Исследование условий влияния увлажнения аэрозоля на видимость в аэропортах

DOI:

Хорошо известно [2; 3; 5; 8; 10], что условия низкой видимости вызывают множество проблем в таких сферах человеческой деятельности, как воздушный транспорт и функционирование аэропортов. Согласно [2] имеется значительная разница между такими показателями, как види- мость и предел видимости. Предел види мости является функцией коэффициента ос лабления атмосферы, альбедо, угла обзо ра цели, а также порогового контраста на блюдателя при осуществлении наблюдений Согласно [2] предел видимости определя ется по формуле

C

VR =--lnJ-1, kex     ε

где С – контраст между целью на горизонте и ее фоном; k_ex – коэффициент ослабления атмосферы; £ - пороговый контраст наблюдателя.

Согласно [2], используя известную формулу Кошмидера и формулу (1), можно получить следующее соотношение:

k_a ( км 1 ) =---3—v              (2)

' VIS ( км )

Как отмечается в работе [3], во многих экономически развивающихся странах, в том числе в Китае, низкая видимость часто вызвана появлением дымки, возникающей либо из-за сильного аэрозольного загрязнения атмосферы, либо вследствие эффекта гигроскопического роста аэрозоля. При этом точно установлено, что увеличение размера аэрозольных частиц приводит к увеличению коэффициента ослабления и ухудшению видимости [1; 7; 9; 11; 13].

Для оценки гигроскопичности аэрозоля часто используется такой показатель, как коэффициент гигроскопического роста f(Dp, RH), определяемый как f (Dp, RH ) = D^'H), (3) D p.dry где Dp(RH) и Dp.dry – диаметры частиц, находящихся во влажных и сухих условиях соответственно [4; 6; 10; 12]. Если рассматривается многомодовый аэрозоль, то общий параметр гигроскопичности многомодового аэрозоля может быть вычислен как

₍ , EV ^ ( d p )

^{k (} Dp ) = L-- —,        (4)

E ^ ( D p )

i =1

где k – параметр гигроскопичности = 1 моды; N ( D_p ) – концентрация частиц -й моды.

Согласно работе [10] при заданной величине относительной влажности RH фактор гигроскопического роста и показатель k находятся в следующем соотношении:

RH = -f —x f ³-( I - k )

[ 4a • M

• exp I----------------

LR•T• Dp •f где о - поверхностная напряженность на границе раствор – воздух; М – молекулярный вес воды; R – универсальная постоянная газа; T – температура; Dp – диаметр сухой частицы; f – коэффициент гигроскопического роста аэрозоля.

Задача исследования формулируется следующим образом: при постоянстве показате-лейf о, M, R, Tкакой вид функциональной зависимости k = f (Dp)              (6)

мог бы обеспечить минимальную величину интегрального значения RH _in, определяемого по формуле

D p . m

RH =   —Ci - \

^J C + k ⁽ D p ) - i

I A

• p | 7П dD p , L D p J

_      4 4a•M где C 1 = f; = R • T • f при ограничительном условии

D p . m

J k ( Dp >_p = C 2 ,              (8)

где C ₂ = const.

С учетом выражений (7) и (8) можно составить полный функционал безусловной вариационной оптимизации

D p . m

RH n = J

C i - I

C i + k ⁽ D p ) - 1

D p . m

+ X J k ( D p ) dD„ , 0

где X - множитель Лагранжа.

Заметим, что физический смысл рассматриваемой оптимизационной задачи заключается в нахождении такой функции зависимости k от D_p , при которой для ухудшения видимости потребовалось бы минимальное количество влаги. Смысл ограничения (8) заключается в сужении рассматриваемого класса возможных функций, удовлетворяющих условию (8) (см. рисунок).

Согласно методу Эйлера для решения сформулированной оптимизационной задачи (9) должно быть вычислено условие d ^

F =

Графики некоторых непрерывных и кусочно-непрерывных функций, удовлетворяющих условию (8)

C - I I A I 1           • exp l       1 +

C + k ⁽ D p H    I D p J

dk(Dp)

X • k ( Dp )>

= 0

Для исследования вопроса о том, является ли вычисленный экстремум минимумом или максимумом, вычислим вторую производную по формуле

С учетом выражения (10) имеем

— C — 1          I A I

¹        • exp l — 1 + X = 0.

C i + ^{k (} d p ) - 1 J 2      I d p ^J

F 2 =

d ² J     C 1 - 1

[ C 1 + k ⁽ D p ) - 1

d ⁽ k ⁽ D p ^{)) 2}

Из выражения (11) находим

Из условия (15) с учетом С ₁ = f находим

(Ci-I)-expl — I k (Dp ) = Ci — V--------..       (12)

( f - 1 ) exp | — I ( f - 1 ) - exp l — I-- A _K I D p J I D p J D p ² C - k ⁽ D p )- 1 J 2 ⁺ [ C 1 - k ⁽ D p ) - 1 J 2

.

С учетом выражений (8) и (12) нетрудно получить следующее выражение для вычисления значения X

X = X o =

D

p

[ ( C i - 1 ) D - C i J ²

-

Из выражения (3) ясно, что f > 1. С учетом этого можно заключить, что F ₂ является всегда положительной величиной. Следовательно, при условии (14) RH _in достигает минимальной величины, то есть при соблюдении условия (14) полное увлажнение определяет максимально возможное ухудшение видимости по причине увлажнения аэрозоля.

С учетом выражений (11) и (13) получаем

k ⁽ D p ) = C - 1

Как видно из выражения (13), X o является положительной величиной. Следовательно, оптимальной функцией k = k ( D_p ), приводящей функционал (9) к экстремальному значению, является растущая функция аргумента D_p .