Исследование математической модели воспитания группы роботов

В настоящее время активно разрабатывается теория эмоциональных роботов [1], связанная с созданием цифровых двойников человека и основанная на моделировании эмоций человека [2]. Однако, на наш взгляд, исследованию психологического поведения групп роботов уделено недостаточно внимания.

Одним из немногочисленных примеров, посвященных решению этой задачи, являются работы [3–7]. В этих работах впервые введены понятия группового воспитания роботов и групповой памяти цифровых двойников.

Пусть n – количество роботов в группе, j – порядковый номер робота в этой группе, j = 1, n, Oj ; - коэффициент памяти робота к моменту воздействия на него сюжетом с порядковым номером i, Ojt е(0,1 — 5, ^, 0 < 5 ■ < 1, 5- = const, r i - элементарное воспитание робота j , R – суммарное воспитание робота, полученное им в результате воздействия на него общего количества сюжетов.

В работах [3, 4] показано, что воспитание группы удовлетворяет соотношению

Ri = ri+ OiRi- ,(1)

nn

Z Rj,iZ i=1

где     Ri =  ------, ri =  , nn

n

• — Z^A .»

• ei = j^-------.(2)

Z 4 — 1 j = 1

Очевидно, что коэффициент групповой памяти роботов при r _i >  0 удовлетворяет соотношению

O i g ( 0,1 — 5 ], 0 <  5 <  1, 5 = const .

Теоремы о групповом воспитании роботов

Cформулируем несколько теорем.

Теорема 1

Если r i >  0, i = 1, ^ ,

Oi g (0,1 — 5],0 < 5 < 1,5 = const, то последовательность R i сходится.

Доказательство

Нетрудно видеть, что равенство (1), описывающее групповое воспитание роботов, полностью эквивалентно соотношению для воспитания индивидуальных роботов, приведенному в монографии [5]. Поэтому доказательство теоремы 1 полностью совпадает с доказательством теоремы 2.5 , приведенной в работе [5].

Теорема 2

Если lim0i = 0 < 1, ri > 0, i = 1,ж, i >ж

lim 0 i = lim

i >ж

i >ж

n

n

Z⁰ j q j

j = 1

n

Z q

j = 1

Z 0 j q i lim 0 i

j = 1

i >ж

n

Z q_j lim 0 i

J i>ж

j = 1

-

0 j

-

i - 1

0 j

1 - 0 j

i - 1

1 - 0 j

-

0 j

i - 1

—

0 j

¹ - 0

i - 1

1 - 0 j

то существует предел r i при i > ж .

Доказательство

В силу теоремы 1 справедливо равенство limRi = z < ж.

i >ж

Переходя к пределу при i > ж с учетом условия теоремы 2 о том, что

n

Z j

= 1

n

j ¹ - 0

Z q j

= 1

1 - 0 j

= 0 <  1.

lim 0 i = 0 <  1, получим цепочку равенств i >ж

z = lim R i = lim r i + lim 0 lim R i - 1 = lim r i + 0 z , i >ж       i >ж      i >ж    i >ж         i >ж

которая влечет соотношение

lim r i =1 1 - 0 I z <ж .

i >ж

Таким образом, мы показали, что для равномерно забывчивых роботов с равноценными эмоциями коэффициент групповой памяти имеет предел.

Поставим следующую задачу:

- определить среднее значение коэффициента памяти 0_т группы роботов за m актов.

Очевидно, что для решения этой задачи необходимо найти величину 0_т , являющуюся

решением задачи:

Таким образом, теорема 2 доказана .

найти

m min Z| 0m

^{0 m} i = 1 \

Свойства памяти группы роботов

Легко показать, что 0m удовлетворяет

Пусть верны соотношения 0.= ⁰ j , j i = q j > ⁰.

Согласно работе [3] для группы, состоящей из равномерно забывчивых роботов с равноценными эмоциями [4], справедлива формула

соотношению

m

m

Z0i i=1

m

n

—

0 i = j = 1

-

Z O q jj

^{1 - 0} j

i - 1

^{1 - 0} j

n

z qj j=1

^{1 - 0} j

i - 1    .

^{1 -} j]

С учетом соотношения (3) очевидна цепочка равенств

которое с учетом формулы (3) можно записать в развернутом виде:

m

Z i=1

n

Z0^

j = 1

1 - (0^

n

Zqj j=1

1 - 0^

--j

m

В силу положительности элементарных воспитаний равномерно забывчивых роботов группы очевидна цепочка соотношений:

«       1 — 0 i ^{— 1}

Ё 0, q

_ У j j 1 — 0,

0i=—------ГГ n l-0i —1

q ⁰

^E j ¹ — 0

n

1 — 0, i—1 0.q j j 1—0

1 — o_i i ^{— 1} qj^^ J

= E J*

= 1

вид

Подставляя формулу (5) в равенство (4), получим:

n m E0

m

Найдем предел:

n

= E 0-

J = 1

Отметим, что следующей задачи:

м

= lim 0„ .

m m ^м

найти

min E l © м

—

_2

J

.

Легко видеть, что решение задачи (7)

удовлетворяет соотношению

м

m_ lim E 0i m ^м ^^ __________i =1

lim m m ^м

В силу справедливости неравенства (6) верна формула

n

= 1

Рассмотрим ряд

м      м

E 0 i = E i = 1            i = 1

n

E ° q j j = 1

1 — o ^{i — 1}

Пусть q = q = const ,   j = 1, м .

В этом случае соотношение (4) примет

m

m

E i=1

n 1 - 0 ^{i — 1}

E 0—

^{E J} 1 — J j f ¹— 0 ^{i — 1}

^E 1 — 0 j

m

.

Модели равномерной забывчивости группы роботов

Для того чтобы описать качественное поведение среднего коэффициента памяти ©_m , соответствующего формуле (10), построим график при следующих параметрах: n = 2, 0 = 0.5, 0 = 0.33, m = 1,50 .

Для выполнения численного эксперимента была разработана компьютерная программа, результаты работы которой приведены на рисунке.

Изменение среднего значения коэффициента памяти группы роботов

n

E qj j =1

1 — o^{i — 1} ^J

Очевидно, что общий член ряда (9) удо-

влетворяет соотношениям:

n ]-0*—1

q. 1°-q,

^{_        _}        E j j 1 — o _j    E j j 1 — 0 ,

0м = lim Ji = lim----------гУ =— ^ i^м      i^м   n    1 J i1

E q T j ^E q^,

Полученное соотношение показывает, что с течением времени группа роботов становится равномерно забывчивой, кроме того, ряд (9)

расходится, а так как все члены Qi ряда положительны, то справедливо равенство

м

E^- м .

i = 1

Рисунок наглядно демонстрирует, что с увеличением количества тактов средний коэффициент памяти робота приближается к константе. Поэтому при большом количестве тактов в качестве коэффициента групповой памяти робота можно принимать эту константу, а, значит, считать группу роботов равномерно забывчивой. В этом случае при большом значении m справедлива формула ©_m « © = const , а, значит, можно считать, начиная с некоторого большого номера такта I , верным соотношение

R i - r +© R — ,

где i = I , м .

Согласно соотношению (11) воспитание

R i группы равномерно забывчивых роботов с равноценными эмоциями будет описываться

где

n f„,., .Е qi 0 k i =1

1 -0 m

1 -0 •

,                  _ J-0i приближенно равенством Ri = r-——

где

n r = ^ qj , а предельное воспитание группы j=1

R х можно приближенно найти по формуле

R ®

r

1 -0

n

J = 1

1 -

F

m

N - 1, kN - 1

n

0 k N - 1 Е q i

I i = 1

1 - 0 m N - 1

1 -0

Л

+ 0 mN-1 Fm mN-2, kN -2 7

F n = 0.

m ₀ , n ₀

Аналогично работе [7] параметр "соскучился" можно написать в следующем виде:

(        0 m N

A n “0 * ' ( 1 -0)1 Е q i y^-

к

+ 0 mNFm mN-2, kN-2

.

где m >  I .

При этом

R i

1 -© i s r-----

1 -0

n j=1

m

Е i=1

n

Е q fi>

J = 1

1 - 0 i ^{- 1}

В итоге величина интереса Д N группы роботов к медиа-проекту определится формулой

n

Е qj j =1

I m Е i = 1

1 -

1 -

1 - < % i ^{- 1}

¹    ^

m

n

Е qj° j =1

1^01 ¹

¹ - 0

А ~ &-

N а

n

0 ^kN ( 1 -0 ) Z q I

1-0 m N              I

■0 ^mN F      I

1 -0          m N - 2 J . (14)

n

Е q i 0 m N +0 m N ( 0   1 ) ^  - 1 k

^с N - 1

Отметим, что все свойства интереса группы к медиа-проекту при выполнении условия m_x >  I будут аналогичны свойствам

m

Е i=1

n

= 1

¹ - 0 i ^{- 1}

¹ - 0

m

n

Е qj°j j =1

¹ - 0 ^{- 1}

¹ - 0

интереса к медиа-проекту отдельного равномерно забывчивого робота с равноценными

эмоциями (подробно работе,

при этом 0.0_Ш

эти свойства описаны в

m ₁

Е i=1

n

Е0

j = 1

1 - 0 i ^{- 1} ^j

1 - 0 i -

10

m ₁

n j =1

¹ - 0

m

Таким образом, на основе численного эксперимента показано, что для равномерно забывчивых роботов в группе с равноценными эмоциями каждого робота при большом количестве тактов можно считать группу роботов равномерно забывчивой и поэтому, если группа роботов воспитывается с помощью медиапроектов, аналогично работе [7] параметр "надоело" а для полного воспитательного цикла с порядковым номером N примет вид

n а “Е q0 mN +0"' ч(в- 1)F..-„.._ • аэ i=1

Формулы, аналогичные соотношениям (12)-(14), можно получить при замене величины 0 на значение 0 х , что также будет определять приближенную равномерную забывчивость группы роботов при большом значении тактов m непрерывного воспитания.

Заключение

Таким образом, в настоящей статье показано, что при большом первоначальном количестве тактов непрерывного воспитания группы равномерно забывчивых роботов с равноценными эмоциями группу роботов можно считать равномерно забывчивой, и все свойства этой группы аналогичны свойствам отдельного робота.