Исследование математической модели конфликтов в группе роботов

Бесплатный доступ

Представлен вывод достаточного для бесконфликтности двух роботов условия; полученный признак исследован на применимость. Изучены условия, при которых на заданных тактах наступит конфликт между роботами. Приведена оценка максимального числа парных конфликтов в группе роботов.

Роботы, эмоции, конфликты, исследование, математическое моделирование

Короткий адрес: https://sciup.org/14730151

IDR: 14730151

Текст научной статьи Исследование математической модели конфликтов в группе роботов

В теории эмоциональных роботов [2, 5] вводится понятие эмоционального воспитания робота, которое определяется следующей формулой:

R + 1 = Ь- R + r + i

R 1 = r 1 .

Здесь i – такт – отрезок времени, в течение которого робот испытывает некоторую эмоцию. Значение ri характеризует эффект, вы- званный данной эмоцией, и называется элементарным воспитанием. Величина Ri описывает общее состояние робота после i воспитательных тактов и именуется суммарным воспитанием. Коэффициенты памяти 0 < 0i < 1 характеризуют тенденцию суммарного воспитания прийти к нейтральному состоянию (R = 0) в отсутствие воспитательных воздействий.

В работе [3] исследуется случай равномерно забывчивого робота [2, 5], коэффициенты памяти которого неизменны, т.е. 0i = 0 = const. Для данного случая устанавливается критерий сходимости суммарного воспитания. Согласно данному критерию, сходимость последовательности {Ri}, опре деленной соотношением (1), эквивалентна сходимости последовательности элементарных воспитаний {ri}.

Введем в рассмотрение двух роботов σ 1 , σ 2 , характеризующихся своими суммарными воспитаниями R i [ с 1 ] , R j [ с 2 ] . Согласно основному труду по теории роботов [2], конфликт между двумя роботами наступит тогда и только тогда, когда они имеют противоположные воспитания. То есть Ri [ с 1 ] = - R j [ с 2 ] или R i [ с 1 ] + R j [ с 2 ] = 0 .

Целью настоящей статьи является изучение математической модели конфликта двух роботов.

Пусть у нас есть два равномерно забывчивых робота σ 1 , σ 2 , имеющих коэффициенты памяти соответственно 0 1 , 0 2 (0 0 1 , 0 2 1). На роботов воздействуют при помощи равноценных эмоций – таких эмоций, эффект от которых одинаков [2, 5] r i = r = const . Обозначим вызванные у роботов σ 1 , σ 2 эмоциональные отклики как r 1 , - r 2 , при этом r 1 , r 2 0 .

Суммарное воспитание, полученное первым роботом в ходе воспитательного процесса, состоящего из i тактов, выразится через соотношения:

R i \ h 1 ] = 0 1 ^-1 Ь ] + r i , R i h ] = r 1 .

Справедлива следующая цепочка:

Л‘ + 1) > /(i) « г ■ ——— > г

1

о oi+1 < 0i о 0 < 1.

1 - о1

Аналогично и для второго робота:

R ; \ h 2 ] = 0 2 R j - 1 \ h 2 ] - r 2 , R i k 2 ] = - r 2 .

При наложенных условиях R i \ h 1 ] и R j \ h 2 ] допускают явные решения в виде

^ilcj = fi + Ti ■ 0] + ■■■ + ?! ■ di ■ или

Таким образом, последовательность { f ( i )} действительно оказывается возрастающей при данных условиях.

Лемма 2

Если r 0 и 0 в 1 , то

„ 1 - 0‘ г                  .

r --<---- для любого i .

1 - в 1 - в

R i l ^ X ] = r 1

RjW = -*z - гг ■ % или

1 - o i

1 - 0 1 ;

, — rz ' ®j

Доказательство

Истинность леммы прямо следует из цепочки

г- <     «1 О’ < 1 « О1 > 0 ^

о в > 0.

R j \ h 2 ] = - r 2

1 - 0 2

1 - 0 2

.

Теорема 1

Пусть r1, r2 0 . Если коэффициенты памяти 01 , в2 ( 0 в12 1 ) удовлетворяют одному из неравенств:

Условие наступления конфликта для пары роботов σ 1 , σ 2 , у каждого из которых воспитательный процесс занял i и j тактов соответственно, запишется в виде:

R i ^ ]= - R j \ h 2 ]

0 1 + r-r

---r— 0

1 - 0 1        2

или

r 1

1 - e {

1 - 0 1

= r2

1 - 0 2 j •-----------------------

.

1 - 0 2

Коэффициенты памяти θ 1 , θ 2 , при которых равенство (2) не может быть выполнено ни при каких i и j ( i , j 2 ), если r1 и r2 заданы, называются антиконфликтными коэффициентами памяти [2]. Если коэффициенты памяти двух роботов антиконфликтные, то роботы никогда не окажутся в состоянии конфликта.

Итак, каким соотношением должны быть связаны коэффициенты памяти θ 1 , θ 2 , чтобы являться антиконфликтными?

Лемма 1

или

0 1 + r-r

---— >  в , 1 + 0 1        2

то равенство (2) не может быть ни при каких i, j > 2.

выполнено

r1 •

Доказательство

Используя лемму 2,

10 Л_ для i 2 .

1 - 0 1   1 - 0 1

По лемме 1

2 i-e3 для j 2 .

Если

r 1

1 - 0 1

получаем

12^ i-e3

< r 2 ( 1 + в2 ) , то справедлива

При r 0 и 0 в 1 последователь-

1 - 0                    „ ность f (i) = r • ——— является возрастающей.

следующая цепочка неравенств:

4 ■ ^-^ < — < r2 ■ (1 + 0,) < r2 ■ ^^

.

Доказательство:

Из нее следует невозможность выполнения равенства (2) ни при каких i и j ( i , j 2 ).

Применяя лемму 1 к Ri [а1 ], лемму 2 к - Rj [а 2 ] и повторяя те же рассуждения, по- лучаем второе неравенство:

r 2

1 - 0 2

< Г . ' ( 1 + 0 1 ).

Полученные неравенства легко преобразуются к виду (3), (4).

Таким образом, выполнение любого неравенства из условий теоремы 1 влечет за собой вывод, что коэффициенты памяти θ 1 , θ 2 – антиконфликтные.

Проанализируем полученный результат. Всегда ли по полученным неравенствам можно определить пару чисел, являющихся анти-конфликтными коэффициентами памяти? То есть, действительно ли при произвольных значениях r1, r2 > 0 найдутся такие коэффи- циенты памяти θ1 , θ2 , которые удовлетворяли хотя бы одному неравенству (3) или (4)?

Теорема 2

Для любых r 1 , r2 >  0 существуют такие числа ( 0 0 1 ,0 2 <  1 ), которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству ( 3 ) или ( 4 ).

Доказательство

Допустим обратное. Тогда найдутся такие числа r 1 и r 2 , что ни одно из неравенств (3) и (4) не может быть выполнено, какие бы числа θ 1 , θ 2 ни взять. В этом случае, при произвольных значениях θ 1 , θ 2 , справедливо двойное неравенство:

ех+^ ех+^

----3— > 02 >---^“    (5)

.         (5)

Поскольку 0 < 02 < 1, должны выпол- няться следующие условия:

Система (6) следует из того, что если при некотором значении θ 1 было бы, например ,

01+ '^ r ц =      2— < 1, то мы могли бы взять в

1 - 0 1        

(1 1 + ц ^

качестве 0 = max I , I и тем самым

2       12   2 J найти числа θ1 , θ2 , при которых двойное неравенство (5) не выполняется.

После некоторых преобразований получаем эквивалентную системе (6) систему

r^> 2'(1 - 0)

V             .            (6')

I <1+01

Ввиду того, что левые и правые части неравенств системы (6') положительны, эти неравенства можно почленно перемножить:

r/ r2              2

> 2 .(1 - 01 )

r 2 r 1

или

1 2 - ( 1 - 0 12 ) .                 (7)

Будучи следствием системы (6), неравенство (7) должно выполняться при любых θ1 . Но, непосредственной подстановкой видно, что, 1

например, значение 01 = — не удовлетворяет ему: 1 > — . Получили противоречие.

Таким образом, какие бы элементарные воспитания r 1 и - r 2 ( r 1, r 2 0 ) ни взять, можно так сконструировать двух роботов σ 1 , σ 2 , что они никогда в процессе своего воспитания (для тактов i , j 2 ) не вступят в конфликт.

При r = r 2 неравенства (3) и (4) принимают наиболее простой вид:

01 + V r2

1 - 0 1

0 1 + r-r2 r 1

1 + 0 1

> 1

< 0

θ

1 0, или

1 - 0 1     2

-°_ > 02.

1 + 0 1      2

В монографии [2] доказывается, что коэффициенты памяти 0 1 = —, 0 2 = — являются

антиконфликтными при условии r 1 = r2 . В то же время эти коэффициенты удовлетворяют

1 0n

Нижняя оценка для r --следует из

1 0

второму неравенству:

следующей цепочки:

1-0"

1-9"

Для того же случая r 1 = r 2 = r коэффи-

циенты памяти 0. = , 0 = — не будут яв-

1 2     2 4

ляться антиконфликтными, так как конфликт между роботами наступит на третьем и втором воспитательных тактах соответственно:

Последнее неравенство в цепочке справедливо, так как последовательность 0 n } является убывающей при данных условиях.

Верхнюю оценку докажем по индукции. База n = 2:

1 -

r •

r •

-

-

r • —

-

7 r .

Легко видеть, что данные коэффициенты па-

мяти не удовлетворяют ни одному неравенст-

ву (3), (4):

= 1 >

Последнее неравенство истинно, поскольку 0 0 <  1.

Пусть лемма выполнена для n = k . То

1 0к есть, r --< r к .

Имеем 0к <  1 (по условию, 0 0 1 ).

Отсюда следует r • 0к < r. Складывая почленно имеющиеся неравенства, получаем: 1-6*.

г--+ r-0k

1 - 6t+1      ,.

= <

1-0

Лемма доказана.

В этом параграфе рассмотрим условия, при которых процесс воспитания двух роботов σ 1 , σ 2 приведет к конфликту между ними на тактах с номерами i и j . Как и прежде, на каждом такте элементарные воздействия на роботов – величины противоположных знаков r 1 и r 2 . Коэффициенты памяти у роботов 0 1 , 0 2 подчиняются требованию 0 0 1 , 0 2 <  1 . Начальные моменты воспитания не рассматриваются: i 2 и j 2 .

Пусть r >  0 , 0 0 1 и n > 2 - нату- 1 0 n „ ральное число. Тогда r < r ——— < r n .

Доказательство

Теорема 3

Если r 1 , r 2 0 и i, j > 2 - заданные номера тактов, то коэффициенты памяти θ 1 , θ 2 , удовлетворяющие равенству (2), существуют тогда и только тогда, когда вы-

полняется система неравенств:

<

i • r > r2

. j • r2 > r1

Доказательство

Необходимость

Пусть существуют такие θ 1 , θ 2 , для ко-

1 0 торых r • -—= r 2

1 0 2

1 0 2

= 0.

Ввиду доказанной леммы, имеем i • r1 > о > r1. С другой стороны, применяя ту

же лемму, получаем j r 2 о r 2 . Из сопоставления этих соотношений следует, что одновременно выполняются неравенства i r r 2 и j r 2 r 1 .

Достаточность

Пусть выполняется система (8).

Рассмотрим полиномиальные относительно θ 1 , θ 2 функции, определяющие суммарное воспитание двух роботов σ 1 , σ 2 по прошествии i, j тактов соответственно:

^И = Гх + Гх-^+'-'+Гх-е! 1

.

Расширим их область определения: 0 0 1 , 0 2 1 .

Данные функции, определенные на отрезке, являются на нем непрерывными. А значит, к ним применима теорема Больцано–Коши о промежуточном значении [4].

На концах отрезка эти функции принимают следующие значения:

Rh ]( 0 ) = r i ,- , Rfo ]( 1 ) = r i ;

— Rj [ст2 ](0) = r2, , — Rj [ст2 ](1) = j • r2.

Определим числа д = min ( i r 1 , j r2 ) , Д = max ( r 1 , r2 ) . Покажем, что Д д .

i r 1 r 2 (гипотеза), i r 1 r 1 ( i 2 ). Следовательно, i r 1 max ( r 1 , r 2 ) = д .

Аналогично, j r2 Д ( j 2 ). Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что Д = min ( i r 1 , j r 2 ) > Д .

Исходя из самого определения чисел µ , µ , видно, что

Rih](1)> Д и — Rj[ta2](1)> Д, Д > Ri [ст1 ](0) и Д > -Rj [ст2 ](0).

Теперь, если взять произвольное число p , такое, что д p Д (такое число най

д + Д дется, например, p =    —), то, в силу тео ремы Больцано-Коши [4], при некоторых 0'1, 02 будет Д.[о-1 ]°1')= p = -Rj [ст2 ](02), причем 0 < 0[, 0'2 < 1, поскольку p заведомо отлично от значений, которые функции R. [ст1 ], - Rj [ст 2 ] принимают на концах отрезка [0; 1].

Иными словами, удовлетворение системы (8) действительно оказывается достаточным для того, чтобы на заданных тактах i и j мог наступить конфликт между роботами.

Цель настоящего параграфа – определение максимально возможного числа попарных конфликтов в некоторой группе, состоящей из n роботов. Роботы σ 1 , σ 2 , …, σn рассматриваются в статике: воспитания каждого робота из группы (обозначим их ρ 1 , ρ 2 , …, ρn ) предполагаются постоянными величинами, отличными от нуля.

Теорема 4

Максимальное число парных конфликтов в группе из n роботов не превосхо- дит

( [ x ] - целая часть от числа x ) .

Доказательство

Условие конфликта между роботами σi и ст j запишется в виде p . + p j = 0 .

Отсюда ясно, что конфликтовать могут только роботы, у которых воспитания имеют разные знаки. Обозначим за k – количество положительных чисел среди набора { p . } . Поскольку в группе нет роботов с нулевым воспитанием, количество отрицательных выразится как n - k .

Для заданного числа положительно воспитанных роботов в группе максимальное число конфликтующих пар будет составлять (по комбинаторному правилу умножения, [1]) Mk = ( n - k ) k (это достигается, например, если модули всех ρi равны между собой).

Отвлекаясь от натуральных чисел, с которыми имеем дело в комбинаторике, рассмотрим функцию y = ( n x ) x для вещественных значений аргумента x . Производная y' = n - 2 x обращается в нуль, а функция y достигает

n

максимального значения при x = — .

Если n = 2 m , то при k = — = m количество конфликтующих пар достигает своего наибольшего значения M = m 2 .

Если n = 2m +1, то, учитывая, что при nn x < — функция возрастает, а при x > — - убывает, и что y (m) = y (m +1), получаем, что максимальное число конфликтующих пар – M = m • (m +1).

В каждом из случаев выразим наибольшее число парных конфликтов через n – число роботов в группе:

2 n

  • 1)    n = 2 m . В этом случае M = — .

А 1         П

  • 2)    n = 2 m + 1 ^ m = ^ . M принима-

  • n -1 n +1   n21

ет значение---== —

2    2    4   44

Объединяя случаи 1 и 2, в итоге получаем, что максимальное число конфликтующих пар в группе из n роботов составляет

(целая часть от натурального числа – само натуральное число).

В данной статье были рассмотрены парные конфликты роботов. В результате наших исследований были выявлены: метод, с помощью которого можно находить антикон-фликтные коэффициенты памяти; критерий возможности открытого конфликта при заданных тактах воспитательного процесса; оценка максимально возможного числа парных конфликтов в некоторой группе роботов.

Данные результаты можно использовать при моделировании психологического поведения группы роботов, выбирая оптимальные характеристики с целью предупреждения возможных конфликтов.

  • 1.    Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. М.: Вильямс, 2004. 960 с;

  • 2.    Пенский О.Г., Черников К.В. Основы математической теории эмоциональных роботов: монография / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2010. 256 с;

  • 3.    Попов Н.В. Исследование математической модели эмоционального воспитания робота // Современные наукоемкие технологии. 2015. № 12–3. С. 439–443;

  • 4.    Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. для вузов. 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т.1. 680 с;

  • 5.    Черников К.В. Математические модели роботов с неабсолютной памятью: дис. … канд. физ.-мат. наук. Пермь, 2013.

Research of mathematical model of conflicts in a group of robots

Список литературы Исследование математической модели конфликтов в группе роботов

  • Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. М.: Вильямс, 2004. 960 с;
  • Пенский О.Г., Черников К.В. Основы математической теории эмоциональных роботов: монография/Перм. гос. ун-т. Пермь, 2010. 256 с;
  • Попов Н.В. Исследование математической модели эмоционального воспитания робота//Современные наукоемкие технологии. 2015. № 12-3. С. 439-443;
  • Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. для вузов. 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т.1. 680 с;
  • Черников К.В. Математические модели роботов с неабсолютной памятью: дис. канд. физ.-мат. наук. Пермь, 2013.
Статья научная