плотное множество матриц-операторов (2) [6, с. 409] с рациональными коэффициентами), а значит (теорема 1.5.18 [23, с. 150]) сепарабельно и пространство (Lp,||⋅||L).

Рассмотрим линейный оператор U: l1→Lp, полагая

U : {αi }→ ∑i=1,2.......αi, xi,{αi }∈ l1 , где {x1,…,xn,…}⊂Lp – счетное всюду плотное множество в единичном шаре SL (с центром в нуле) в Lp. Оператор U – непрерывный; компиляция теоремы 5.1 [28, с. 132], теоремы 3 [6, с. 260] и положения (f(x1),…,f(xn),…)∈l∞, ∀f∈Lp*. Далее, пусть Sl – единичный шар (с центром в нуле) в l1, и поскольку {x1,…,xn,…}⊂U(Sl), то образ U(Sl) плотен в шаре SL, откуда заключаем: U – гомоморфизм пространства l1 на пространство Lp(лемма 1 [6, с. 451]). Таким образом, пространства Lp и l1/KerU линейно гомеоморфные.

Следствие 3. L(Hq,X) изоморфно фактор-пространству l1/KerU.

С учетом следствия 3 и теоремы 3 [6, с. 326] следующая теорема представляется в достаточной степени очевидной.

Теорема 5. Класс Lp^comвполне непрерывных (A,B,B^#)p – моделей изоморфен подпространству π°U^-1(Lp^com), где π – фактор отображения при l1/KerU.

Заключение

Задача аналитического описания апостериорного множества данных возникает во многих разделах науки и техники и связана с моделированием и/или идентификацией сложных динамических систем [10]. В этом контексте выше даны строгие аналитические решения задачи дифференциальной реализации пучка динамических процессов, при этом необходимо отметить, что естественная потребность в построении теории диф- ференциальной реализации в бесконечномерных пространствах ощущалась давно [11] в связи с развитием обратных задач математической физики. Первый шаг в этом направлении сделал Колмогоров [12]2.

Надо отметить, что до какого-то момента «механический» перенос результатов конечно мерной теории дифференциальной реализации на бесконечно мерный случай проводится без особых осложнений [13] - это относится, в частности, к линейным стационарным моделям в некоторых пространствах Фреше [14] или в гильбертовых пространствах в собственном смысле слова [15, с. 216], полные ортонормированные системы которых являются базисом³, что активно использовалось в работах [8, 16, 17]. Серьезные трудности начинаются при переходе к реализации системы с пространством состояний, не обладающим⁴ базисом, и при моделировании которой нельзя обойтись без учета фактора нелинейности ее динамики, на что, по существу, и акцентировалось внимание в данной статье.

За пределами работы остался прикладной аспект проблемы, и можно сказать, что материал статьи можно рассматривать как начальный (и совершенно необходимый) этап в изучении реализации/идентификации [26, 31, 32] квазилинейных систем - раздел качественной теории обратных задач системного анализа [19, с. 25]. В данном контексте определим grossomodo исследования по дифференциальной реализации в банаховом пространстве, которые могут представлять дальнейший интерес:

• -    реализация с вполне непрерывной ^_p-моделью [29];

• -    стационарные модели, т.е. (A,B,B#)еL(XX)хL(YX)хL(ZX) [30];

• -    модели при T=R [12];

• -    модели с минимальной операторной нормой ||-||L(HX) [27].

А при d^k-1x/dt^k-1еAC(TX) и позиционном управлении u#(x(t-T1),x(t-t₂),.,x(t-Tr)) с запаздываниями т1,т₂,.,тr означенные постановки распространить на модели вида:

dkx / dtk = A, dk-1 x/ dtk-1 +... + A,dx/ dt + k-1                              1                                  (7)

A x + Bu + B # u^#( x ;т1,т₂, T_r),

Ak-1,..., Ao, B, B^#) e Lp (T, L (X, X)) x... x Lp (T, L (X, X)) x

Lp (T, L (Y, X)) x Lp (T, L (Z, X));

В связи с этим сошлемся на работу [20], в которой предложена конструктивная процедура построения квазилинейных дифференциальных реализаций, позволившая, например, показать, как рассматривать уравнения Эйлера в качестве эмпирической экстраполяции модели (7) в реализации наблюдаемого пространственного вращательного движения твердого тела ([21, 33] в контексте математической постановки задачи структурной идентификации [10, с. 349] из замечания 2 [1]).

В то время, как обыкновенным дифференциальным уравнениям соответствуют векторные поля, а дифференциальным включениям - многозначные поля ориентиров, наряду с означенными выше возможными постановками в дифференциальной реализации, можно также определить подобные задачи для класса дифференциальных включений [22], при соответствующих предположениях для компактнозначных отображений x^u#(x) и опорах на теорему 2 и теорему Кастэна [23, с. 177].

Эти, по необходимости краткие, формулировки обобщения задачи реализации в классе дифференциальных моделей (7), проясняя перспективу дальнейших исследований, несколько упрощают существо дела, если мы не склонны платить за максимальную общность дополнительными техническими осложнениями. Тем не менее отметим, что происходящее в настоящее время «изменение статуса» проблемы дифференциальной реализации следует рассматривать не как исключительный процесс, а скорее как возвращение к норме, поскольку помимо самостоятельного значения, которое имеет изучение дифференциальной реализации, эти изыскания оказываются чрезвычайно полезными в контексте общих теоретикосистемных исследований, связанных с математическим моделированием D-систем [11, 24], перестав быть областью системного анализа, замкнутого в себе, что уже подчеркивал Калман [24, с. 267]: «в теории систем задача реализации играет центральную роль».