Исследование структурных изменений знаний студентов и школьников по отдельным разделам алгебры и геометрии

Общеизвестно, что математика является связующей дисциплиной естественно научных и технических курсов, изучаемых в вузе. Поэтому знания студентов по математике определяют глубину понимания и логику всех основных дисциплин. Но знания, как таковые, можно условно разделить на формальные, которые сводятся к простому запоминанию формул и определений, и глубинные, заключающиеся в понимании предмета, внутрипред-метных связей и в наполнении абстрактных понятий конкретным содержанием. Соотношение этих двух частей постоянно меняется, так как, во-первых, происходит забывание невостребованной информации, а во-вторых, изучение нового добавляет как формальные знания, так и понимание предыдущего материала. В связи с этим авторы задались целью проследить, как меняется структура знаний в процессе обучения. Авторами были составлены и проведены тесты по следующим разделам математики: тригонометрия, графики элементарных функций, векторы. Знания по перечисленным разделам математики предполагают высокий уровень абстрактного мышления, способность к синтезу, умение обнаруживать взаимосвязь между различными областями знаний. Эти разделы устанавливают наиболее тесную связь между школьной элементарной математикой и курсом высшей математики.

Кроме этого был проведен опрос, позволяющий определить уровень понимания математики в ходе дальнейшего обучения и самооценку математических знаний. Целью опроса было выяснить истинный уровень знаний и адекватность собственных представлений респондентов о нем. Рассмотрена динамика этих представлений в ходе обучения в школе и в вузе [1]. Кроме этого, было выяснено, как молодые люди видят использование математических знаний в дальнейшем получении образования.

Заметим, что среди студентов первого курса 84,6 % и среди студентов второго курса 90 % опрошенных считают, что математика им в дальнейшем пригодится; 15,4 % студентов первого и 10 % второго курса считают, что математика им мало пригодится. Заметим, что ни один из респондентов не сказал, что математика не пригодится совсем. Эти цифры отображают понимание студентами значения этой дисциплины.

Несмотря на понимание востребованности математики, студенты показывают невысокий уровень знаний в целом по предмету. Авторы выделили для рассмотрения несколько тем из школьного курса математики, которые, на их взгляд, являются наиболее востребованными в программе высшей школы. Первой темой является тригонометрия, второй - графики элементарных функций, третьей - векторы. Очевидно, что эти темы активно используются в курсе общей физики, в теоретической механи ке, в начертательной геометрии, в интегральном и дифференциальном исчислениях, в аналитической геометрии. С другой стороны, они тесно взаимосвязаны между собой. Так, хорошее знание тригонометрии предполагает знание графиков тригонометрических функций, умение оперировать ими. При изучении векторов знания по тригонометрии наполняются геометрическим смыслом. Изучая графики функций и векторы, учащиеся получают наглядную интерпретацию абстрактных знаний.

Тест по тригонометрии содержал 40 % задач на проверку формальных знаний. Эти задания представляли собой одношаговые задачи на применение тригонометрических формул и на знание значений тригонометрических функций с табличными аргументами. Далее 26,6 % заданий проверяли понимание школьного материала, в этих задачах требовалось не просто знание формулы или значения функции, но и четкое представление о рамках применимости и о смысле тригонометрических соотношений. Задания, выявлявшие знания формул и приемов решений задач, не выходящих за рамки школьной программы, но активно использующихся при изучении математики в вузе составили 13,4 %. Оставшиеся 20 % представляли собой стандартные задания из математического анализа для первого курса.

Тест на знание графиков функций содержал 26,6 % задач, проверяющих формальные знания: требовалось начертить графики некоторых элементарных функций и указать точки пересечения графика с осями координат. Кроме того, 26,6 % заданий проверяли понимание школьного курса математики. В этих заданиях предполагалось, что школьники и студенты покажут владение такими понятиями, как область определения функции и область значения, свяжут их с построением графиков. По графику функции предлагалось определить параметры, входящие в аналитическое определение функции. Следующие 26,6 % заданий выявляли знания по тем темам, которые обеспечивают связь школьной и вузовской программ. К этим вопросам были отнесены, например, задания прямых на плоскости, содержащие некоторые параметры, требовалось установить, при каких значениях параметров прямые параллельны, совпадают и т. д. Оставшиеся 20,2 % состояли из заданий, требующих знаний за первый курс технической специальности. В них требовалось указать асимптоты графика и нарисовать линии уровня для функции двух переменных.

Тест по векторам содержал 26,8 % задач на определение вектора, на операции сложения векторов и умножения вектора на число, на вычисление скалярного произведения. Эти задания осуществляли проверку формальных знаний. Следующие 40 % составляли задачи на понимание школьного материала. К этим задачам были отнесены задания на применение векторов при решении геометрических задач. Еще

15,5% задач были ориентированны на связь школьного и вузовского материала. К последнему типу отнесены задачи на определение перпендикулярности векторов, нахождение угла между векторами в применении к прямым на плоскости. Оставшиеся 17,7% задач представляли собой стандартные задачи из курса векторной алгебры. Результаты опроса сведены в табл. 1,2 и 3. Результаты представлены в виде процентов от количества решенных задач данного типа.

Наибольшее количество опрошенных решили задания на проверку формальных знаний. Исключение составили школьники с дополнительной подготовкой (репетитор, школы с углубленным изучением математики и т. д.). Отличие по выбранным темам, очевидно, объясняется особенностями данных разделов математики. Например, в отличии от тригонометрии тема «Графики функций» даже при решении задач на проверку формальных знаний требует элементарных навыков геометрической интерпретации, поэтому результаты по формальным знаниям и пониманию оказываются достаточно близки друг к дру гу, и, в целом, процент респондентов, решивших задачи оказывается не очень высоким. Отличительной чертой темы «Векторы», на наш взгляд, является ее двоякий характер. С одной стороны, эта тема достаточно формализована, использующиеся в ней формулы негромоздки и легко запоминаются, с другой стороны, применение этого аппарата при решении геометрических задач часто требует умения взглянуть на проблему с другой точки зрения. Например, многие задачи классической геометрии можно решить и с помощью векторной алгебры. Но недостаточное количество задач в курсе геометрии средней школы, показывающих применение различных методов к одной и той же задаче, не позволяет учащимся в равной мере овладеть разными «языками» математики, что приводит к разрыву внутрипредметных связей.

При решении задач и по тригонометрии, и по графикам функций явно прослеживается снижение числа опрошенных, которые могут решать задачи, проверяющие знание школьной программы (формальные знания, по-

Таблица 1

Результаты опроса по тригонометрии

	Формальные знания, %	Понимание школьноуо материала, %	Задачи на связь школьноуо и вузовскоуо материала, %	Задачи на использование триуонометрии в интегральном исчислении, %
Школьники с дополнительной подуотовкой	48,0	79,6	6,25	4,1
Школьники без дополнительной подуотовки	33,3	12,5	0,0	1,8
Первый курс	35,5	15,0	4,3	18,0
Второй курс	25,9	13,4	0,0	8,6

Таблица 2

Результаты опроса по графикам функций

	Формальные знания, %	Понимание школьноуо материала, %	Задачи на связь школьноуо и вузовскоуо материала, %	Задачи на использование Трафиков функций в математическом анализе, %
Школьники с дополнительной подуотовкой	57,0	68,7	30,0	5,2
Школьники без дополнительной подуотовки	24,1	16,0	2,3	0,0
Первый курс	30,0	17,8	25,0	32,1
Второй курс	16,6	15,5	5,9	5,9

Таблица 3

Результаты опроса по векторам

Формальные знания, % Понимание школьноуо материала, % Задачи на связь школьноуо и вузовскоуо материала, % Задачи на использование векторов в аналитической уеометрии, % Школьники с дополнительной подуотовкой 40,2 57,1 5,3 1,2 Школьники без дополнительной подуотовки 20,3 1,2 0,0 0,0 Первый курс 68,3 20,4 40,5 39,2 Второй курс 59,1 22,8 38,1 32,7 нимание школьного материала), начиная от школьников без дополнительной подготовки и заканчивая студентами второго курса. По формальным знаниям тригонометрии эти цифры выглядят как 33,3-35,5-25,9 %, по графикам - 24,1-30,0-16,6 %, по заданиям на проверку понимания школьной программы по тригонометрии имеем 12,5-15,0-13,4%, по графикам функций - 16,0-17,815,5 %. Некоторое увеличение числа респондентов, решающих предложенные задачи на первом курсе по сравнению со школьниками без дополнительной подготовки, по-видимому, идет за счет притока на первый курс школьников с дополнительной подготовкой. Что касается изменений знаний по теме «Векторы», то заметим, что в курсе аналитической геометрии для студентов технических специальностей векторная алгебра входит, начиная с основ, с первичных определений векторов, операций над ними. Кроме того, программа предусматривает использование этих знаний для решения таких задач, как определение объемов параллелепипедов, пирамид, исследование взаимного расположения прямых и плоскостей, позволяя установить внутрипредметные связи. Использование векторов в изучении теоретической механики и физики позволяет устанавливать межпредметные связи.

Построение вузовского курса математики в большинстве своем не предполагает демонстрацию сущностных связей между школьным курсом математики и вузовским, а просто базируется на тех знаниях, которые должны иметь школьники при поступлении в вуз. Зачастую эта база оказывается достаточно слабой, и как следствие, мы имеем поверхностное усвоение материала первого курса.

Процент опрошенных, решивших задания по материалам первого курса на применение тригонометрии падает с 18до 8,6% (табл. 1), а на понимание графиков функций - с 32,1 до 5,9% от числа студентов на первом и втором годах обучения. И это несмотря на то, что на втором курсе рассматриваются такие темы, как кратные интегралы, поверхностные интегралы, которые предполагают знания предыдущего курса.

Особенность темы графики функций состоит в том, что она автоматически предполагает умение превращать формулы и описания в геометрические образы и тем самым практически сводит к минимуму объем информации, подлежащей запоминанию, и даже в простейших задачах требуется понимание. Поэтому проценты решенных задач на проверку формальных знаний и знаний на понимание дают сравнительно с тригонометрией небольшое расхождение.

Во время опроса авторы выяснили самооценку студентов по рассматриваемым разделам математики (табл. 4,5и 6). Студентам было предложено оценить собственные знания во время изучения предмета в школе, оценить знания на момент опроса и указать официальную оценку полученную в школе. Данные представлены в процентах от общего количества опрошенных респондентов.

Во время опроса было выяснено, что большинство студентов адекватно оценивают свои знания по рассматриваемым разделам математики.

Уровень самооценки несколько ниже, чем официальная оценка, полученная в школе. Заметим, что самооценка остается несколько ниже как до официальной оценки, так и после нее. Сравнивая данные табл. 1и 4по тригономет рии, табл. 2и 5по графикам функций, табл. 3и 6по векторам, видим, что самооценка является более адекватной, чем официальная оценка. На наш взгляд, студенты более адекватно оценили свои знания по тригонометрии, чем по графикам функций. Самооценка по последнему разделу более сложна, так как в этом случае необходимо рассматривать еще и приложения знаний функций и их графиков к различным областям математического анализа, физики, технических дисциплин. Самооценка знаний по векторам существенно выше в момент проведения опроса. Опрос проводился после зимней сессии, когда материал аналитической геометрии для студентов первого курса находится еще в активном состоянии.

Сравнивая самооценку первого и второго курса, можно заметить, что уровень самооценки существенно падает ко второму курсу. Возможно, это связано с тем, что слабое понимание школьного материала не позволяет закрепить и интегрировать те знания, которые были получены на первом курсе. Оставаясь разрозненными, полученные знания не могут активно применяться при изучении других дисциплин, теряют свою актуальность и забываются.

При проведении теста большинство студентов высказывали сомнения в своих силах и компетентности. После проведения тестов студенты просили объяснить решение тех задач, которые они не смогли выполнить, что, безусловно, говорит о понимании студентами важности данных разделов и желании иметь знания на достаточном уровне. Среди причин, мешающих учебе, студенты называют лень-28,8 %, нехватку времени -21,5 %, что свидетельствует о достаточной объективности в оценке своих проблем.

На наш взгляд, основной проблемой недостаточно интегрированных знаний по тригонометрии и графикам элементарных функций является как слабая школьная подготовка в плане понимания и применения геометрической интерпретации к решению аналитических задач, так и плохая связь программ школа-вуз, отсутствие повторения основных понятий по этим темам при переходе из школы в вуз и с курса на курс. Для того чтобы избежать чувства неуверенности и некомпетентности у студентов, на наш взгляд, необходимо перед началом занятий на первом курсе проводить погружение в курс математики с целью обозначения акцентов на наиболее востребованных разделах математики школьного курса. Что касается непосредственно изучения функций и их графиков, то кроме активного повторения свойств элементарных функций и интерпретации результатов математического анализа с применением графиков функций, было бы целесообразно рассматривать функции, находящие свое применение в физике и технических дисциплинах. Для этого целесообразно было бы создать факультатив, где решались бы эти проблемы. На наш взгляд, во время обучения студентов первого и второго курсов было бы целесообразно кратко повторить на лекции вывод тех тригонометрических формул, которые используются в дальнейшем. На практических занятиях перед изучением соответствующих разделов следовало бы провести небольшой опрос или небольшую самостоятельную работу с целью активизации студентов для активного повторения или изучения данного материала самостоятельно.