Инфляционная космологическая модель

I. Решение уравнений Эйнштейна

Для метрики типа IX по Бьянки, ранее рассматриваемой в работе [1], получено инфляционное космологическое решение уравнений Эйнштейна ds = П«р 9а 9р, а, в = 0,3,

( 1   0    0    0 Л

	0	- 1	0	0
где П а в =	0	0	- 1	0
	< 0	0	0	— 1 J

9 а- ортонор- мированные 1-формы, выражающиеся сле- дующим образом:

θ 0 = dt – R ν A e A , θ 1 = R K 1 e 1 , θ 2 = R K 2 e 2 ,

θ3 = R K3 e3,

R = R(t), а K A , ν A = const, причем K A > 0, при A = 1, 2, 3.

e1 = cos y cos z dx – sin z dy, e2 = cos y sin z dx + cos z dy, e3 = – sin y dx + dz.                  (1)

Мы используем с = 1, ħ = 1, 8πG = 1, где G – ньютоновская гравитационная постоянная.

В нашем случае ненулевыми компонентами являются K_pK₂,K₃, v , связанные между собой соотношением

K 1 = K 22 + v² ,К ₂ = K 3 .

Источниками гравитации являются вакуумоподобная жидкость, несопутствующая пыль, а также скалярное поле.

Тензор энергии-импульса идеальной жидкости имеет вид

Т _ар ⁽¹⁾ = ^{( п +} Р )^U a ^U p — ^П ар .      ⁽²⁾

Тензор энергии-импульса несопутствующей пыли имеет вид

T „_f ® = е и а й р.          (3)

Полагаем, что

~ а =

= ( fi+U* ,u 1 , 0 , 0 ),u _a = ( 1 , 0 , 0 , 0 ), х = ( 0 , 1 , 0 , 0 ). ’

Тензор энергии-импульса скалярного поля имеет вид ^ГГ ^{( 3} ) __

^Т АВ   =

= ⁽ Р , а У , в —J ¹ P , k ^ig" ^{- U(} Р ) ^ g_aP е^{е в} ,

(4) где e^a_A - Лоренцева тетрада.

При этом скалярное поле удовлетворяет уравнению дг {■/-§g^k )+ dU = 0.

4 — g

Потенциал скалярного поля, следуя работе [2], выбран в виде

U(^) = A(V0 - V(t))2.(6)

Запишем уравнения Эйнштейна в тетрадной форме:

GaP = Тав, ap lX ap g^ap1 v,

( 1 )            ( 2 )            ( 3 )

ap ~ T ap + ^T ap + ^T ap

щ =

V

K 2 ^,

Также заранее предполагаем, что иде-

R = R o e ^Qt , _     1        a² H² K ₂ ²

^£ = 2 R ² e ^{2 Qt} K 2²     e ^{2 Ht} K 2

альная жидкость "вакуумоподобна", т.е.

П = — p .

В результате получим систему уравнений

p = — п =

₂ K 2        1        a ² H²K ₂²   Aa²

= Q K ^{2 +} 4 R _o2 e ^{2 Qt} K₂ ^{1 +} 2 e ^{2 Ht} K ₂²     e ^{2 Ht .}

к

„ R" R' 2 1

R R ² J

G 00 = ^-

V^₊ R 2 2 K1 + K 22

K ² R ²    4 R ² K ⁴

^p + £ (u i + 1 ) + p— ( 1 + -^)) + U ^{( p}) ,  (8)

2 K

к

„ R ” R ‘ 2 1

2 ⁺ IP

R

G ii = -

? R' ²

+3

R ²

2  22

^V 1   , - ^K 2 ^{+ 2 V} 1

+4

K ²    4 R ² K

' ²         V 2

п + г и 1² +     ( 1 + -2 ) - U( p ) ,      (9)

2 K

G 22 = G 33 =

- K L1 V 1

+         4

4 R ² K

к

' R"   R '²1

^{2 +} IP

R

= п +

^{p 2}

—

к

¹⁺ p

K 1 J

73 — ^U ( p ) , K ₁

G o1 = 2

I

к

R" R '²1

— + —

R R ² J

Il +

K 1

^K V 1

2 R ² ( K 2 K 3 ) ²

2         „,2 V

= £U^ у 1 + U ^ + p ---

1        1         _{K 1}

Уравнение для скалярного поля (5) име-

ет вид

7 RKaK 12 dU(P)n

3 — p + p +---=

R        K 22

Решая совместно систему уравнений Эйнштейна с уравнением скалярного поля, получим

p ( t ) = P o — a e ^{— Ht} ,

II. Получение уравнения Уиллера–деВитта

Пространство-время с данной метрикой можно расщепить на пространство и время согласно стандартной процедуре. Для этого метрику можно представить в виде ds2 =

= — N2 dt2 + gab(dxa + Nadt)(dxb + Nbdt), а нормальный базис на гиперповерхностях постоянного параметра t = const определяется триадой касательных векторов e^ (a - ре перный индекс, a - координатный индекс); e0 = 0, ebb =

Как известно, T - волновая функция Вселенной – удовлетворяет уравнению Уилера–деВитта

R T = 0

и уравнениям суперимпульсов

Ta T = 0.

Согласно литературе [3], уравнения связей можно записать в виде

T . =

= — ° 0 G. п'п ~ g1 /2 -3 R — 2° 0 g1 /2 • Tu = 0, Ta =—2 gacKpd — 2 g1 / 2 - T a = 0.(18)

Здесь ab         1/2     abab

П =— g (K — g K),

Kab =— ”a;b,(19)

T    T ap n ^a n ^p , T_{a ±} = ° n ^a e P T pa ,

a0 = -1, Ta/} — ТЭИ источников гравитации данной модели.

В результате вычислений получим для нашей метрики cos yRK2       2  4    2     2  4

^T 1 =-- ( ^{12 R K} 2 - ^{R( 3} ^ ^K 2 + ⁴

2 K

+ VK 2 K 2 + 4 s K 4 u₀ ² + 4 p K 4 + 4 n K 22 v 2 ) + 3 K 2 ),

T = - 2 cos ² ycoszR⁴ K 2 vK^ p + n ) = 0 ,

T₂ = 2 cos ycoszR⁴ K 2 vK^ p + n ) = 0 ,

При этом, чтобы избежать сингулярности, потребуем:    < 2.

Очевидно, что данная функция равна нулю в двух точках:

( R 0 ) ( 1 ) = ⁰ ,

( R 0 ) ( 2,

= R 0

H a H [ Q ^J

T₃ = 0 .

Канонический импульс

ⁿ R

48 n² RR'K ₂4

K 1

Коэффициент туннеллирования Вселенной (ВКБ коэффициент прохождения через потенциальный барьер) вычисляем в следующем виде:

Определим в духе минисуперпростран-

ственного квантования

ⁿ R =

1 d    2      d ²

; n = i dR  R    dR

= exp

—

8^6 n ² K 4 Ha³ R

[

9 K 1

.

Выразим R' из условия (21) и подставим в (20).

Составляем уравнение Уиллера–деВитта. В нашем случае оно будет иметь вид d2

d R ²

- U(R)

Y (R ) = 0 .

Подставив ранее найденные значения параметров жидкостей, получим

U(R) =

2 H

384 П ^{4 R 4 K} 28     2    2  2 Г ^R 0 4 Q J

= K — ^{6 Q - a} H l R J    .

1       v                             7