Гомотопические группы связных компонент множества грубых однородных полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности

Понятие грубой динамической системы, задаваемой дифференциальным уравнением на многообразии, топологическая структура фазового портрета которой не меняется при малых возмущениях уравнения, имеет важное теоретическое и практическое значение. Исследованию грубых систем и их бифуркаций посвящено большое число работ.

Естественным является следующий вопрос. Какие две грубые системы можно соединить путем, не содержащим бифуркационных точек? Иными словами, требуется описать связные компоненты множества грубых динамических систем. В разных ситуациях эта задача изучалась в работах [1–5].

В работе [5] рассматривалось пространство дифференциальных уравнений на окружности, правые части которых – однородные тригонометрические полиномы степени n . В частности, были описаны множество уравнений Σ ⁰( n ), грубых относительно этого пространства, и его связные компоненты.

В настоящей статье мы исследуем гомотопические свойства связных компонент множества Σ ⁰ ( n ).

1 Связные компоненты множества грубых однородных полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности На окружности S ¹ = R /2 π Z рассмотрим дифференциальное уравнение ф = а ( ф ),                               (1)

где

a ( ϕ ) = ∑ _k ⁿ = ₀ a_k cos ^k ϕ sin ⁿ - ^k ϕ                    (2)

— однородный тригонометрический полином степени n ≥ 2 . Мы не будем исключать случай a ₀ = a ₁ = ... = a_n = 0. Уравнение (1) с правой частью (2) отождествляется с функцией a , а также с упорядоченным набором чисел ( a ₀, a ₁,..., a_n ) , а множество E _h ( n ) таких уравнений — с числовым пространством R ⁿ + ¹ с нормой a : = max a .

i =0,1,..,n

Так как

a ( ϕ + π ) ≡ ( - 1) ⁿ a ( ϕ ),                            (3)

то множество особых точек любого уравнения a ∈ E _h ( n ) (нулей его правой части а( ф )) инвариантно при сдвиге ф а ф + п окружности.

Уравнение a ∈ E _h ( n ) называется грубым , если найдется такая его окрестность U ( а ), что для любого уравнения а е U ( а ) существует гомеоморфизм h : S ¹ ^ S ¹, переводящий траектории уравнения а в траектории уравнения a с сохранением ориентации на них.

Пусть Σ0 (n) — множество уравнений a∈Eh(n), все особые точки которого гиперболические, то есть функция a(ϕ) либо не имеет нулей, либо имеет только простые нули. Из (3) следует, что Σ0 (n) при n=2k-1 является объединением множеств Σ0m(n), m= 1,...,k, состоящих из уравнений, имеющих 4m - 2 (гиперболических) особых точек, а при n= 2k является объединением множеств Σ0m(n), m= 0,...,k, состоящих из уравнений, имеющих 4m (гиперболических) особых точек. При n= 2k обо- значим также +^0(n) (соответственно,-S0(n)) подмножество множества ^0 (n), состоящее из уравнений a , для которых при любом ф а(ф) > 0 (соответственно, а(ф) < 0).

В [5] доказано, что

• 1)    множество S ⁰( n ) открыто и всюду плотно в E h ( n );

• 2)    уравнение a eE h ( n ) является грубым тогда и только тогда, когда принадлежит S ⁰( n ) ;

• 3)    связными компонентами множества S ⁰( n ) являются при четном n = 2 k множества ⁺^ 0 ( n ), ^-^ 0 ( n ) и Y m ( n ) ( m = 0,..., k ), а при нечетном n = 2 k - 1 — множества Y m ( n ) ( m = 1,..., k ) .

2 Гомотопические группы связных компонент множества 2 ⁰( n )

По поводу используемых ниже понятий гомотопической топологии см., например, книгу [6]. Сформулируем результаты настоящей работы.

Теорема . Для связной компоненты Y m ( n ) ( m = 1,..., k ) фундаментальная группа п 1 ( s m , ( n ) ) изоморфна группе целых чисел Z , а гомотопические группы п _p ( s m ( n ) ) при p >  2 тривиальны. Связные компоненты + ^ 0 ( n ) , ^-^ 0 ( n ) стягиваемы.

Доказательство . Для определенности пусть n = 2 k . Случай нечетного n рассматривается аналогично. Пусть I : = [0,1], p e N , отображение I^p э ц a a ^ e ^ m ( n )( m = 1,..., k ) непрерывно .

Лемма 1. Нули ф j ( ц ) , j e Z , функции а ^ц ( ф ) можно пронумеровать так, что при каждом j e Z ф j ( •) — непрерывная функция,

We Ip ф j (ц) < ф j+1( ц),                               (4)

^цe I^p ф j + 2 m ( ц ) = ф j ( ц ) + п .                         (5)

Доказательство леммы 1. Пусть |J — евклидова норма в R ^p . Так как все нули функции а ^ц ( ф ) простые, то, используя теорему о неявной функции и компактность I p , получаем, что существуют точки ц ⁵ e I^p , 5 = 1,2,..., N , и их окрестности U^s = { ц e I^p : | ц - ц ⁵ | <  £ _s } в I p , такие, что U N _{= 1} U⁵ = I^p , а для любого цe U^s все нули функции а ^ц ( ф ) имеют вид ф у ( ц ) , j e Z , где ф у ( • ) — непрерывная функция,

Vц е Us, фУ (ц) < ф^ (ц),(6)

Vц е Us фу+2m (ц) = фу (ц) + п .(7)

Пусть ц — произвольная точка I^p . Отрезок

Ьц := {v е Ip : v = тц, 0 < т < 1} соединяет точки 0 е Ip и ц . Выберем окрестности Us, i = 1,2,..., M , M < N так, чтобы Li := Us n L„ ^0, а UM Li = L„. Ввиду связности Ь„ µ            =µµ нумерацию окрестностей Us можно считать выбранной так, что Ь э 0, множество U”=1 Ь связно и имеет непустое пересечение с Ь+1 при всех q = 1,2,...,M -1.

Докажем, что для любого j е Z существует функция ф_ц j : Ь ц ^ R , удовлетворяющая следующим условиям:

• (С) ф ц j непрерывна, ф ц j (0) = ф у (0) и V v е Ь ц ф ц j ( v ) — нуль a v ( ф ). Определим по индукции такие числа j 1 , j ₂,..., j_M е Z , что j₁ = j и при всех l , r е {1,..., M } и v е Ь n Ь

ф у ( v ) = ф у ( v ).                                 ⁽⁸⁾

Пусть уже определены j 1 , j ₂,..., j_q , 1 <  q <  M - 1, причем (8) выполняется при всех l , r е {1,..., q }. Для любой точки v е Ь ^{+ 1} n Ь , i е {1,..., q }, имеем ф у '( v ) = ф У ^{+ 1}( v ) при некотором j_{q + 1} = j_{q + 1}( v ). Учитывая непрерывность функций ф ^ ( • ) , i е {1,..., M }, l е Z , неравенства (6) и равенства (8), получаем, что функция j_{q + 1}0 локально постоянна. Поскольку Ь ^{+ 1} n U ” = 1 L не пусто и связно, то j_{q + 1} = j_{q + 1} ( v ) постоянно для любого v е L q ^{+ 1} n U ” _{= 1} L . По индукции получаем существование искомых чисел j i , i = 1,2,..., M .

Теперь мы можем определить функцию фц j : Ьц ^ R, удовлетворяющую условиям (С), положив фц,j(v) = Tj (vv) при v е Ь , i = 1,2,...,M.                    (9)

Используя теорему о неявной функции и связность отрезка Ь ц , получаем единственность функции ф ц j , удовлетворяющей условиям (С). Поэтому ф ц j не зависит от выбора окрестностей U s i , покрывающих Ь ц .

Определим функции фj : Ip ^ R, j е Z, положив фj (ц) := фц j (ц) для любого це Ip . Для /%, принадлежащих достаточно малой окрестно- сти V(ц) точки ц в Ip, последовательность окрестностей Usi, используемую при построении функций фц j, можно взять ту же, что и для Фц j . Ввиду (9) найдется такое i е{1,2,...,M}, что VЦ е V(ц) Ф j (Д) = ф^'(ц) и потому ф j непрерывна.

ji

Докажем неравенства (4). При ц = 0 они верны вследствие (6) и включения L э 0 . Предположим, что при всех j е Z , ц е I^p они не верны. Тогда при некоторых j е Z , ц е I^p ф j ( ц ) = ф j _{+ 1}( ц ) . Множество тех ц , при которых это равенство выполняется, замкнуто вследствие непрерывности функций ф j , ф j _{+ 1} и открыто вследствие теоремы о неявной функции. Поэтому оно выполняется для всех ц е I^p. Но при ц = 0 это равенство неверно. Из полученного противоречия следует справедливость неравенств (4).

Равенства (5) следуют из (9) и (7). Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Для любых фе R и ц е Ip ац (ф) = q (ф, ц )П 2=Г81п(ф - Фi( ц)),                    (10)

где q (ф, ц) = £ n=0 mqj- (ц )sin j фcos n-2 m - j ф,                (11)

q j : I^p ^ R — непрерывные функции, q ( ф , ц ) ^ 0 .

Доказательство леммы 2. Пусть ац (ф) = Zn-0ai(ц)cosi фsinn-i ф .

Пусть при некотором ц0 е Ip а0(ц0) ^ 0. Выберем такую окрестность V(ц0)  точки  ц0  в  Ip,  что  Vц е V(ц0) aо(ц) ^ 0. Тогда  Vj е Z cos фj (ц) ^ 0. При ц е V (ц 0) многочлен P (t, ц) = Z П=о ai (ц) tn - i разложим на множители: P(t, ц) = Q(t, ц)(t -t1(ц))•••(t -t2m (ц)), где Q(t,ц) = Qn-2m(ц)tn-2m +... + Q1(ц)t + Qo(ц) — многочлен, не имеющий действительных корней, с коэффициентами Qj(ц), j = 0,1,...,n - 2m , непрерывно зависящими от ц е V(ц0), а ti (ц) = tg фi(ц).

При ф ^ п /2(mod п ) а ^ц ( ф ) = P (tg ф , ц )cos ⁿ ф , и потому для любого ц е V ( ц ₀) а ^ц ( ф ) можно записать в виде (10) , где q ( ф , ц ) имеет вид (11)

c q j ( ц ) = Q j ( ц )/ П 2 = m cos ф , ( ц ), j = 0,1,..., n - 2 m , q ( ф , ц ) Ф 0 для всех ф . По непрерывности (10) справедливо и при ф = п /2 (mod п ).

Если a q ( ц о ) = 0, то можно выбрать такое a , что при замене ф = ф + а уравнение а ^ц перейдет в уравнение а ^ц eE h ( n ), для которого соответствующий коэффициент <%₀( ц ₀) Ф 0. Пусть V ( ц ₀) — такая окрестность точки ц ₀ в I^p , что ^це V ( ц ₀) <%₀ ( ц ) Ф 0. По доказанному а ^ц ( ф ) = q( ф , ц ) П ² m sin(< % - Ф i ( ц ) - а ) , где q( ф , ц ) — однородный тригонометрический многочлен степени n - 2 m с коэффициентами, непрерывно зависящими от це V ( ц ₀), q ( ф , ц ) Ф 0 . Сделав обратную замену ф = ф - а , получим ^це V ( ц ₀) равенство (10).

Покажем, что при каждом це Ip представление (10) функции ац (ф) единственно. Пусть при некотором це Ip наряду с равенством (10) имеем и равенство ац (ф) = с(ф, ц )1П sin(ф - фi( ц)) с С(ф, ц) = n -2mm qj (ц )sin j фcos n-2 m- j ф. i=1                                    j=0

Тогда Vфe[0,2п]    ^ П-q m (q i (ц) - qi (ц ))sin i ф cos n-2 m- i ф = 0 . Но это равенство возможно только при qi (ц) = qi- (ц). Итак, лемма 2 доказана.

Уравнение а0 с правой частью а о (ф) = (sin2 ф + cos2 ф) k - m П 2 ^тф - п( j -1) / 2 m) принадлежит 2mm (n). Пусть отображение ys: I ^^°m (n), s е Z , ставит в соответствие числу це I уравнение с правой частью

(sin² ф + cos² ф ) k ^{- m} П 2 ^m 1 Sin( ф - п ( j - 1)/2 m - цп $ / m )) .

Так как при любом s е Z Y _s (0) = Y s (1) = а о , то отображения Y s являются петлями в точке а ₀, причем y о — постоянная петля, а y s — s -я степень петли Y ₁ . Тем самым для доказательства того, что фундаментальная группа n ₁( ^ m ( n )) изоморфна Z , достаточно показать, что: 1) любая петля гомотопна одной из петель y s ; 2) петли y l и y r при l ф r не гомотопны.

Пусть y : I ^^ m ( n ) — петля в точке а ₀: y (0) = y (1) = а ₀. Пусть правая часть уравнения а ^ц = у ( ц ) представлена в виде (10). Тогда мы можем считать, что для i = 1,2,...,2 m

ф(0) = п( i -1)/2 m, фг-(1) = п( i -1)/2 m + ns I m при некотором s е Z . Так как у(0) = а0, то q(ф,0) = 1, и потому V(ф, ц) q(ф, ц) > 0. Зададим непрерывное отображение Г: I х I >Eh (n), положив Г(ц,v) = ац, где 2 m ац (ф) = q(ф, ц,v)Пsin(ф - фt(ц,v)),                (12)

i = 1

ф i ( ц , v ) : = (1 - v ) ф _i ( ц ) + v ( п ( i - 1)/2 m + цп s I m ), q ( ф , ц , v ) = (1 - v ) q ( ф , ц ) + v (sin² ф + cos² ф ) k ^{- m} .

Так как      фi(ц,v) < фj(ц,v) при i < j, фi(0,v) = n(i -1)/2m, фi(1,v) = n(i-1)/2m + ns/m , q(ф,ц,v) > 0, q(ф,0,v) = q(ф,1,v) = 1, то Vц, v е I        Г(ц,v) е Sm (n),        Г(ц,0) = y(ц),        Г(ц,1) = ys (ц),

Г (0, v ) = Г (1, v ) = а ₀. Поэтому петля у гомотопна в S m , ( n ) петле y _s .

Предположим временно, что петли y _s и y r ( s Ф r ) гомотопны и Г : I х I >S m ( n ) — связывающая их гомотопия, то есть V ц , v е I

Г(ц,0) = у, (ц), Г(ц,1) = Уг (ц),(13)

Г(0,v) = а 0,(14)

Г(1,v) = а 0.(15)

Пусть а ^ц ( ф ) — правая часть уравнения Г ( ц , у ). Вследствие леммы 1 нули ф j ( ц , v ), j е Z , функции а ^ц ( ф ) можно считать пронумерованными так, что ф j ( ц , v )   — непрерывная функция на I х I ,

ф j (0,0) = п( j -1)/2 m, ф1 (ц,v) < ф2( ц,v) < ••• < ф2 m (ц,v) < ф1 (ц,v) + п .

Из (14) и непрерывности ф ₁ следует, что ф 1 постоянна на {0} х I и потому ф 1 (0,1) = ф 1 (0,0) = 0. Отсюда из (13) и непрерывности ф 1 получаем ф 1 (1,0) = n s / m , ф 1 (1,1) = n r / m . Но это противоречит тому, что в силу (15) и непрерывности ф 1 постоянна на {1} х I . Таким образом, петли y _s и y _r ( s Ф r ) негомотопны.

Докажем, что при p > 1 гомотопическая группа пp (Sm (n)) = 0. Рассмотрим сфероид y: Ip ^^m(n), У(дIp) = {а0}. Представим ац = у(ц) в виде (4). Так как дТр — связное множество, то фi(ц) = п(i-1)/2m при всех цедIp , i = 1,...,2 m. Гомотопию Г: Ip х I >E h (n), Г( ц,v) = aц’v зададим формулой (12) с фt (ц,v) := (1 - v)ф(ц) + v(п(i -1)/2m ,

ф , ц , v ) = (1 - v ) q ( ф , ц ) + v (sin² ф + cos² ф ) k ^{- m} .

Так как Γ ( I^p × {1}) = a ₀, то сфероид γ гомотопен постоянному сфероиду I^p → { a ₀}. Тем самым, π _p ( Σ ⁰ _m ( n )) = 0.

Докажем теперь, что множество + Σ ⁰₀ ( n ) стягиваемо. Рассмотрим уравнение a ₀ ∈ + Σ ₀⁰( n ) с правой частью a ₀( ϕ ) = (cos² ϕ + sin² ϕ ) ^k ≡ 1. Определим непрерывное отображение A : + Σ ⁰₀( n ) × I → + Σ ⁰₀( n ), поставив в соответствие паре ( a , τ ) ∈ + Σ ⁰₀( n ) × I уравнение ϕ & = τ a ₀( ϕ ) + (1 - τ ) a ( ϕ ). Так как A ( ⋅ , 0) — тождественное отображение множества + Σ ⁰₀( n ) и ∀ a ∈ + Σ ⁰₀( n ) A ( a ,1) = a ₀, то множество + Σ ⁰₀( n ) стягиваемо [6, с. 62]. Стягиваемость множества - Σ ⁰₀ ( n ) доказывается аналогично.

Заключение

В работе исследованы гомотопические свойства связных компонент множества грубых дифференциальных уравнений, правые части которых являются однородными тригонометрическими полиномами заданной степени. Для связных компонент, содержащих уравнения, имеющие особые точки, фундаментальная группа изоморфна группе целых чисел. Ее не-тривиальность является отражением симметрии структуры фазовых портретов уравнений, принадлежащих компоненте. Остальные гомотопические группы тривиальны. Связные компоненты, содержащие уравнения без особых точек, стягиваемы.