Историко-математический компонент в учебниках математики 5-6-х классов

DOI:

различные взгляды на использование истории математики в обучении учащихся математике. В России с 2010 г. в рамках реализации ФГОС основного общего образования предусмотрено «формирование представлений о математике как о методе познания действительности, по-

зволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления: осознание роли математики в развитии России и мира; возможность привести примеры из отечественной и всемирной истории математических открытий и их авторов»1.

В этой ситуации возникает вопрос о том, какими способами эта идея нашла отражение в школьных учебниках. В данной работе представлены результаты первой части проведенного анализа, направленного на выявление целей и особенностей представления элементов истории математики в учебниках математики 5–6-х классов.

В качестве источников информации были использованы учебники математики авторских коллективов, возглавляемых Н.Я. Виленкиным, А.Г. Мордковичем, А.Г. Мерзляком.

Методология научного исследования основана на анализе и обобщении нормативноправовых документов в сфере математического образования, учебников математики, научноисследовательских работ зарубежных и отечественных ученых, признанных научным сообществом, и личного опыта авторов по использованию элементов истории математики в обучении учащихся и студентов вузов.

Обзор научной литературы . В последнее время большое внимание сформулированной выше проблеме отводится в международных исследованиях. S. Schorcht изучал, как представлена история математики в немецких учебниках, и выделил пять типов историко-математических задач, используемых в них.

Б. Сместад [Smestad, 2000; 2002], проанализировав норвежские учебники с 1-го по 10-й класс и выделив в них задачи по истории математики и темы, в которых наиболее эффективно используется история математики, существенно расширил их историко-математическую составляющую за счет проектов, которые не были представлены в учебниках.

Е. Лакома [Дробышев, Мокрушин, 2018] предложила использовать в польских учебниках историю математики либо как источник дидактических ситуаций, которые могут быть интересны ученикам, либо как источник оригинальных рассуждений, которые могут быть легко усвоены и оказаться полезными обучающимся. Другими словами, история математики может быть использована в качестве источника информации о различных способах математического мышления и аргументирования.

Корейские ученые [Mi-Kyung, Jong-Eun, Ryoon-jin, 2016] провели анализ корейских учебников математики с мультикультурной точки зрения, уделяя особое внимание пониманию обучающимися роли различных культур в развитии математики.

Они рассмотрели, как для раскрытия муль-тикультурных связей при обучении математике использовалась в учебниках европейская и неевропейская история математики, а также история этноматематики.

Выступив против доминирования в корейских учебниках евроцентрической перспективы развития математики, они показали, как можно модифицировать традиционный материал из истории математики (методы решения уравнений, знаменитые задачи древности, задача об укладке паркета, число Пи) для реализации мультикультурных связей при обучении математике. Это позволило им переориентировать «взгляды обучающихся на математику как продукт диалогической практики в культурно-историческом контексте» [Mi-Kyung, Jong-Eun, Ryoon-jin, 2016, с. 1333]. В заключение авторами была поставлена проблема разработки принципов включения историкоматематического материала в учебники, позволяющих показать обучающимся значение разнообразия для развития математики.

Так как включение биографий в учебники математики является одним из примеров того, как история математики может быть интегрирована в содержание учебников, Йилдиз С. [Yıldız, 2015] провел анализ турецких учебников на предмет представления в них биографий математиков. Он исходил из того, что включение биографий ученых в учебники может не только позволить узнать имена тех, кто внес существенный вклад в развитие математики, но и дать лучшее историческое понимание содержания, а также использовать элементы их рассуждений в качестве образцов. По результатам своего исследования он сделал ряд предложений по совершенствованию турецких учебников математики.

• А. Баки и С. Бутунер [Baki, Butuner, 2013] показали, что в турецких учебниках материал по

истории математики в основном содержит краткие биографические сведения и портреты мате- матиков и в них редко представлены примеры, которые поддерживают опыт и взаимодействие обучающихся с историей математики.

Й. Томаидис и К. Тзанакис [Thomaidеs, Tzanakis, 2009] провели анализ греческих учебников математики и отметили, что главной характеристикой исторического материала является большой объем информации и богатые иллюстрации, однако без некоторых методологических указаний на то, как извлечь из этого дидактическую пользу. Кроме того, они выявили в учебниках ряд исторических ошибок.

К. Ксенофонтос и К. Пападопулос [Xenofon-tos, Papadopoulos, 2015] рассмотрели способы интеграции истории математики в учебники математики Кипра и Греции. Ими было установлено, что в учебниках недостаточно заданий, раскрывающих как математические знания прошлого повлияли на нашу современную жизнь. Вопросы использования истории математики в современных учебниках регулярно обсуждаются и на Международных конгрессах по математическому образованию (ICME) [Clark et al., 2016; Smestad, 2000]. Все это говорит о том, что в различных странах продолжается поиск наиболее оптимальных путей использования истории математики в учебниках, позволяющих наиболее полно раскрыть эволюцию математических идей, показать математику как часть общечеловеческой культуры, раскрыть значимость математики для общественного прогресса.

Нами совместно с А.А. Фаткулиной был проведен анализ российских учебников математики для классов с углубленным изучением математики на предмет представления элементов истории математики в их содержании. По его итогам были выработаны рекомендации по дополнению содержания учебников историкоматематическим материалом воспитательной и развивающей направленности.

Однако на время проведения анализа, результаты которого представлены в работе [Дробышев, Фаткулина, 2006], вопрос о включении историко-математического материала в школьные учебники не был нормативно определен и отражал в первую очередь точку зрения автора учебника о его значимости. Как было отмечено выше, в настоящее время в ФГОС основного общего образования прямо указывается на важность истории математики.

Исходя из этого, рассмотрим, как ее элементы представлены в современных российских учебниках математики. В данной работе – в учебниках математики для 5–6-х классов.

Результаты исследования . Для достижения этой цели нами были проанализированы учебники математики 5-6-х классов трех авторских коллективов: Н.Я. Виленкина, В.И. Жохо-ва, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда; И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича; А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского, М.С. Якира.

Основное внимание при проведении анализа мы сосредоточили на отражении в содержании учебников элементов истории математики, возможностях их использования на уроках и во внеурочной деятельности.

На первом этапе для сбора данных нами были выявлены все ссылки на историю математики в каждом из учебников. Нас интересовало включение в содержание учебников исторических очерков, этимологии математических терминов, заданий историко-математической направленности, персоналистического компонента истории математики, старинных задач, а также наличие тематики проектов историкоматематической направленности.

В учебник 5-го класса А.Г. Мордковича2 включены всего три исторические справки о происхождении математических терминов: геометрия (с. 18), процент (с. 222) и параллелепипед (с. 234). Также в нем есть справка о римской системе нумерации (с. 5–6) и задачи на запись чисел с использованием римской нумерации. В конце учебника приведены темы проектной деятельности, одна из которых посвящена старинным вычислительным инструментам (с. 262).

В учебнике по математике за 6-й класс3 рассмотрена этимология двух терминов: симметрии и параллелограмма. В заключительной части данного учебника на с. 256 приведены темы проектной деятельности, одна из которых связана с историей математики - измерительные инструменты: история и современность.

Таким образом, можно констатировать, что в учебниках И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича приведены некоторые примеры из всемирной истории математических открытий, но их явно недостаточно. Примеры из отечественной истории математических открытий отсутствуют. Из материала, представленного в учебнике, следует, что у учащихся может сложиться ложное впечатление, что в развитие математики основной вклад внесли только греческие ученые. В учебнике не представлены портреты ученых и нет о них сведений. В учебниках математики 5–6-х классов упоминался лишь один математик Евклид в контексте доказательства того факта, что не существует самого большого простого числа, но отсутствуют сведения, рассказывающие о его жизни и творчестве.

В сжатой форме результаты проведенного анализа представлены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты анализа историко-математического содержания в учебниках И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича

Analysis results on historical and mathematical content in textbooks by I.I. Zubareva and A.G. Mordkovich

Table 1

Кол-во стр. в учебнике / кол-во стр., связанных с историей математики	Этимология математических терминов	Исторический очерк	Задания историко-математической направленности	Проектная деятельность	Персона-листи-ческий компонент	Старинные задачи
5-й класс 270/6 2,2 %	Геометрия, процент, параллелепипед	Римская нумерация	№ 1, 3, 4, 5	Старинные вычислительные инструменты		№ 616
6-й класс 264/7 2,6 %	Симметрия, параллелограмм	Простые числа, схема рассуждений Евклида, число Пи	№ 16	Измерительные инструменты: история и современность	Евклид

На основе результатов анализа содержания историко-математического материала, включенного в учебники И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича, можно сделать вывод, что их недостаточно для формирования у учащихся представлений о развитии математики, о ее роли в развитии цивилизации. Кроме того, отсутствие персоналистического компонента не позволяет реализовать воспитательный потенциал истории математики.

Перейдем теперь к рассмотрению реализации элементов истории математики в учебниках авторского коллектива А.Г. Мерзляк, В.Б. Полон- ский, М.С. Якир4,5. Данный материал представлен в разделе «Когда сделаны уроки». В учебник математики 5-го класса включены шесть историко-математических очерков: «Как считали в старину», «От локтей и ладоней к метрической системе», «О льняной нити и линиях», «Язык, понятный всем», «Попасть в дроби», «От шестидесятеричных к десятичным дробям». В учебнике есть обращение к именам двенадцати ученых, однако приведены портреты только

• ⁴    Мерзляк А.Г. Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир. М.: Вентана-Граф, 2013. 304 с.

• ⁵    Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика: 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. М.: Вентана-Граф, 2014. 304 с.

Герона Александрийского и Симона Стевина. Биографические сведения приведены не для всех ученых. В учебнике раскрыта этимология 13 математических терминов, старинные задачи не представлены. Особенностью этого учебника является то, что в нем есть раздел «Дружим с компьютером», в котором представлены три задания по истории математики, предполагающие использование Интернета.

В учебнике математики 6-го класса в разделе «Когда сделаны уроки» приведены 3 исторических очерка: «Так ли просты эти простые числа», «Как найти золотую середину», «Ничто и еще меньше»; представлена этимология только двух терминов: пропорция и иррациональные числа. В тексте встречается упоминание о четырнадцати математиках, однако представлены портреты только трех ученых. В отличие от учебника 5-го класса, здесь приведены три старин- ные задачи. Результаты проведенного анализа представлены в табл. 2. Они позволяют сделать вывод о направленности учебников на решение задачи формирования у учащихся представлений о развитии математики. В то же время ограничение персоналистического компонента только упоминанием фамилий ученых не позволяет реализовать средствами истории математики решение воспитательных задач.

Сравнение учебников двух авторских коллективов позволяет констатировать, что в учебниках А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского, М.С. Яки-ра представлено большее число исторических очерков и имен математиков по сравнению с учебниками И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича. Существенным отличием является наличие заданий историко-математической направленности, выполнение которых предполагает использование сети Интернет.

Таблица 2

Результаты анализа историко-математического содержания в учебниках А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского, М.С. Якира

Analysis results on historical and mathematical content in textbooks by A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. Yakir

Table 2

Кол-во стр. / кол-во стр., связанных с историей математики	Этимология математических терминов	Исторический очерк	Задания историко-математической направленности	Проектная деятельность	Персоналистиче-ский компонент	Старинные задачи
5-й класс 304/19 6,25 %	Метр, дециметр, миллиметр, километр, линия, спираль, лемниската, кардиоида, астроида, циклоида, клофоида, дробь, процент	Как считали в старину. От локтей и ладоней к метрической системе. О льняной нити и линиях. Язык, понятный всем. Попасть в дроби. От шестидесятеричных к десятичным дробям	№ 476, 477, с использованием Интернета – № 476, 934, 935		Менделеев Д.И., Евлид, Герон Александрийский (п), Н.И. Лобачевский, Р. Декарт, Платон, Пифагор, Джем-шид ибн Масуд-аль-Каши, Симон Стевин (п), А. Цельсий, Г.Д. Фаренгейт
6-й класс 304/12 3,95 %	Пропорция, иррациональные числа	Так ли просты эти простые числа. Как найти золотую середину. Ничто и еще меньше	№ 32, 288		Л.Ф. Магницкий, Л.Ф. Бертран, Евклид, П.Л. Чебышев (п), Пифагор (п), Леонардо да Винчи, Архимед, Гипократ Хиосский, Якоб Бер-нулии, П. Лаплас, Р. Мизес, А.Н. Колмогоров (п), Р. Декарт	№ 525, 760, 762

В учебниках авторского коллектива под редакцией Н.Я. Виленкина6,7,8,9 историко-математический материал, как правило, представлен в конце параграфа, для него используется специальный знак – старинный свиток.

Этимология математических терминов приведена в учебнике «Математика 5» для пяти терминов, в «Математике 6» - для трех. В учебниках упомянуты имена 27 математиков, причем для большинства из них приведены портреты, но не всегда указаны годы жизни. Старинных задач в учебниках нет.

Стоит отметить три существенные особенности учебников под редакцией Н.Я. Виленкина. Во-первых, большое внимание уделяется истории развития математики на Руси. Это находит отражение как в исторических очерках соответствующей направленности, так и в биографиях наиболее знаменитых отечественных математиков. Во-вторых, имеет место грамотное сочетание персоналистического компонента истории математики с творческой деятельностью обучающихся, которое проявляется в органичном переходе от биографий знаменитых математиков и их творческий деятельности к постановке заданий обучающимся, связанным с открытием той или иной математической закономерности. В-третьих, предусмотрена разнообразная проектная деятельность обучающихся, носящая историкоматематическую направленность. В учебнике математики для 5-го класса предложены девять тем для проектной деятельности, а в учебнике математики для 6-го класса – десять тем. Приведем тематику некоторых из них: «Как в старину счи-

• ⁶    Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных организаций: в 2 ч. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. 37-е изд., стер. М.: Мнемозина, 2019. Ч. 1. 167 с.

• ⁷    Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных организаций: в 2 ч. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. 37-е изд., стер. М.: Мнемозина, 2019. Ч. 2. 199 с.

• ⁸    Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных организаций: в 2 ч. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. 38-е изд,, стер. М.: Мнемозина, 2020. Ч. 1. 168 с.

• ⁹    Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных организаций: в 2 ч. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. 38-е изд., стер. М.: Мнемозина, 2019. Ч. 2. 160 с.

тали на Руси», «Счет у народов мира», «Математические величины и числа в сказках, пословицах и поговорках», История вопроса: «Во сколько раз длина окружности больше ее диаметра?», «Школа Пифагора», «Что мы знаем о развитии математики в Индии и Китае», «Диофант», «У истоков алгебры». Результаты проведенного анализа представлены в табл. 3.

Анализ данных элементов содержания позволил разделить их на две группы. В первую попали те фрагменты из истории математики, которые не ставили вопросов перед учениками. К ней мы отнесли информацию об этимологии математических терминов, исторические очерки, биографические справки о математиках. В качестве примеров можно привести этимологию термина «пропорция» из учебника Н.Я. Виленкина, приведенную на с. 162, информацию о знаменитом отечественном математике А.Н. Колмогорове из учебника А.Г. Мерзляка на с. 177.

Вторая группа включала историко-математический материал (задания, тематику проектов, старинные задачи), работа с которым предполагает активное участие обучающихся. Такое задание представлено в учебнике Н.Я. Виленкина на с. 77. В нем сначала приведена информация о жизни К.Ф. Гаусса, после ознакомления с которой перед обучающимися поставлена задача определить, как Гаусс сумел быстро найти сумму первых ста чисел. Следует отметить, что историко-математический материал, содержащийся во второй группе, может быть обогащен за счет включения задач из художественной литературы и истории.

Результаты проведенного анализа говорят о том, что история математики интегрирована в учебники в основном с помощью исторических и биографических ссылок. Этот вывод согласуется с результатами анализа турецких учебников [Gülçin Tan Sisman, Büşra Kirez, 2018].

Как следует из табл. 4, в учебниках математики 5-6-х классов было упомянуто от 1 до 16 математиков, но портреты были представлены только для некоторых, не у всех математиков указаны годы жизни, при этом биографии многих из них не представлены. Все упомянутые математики мужчины, в связи с этим может быть создано ошибочное

Таблица 3

Результаты анализа историко-математического содержания в учебниках Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда

Analysis results on historical and mathematical content in textbooks by N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd

Table 3

Кол-во стр. / кол-во стр., связанных с историей математики	Этимология математических терминов	Исторический очерк	Задания историко-математической направленности	Проектная деятельность	Персоналис-тический компонент	Старинные задачи
5-й класс 167 + 199 = = 366 / 24 6,6 %	Дробь, процент, градус, геометрия, геодезия	Единицы измерения на Руси. Из истории нумерации (римская и славянская нумерация). История измерения величин(дли-на, масса и др.). История названия дробей на Руси. История десятичных дробей, эволюция обозначения дробей, двоичная система счисления. Элементы истории геометрии. Вычислительные средства	№ 107 (ч. 1). Перевод из старин. мер измерения длины в современные. № 389 (ч. 1). Попробуйте догадаться, как Гаусс сделал свое открытие. № 675 (1). Установить закономерность, открытую А.Н. Колмогоровым. № 279 (ч. 2). Как назывались 1/12 ,1/6, 1/24 на Руси	Как в старину считали на Руси. Счет у народов мира. Математические величины и числа в сказках, пословицах и поговорках. Дроби в старинных задачах. История вопроса: «Во сколько раз длина окружности больше ее диаметра?». Первый учебник математики на Руси. Десятичная система мер. Почему в окружности 360 градусов. Сказ о геометрии	Аделард, К.Ф. Гаусс (п), Колмогоров (п), Фибоначчи. Плануд, аль-Каши, Улугбек. Л.Ф. Магницкий (п), Симон Стевин, Лейбниц, Чебышев
6-й класс 168 + 160 = = 328 / 17 5,2 %	Математика, унция, пропорция	История простых чисел. История теории чисел. История дробей. Теория отношений, золотое сечение. История отрицательных и положительных чисел	№ 264. Фигурные числа. С. 55. Перевод правил сложе-нияи вычитания Брахмагупты на современный язык	Школа Пифагора. Обыкновенные дроби на Руси. Золотое сечение. История возникновения отрицательных чисел. Путешествие по «ленте времени»	Пифагор (п), Евклид (п), Эратосфен (п), Эйлер (п), Виноградов (п), Декарт (п), Архимед, Брахмагупта. Симон Стевин (п), Бхаскара (п), аль-Хорезми (п), Виет, Диофант (п), Птоломей(п), Лейбниц (п)
		История алгебры. Сложениеи вычитание отрицательных чисел древнекитайскими и древнеиндийскими математиками. История чисел. История возникновения координат		Что мы знаем о развитии математики в Индии и Китае. Математика Средней Азии IX–XV вв. Математика вокруг нас. Графы. Диофант. У истоков алгебры

представление, что женщины не участвовали в создании математики. Имена математиков связаны в основном с арифметическим, алгебраическим и геометрическим материалом. В содержании учебников «Математики 6» А.Г. Мордковича и А.Г. Мерзляка представлены элементы теории вероятностей, однако только в учебнике А.Г. Мерзляка указаны имена математиков, с которыми связано становление и развитие этой науки.

В табл. 4 представлены численные данные о включении в проанализированные выше учебники элементов историко-математического содержания: количество приведенных сведений о происхождении названий математических терминов; количество приведенных из истории математики сведений; количество заданий историко-математической направленности; количество упомянутых математиков.

Таблица 4

Данные о включении элементов историко-математического содержания в школьные учебники математики 5–6-х классов

Data on inclusion of historical mathematical content elements in secondary school textbooks on mathematics for 5th–6th grade students

Table 4

Авторский коллектив учебников	Кол-во приведенных сведений о происхождении названий математических терминов	Количество приведенных из истории математики сведений	Количество заданий историкоматематической направленности	Количество упомянутых математиков
	5-й класс
Н.Я. Виленкин В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд	5	7	4	11
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир	13	6	4	11
И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович	3	1	4	0
	6-й класс
Н.Я. Виленкин	3	9	2	15
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир	2	3	2	16
И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович	2	2	1	1

Из табл. 4 видно, что в учебниках недостаточно представлены задачи историко-математического содержания и задания, предполагающие использование возможностей новых информационных технологий. Если обратиться непосредственно к содержанию изучаемого материала, то можно констатировать, что следует больше уделять внимание тому, чтобы показать, как разные культуры изучали одни и те же математические понятия и алгоритмы. Исходя из этого, возможно, следует говорить об упущенных возможностях в некоторых из анализируемых учебниках.

В учебниках А.Г. Мордковича элементы истории математики в среднем встречаются через 41 страницу, в учебниках А.Г. Мерзляка ‒ через 19,5 страницы, в учебниках Н.Я. Виленкина ‒ через

• 16 ,9 страницы. Результаты частоты включения в содержание историко-математического материала в учебниках согласуются с исследованием Сместад Б. [Smestad, 2000] норвежских учебников, в которых информация по истории математики встречается примерно через 19 страниц.

Заключение. Сравнительный анализ историко-математического содержания, представленного в учебниках 5-6-х классов, и его направленности на решение задач, сформулированных ФГОС, позволяет утверждать, что в них недостаточно предусмотрены задания, которые были бы направлены на мотивацию учащихся к изучению элементов истории математики и раскрытию того, как происходило знакомство с математикой у разных народов. Исключением являются учеб- ники математики Н.Я. Виленкина, в которых предусмотрены проекты историко-математической направленности. Они позволят глубже узнать, как происходило развитие основных математических понятий и какой вклад внесли различные народы в решение сложных математических проблем.

Недостаточно представлен персоналисти-ческий компонент истории математики, только в учебниках под ред. Н.Я. Виленкина более полно приведены портреты ученых. При этом недостаточно информации об их жизни и деятельности. Лишь для некоторых ученых указаны основные направления их исследований. Так как все упомянутые в учебниках математики мужчины, то у обучающихся может сложиться ложное впечатление, что женщины не внесли вклад в развитие математики. Возможно, стоит подумать о том, каким образом решить эту проблему.

В учебниках не представлен материал, позволяющий продемонстрировать проявление моральных качеств личности ученых и формировать на этой основе нравственный идеал у обучающихся. Использование такого материала в процессе обучения позволило бы решать важную задачу в сфере воспитания – «развитие высоконравственной личности, разделяющей российские традиционные духовные ценности» [Дробышев, Фаткулина, 2006].

Результаты анализа показывают, что история математики недостаточно используется в качестве инструмента, способствующего лучшему усвоению математики.

К сожалению, очень редко встречаются задания, выполнение которых предполагает активное участие учащихся в изучении историкоматематического материала. Почти не встречаются задания, направленные на работу с первоисточниками. Более широко следует представить задания, связанные с изучением одного и того же материала у разных народов. Более активно следует использовать задания, которые позволяют применять новые информационные технологии для поиска ответов на проблемные вопросы, только три таких задания представлены в учебнике А.Г. Мерзляка. Можно констатировать, что в основном отсутствуют проекты, по священные жизни и деятельности великих математиков, исключением является проект, посвященный Диофанту, представленный в учебниках Н.Я. Виленкина.

Один из наиболее эффективных способов использования истории математики связан с рассмотрением проблем, которые возникали в математике. Изучение такого материала дает возможность обучающимся лучше понять суть изучаемых понятий и их эволюцию. К сожалению, в учебниках математики в недостаточном объеме присутствует материал, раскрывающий вклад, внесенный разными культурами в математику, мало показаны различные стратегии решения возникающих проблем в математике, не раскрыты формы доказательства в различные исторические эпохи. В качестве исключения может быть указан учебник А.Г. Мордковича, в котором приведено доказательство Евклида о том, что не существует наибольшего простого числа.

Кроме того, несмотря на то, что общее количество страниц в учебниках 5-х и 6-х классов колеблется от 600 до 700, материал, связанный с историей математики, занимает от 2,2 до 6,5 % всего содержания. Это, без сомнения, говорит о том, что опыт учащихся по изучению истории математики в некоторых учебниках математики 5–6-х классов очень ограничен. Аналогичный вывод был получен при исследовании турецких [Gulgin Tan-Sisman, Bu§ra Kirez, 2018], норвежских [Smestad, 2000], греческих и кипрских учебников по математике [Xenofontos, Papadopoulos, 2015]. Это свидетельствует об актуальности исследуемой проблемы.

Не случайно, что для поиска эффективных путей использования истории математики в процессе обучения в рамках Международного конгресса по математическому образованию (ICME) были созданы две секции ICME и WGA 13: History and Culture in mathematics Education; TSG 21: Ethnomathematics. Их цель – выявление современного состояния и тенденций использования истории математики и этноматематики на всех уровнях и осуществление поиска наиболее эффективных путей ее использования в процессе обучения.

Таким образом, результаты нашего исследования говорят о том, что следует продолжить работу по поиску наиболее оптимальных путей включения истории математики в школьные учебники. Проблема эффективного использования этого содержания требует соответствующей подготовки как будущих, так и действующих учителей [Дробышев, 2010]. Мы согласны с С. Шорхт [Schorcht, 2018], что соответствующая подготовка учителей позволит им самим оценивать историко-математический материал и задачи, представленные в учебниках, а также вносить изменения или дополнения в них.