Исследования в области геометрического анализа в Волгоградском государственном университете

В настоящей статье рассмотрены основные направления исследований по геометрическому анализу, которые проводились и проводятся научной математической школой Волгоградского государственного университета. Вкратце изложены результаты основоположника нучной школы доктора физико-математических наук, профессора Владимира Михайловича Миклюкова и его учеников. Эти результаты касаются решения ряда задач в области квазиконформных плоских отображений и отображений с ограниченным искажением поверхностей и римановых многообразий, теории минимальных поверхностей и поверхностей предписанной средней кривизны, поверхностей нулевой средней кривизны в лоренцевых пространствах, а также задач, связанных с исследованием устойчивости такого рода поверхностей. Кроме этого, отмечены результаты изучения различных классов триангуляций - объекта, возникающего на стыке исследований в области геометрического анализа и вычислительной математики. Также в данном обзоре рассматриваются работы, в которых дано применение метода Фурье разложения решений уравнений Лапласа - Бельтрами и стационарного уравнения Шредингера по собственным функциям соответствующих краевых задач. В частности, приведены результаты по нахождению емкостных характеристик, которые позволили впервые сформулировать и доказать критерии выполнения различных теорем типа Лиувилля и разрешимости краевых задач на модельных и квазимодельных римановых многообразиях. Также указывается роль метода эквивалентных функций при исследовании подобных задач на многообразиях достаточно общего вида.В данной статье помимо этого дается обзор результатов, касающихся оценок погрешности вычисления интегральных функционалов и сходимости кусочно-полиномиальных решений нелинейных уравнений вариационного типа: уравнения минимальной поверхности, уравнения равновесной капиллярной поверхности и уравнения бигармонических функций.