Из истории развития биномиальной и полиномиальной теорем

В статье А.Е.Малых [1] показан исторический процесс развития биномиальной теоремы в средние века и до середины XIX столетия. В ней представлен вклад ученых разных стран (Индии, арабского халифата, Западной Европы). Большое внимание уделено исследованию Исаака Ньютона (1642– 1727), касающегося расширения биномиальной теоремы на случай дробных и отрицательных показателей степени.

Правило разложения бинома по натуральным степеням n ( n = 2 ) прослеживается уже в школе Пифагора (VI – V вв. до н.э.), где средствами геометрической алгебры доказывались тождества для разложения квадратов суммы и разности двух чисел. В "Началах" (кн. II, предл. IV) Евклида (III в. до н.э.) таким же образом получены формулы ( a ± b ) ² = a ² ±2 ab + b ² . Третья степень разложения бинома представлена в работах Брахмагупты (598 – 626).

В русле исследований индусов находилась практическая задача извлечения корней натуральной степени, и для небольших показателей они разработали методы, основанные на разложении разности, записываемой в аналитическом виде как ( a + b ) n - aⁿ . Очевидно, при выполнении таких операций, индусские ученые могли находить значения биномиальных коэффициентов. Подтверждением этого факта служит отрывок из работы Омара Хайяма (1100): "Индусские методы нахождения сторон квадратов и кубов основаны ... на знании квадратов девяти чисел 1,2, ... ,9 вместе с их произведениями, образованными при перемножении их друг с другом, двух и трех одновременно. Я написал работу, которая устанавливает корректность этих методов, и ... расширил метод для случая 4, 5, 6, корней [столь высоких, как пожелаете], которого до сих пор не было. Доказательства я дал ... чисто арифметические, основанные на арифметике "Элементов" [Евклида] " [2, с. 263].

Вслед за Индией ученые стран ислама , переняв знания, полученные в Древней Греции, также заинтересовались разложением натуральной степени бинома. В числе наиболее ранних следует отметить работу Абу-л-Вафы ал-Бузджани (X в.). Как следует из трактата, ученый интересовался нахождением разности ( a + b ) ⁿ - aⁿ и умел вычислять значения корней до седьмой степени включительно.

Ас-Самав’ал (XII в.) в главе I книги II "Блестящей [книге] о науке арифметике"доказал биномиальную теорему для n = 3,4,7 , а в п. 8 описал формулу бинома и нашел коэффициенты разложения по степеням для n = 1; 12, поместив их в представленную ниже табл. 1.

Разложение натуральных степеней бинома в "Сборнике по арифметике с помощью доски и пыли" (1265) Насир Эд-Дина ат-Туси (ум. 1274) было расширено до двенадцатой степени включительно.

Таблица 1

6 ID 6 Ю 6 Ю ю	6 6 1— 05 О. 05 ю со >	6 ю £ 1 Я го & °-го ш ю bi S ^	6 ю 6 ю 6 ю ю bi S'	6 ID 6 1— 05 EI 05 ю bi ^	6 ID S' 6 05 О. EI 05 ю bi ^	ID S' 6 ID bi	ID 6 1— 05 Q. EI 05 OQ bi	6 1- 1 X ГО & °- X ГО bi S	ID bi	1— 05 Q. EI 05 OQ bi	.0 Ф CD
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
66	55	45	36	28	21	15	10	6	3	1
220	165	120	84	56	35	20	10	4	1
495	330	210	126	70	35	15	5	1
792	462	252	126	56	21	6	1
924	462	210	84	28	7	1
792	330	120	36	8	1
495	165	45	9	1
220	55	10	1
66	11	1
12	1
1

Метод, предложенный впоследствии Гиясэддином Джемшидом ал-Каши (XIV–XV вв.), практически совпадал с тем, который применял ат-Туси [2, с. 33–34]. Он записывал все промежуточные выкладки в одной таблице, тогда как ат-Туси их стирал.

Разложением натуральной степени бинома интересовались и китайские ученые , записывая его не в виде таблицы, а используя треугольное расположение биномиальных коэффициентов. Так, известный алгебраист XIV в. Чжу Ши-Цзе на титульном листе своего сочинения "Яшмовое зеркало четырех элементов" (1307) привел арифметический треугольник, в котором записал биномиальные коэффициенты до восьмой степени. Еще ранее, в начале XII в., биномиальная теорема была известна Цзя Сяню, описавшему ее в сочинении "Объяснение таблиц цепного метода извлечения корней". Известно, что и более ранние ученые интересовались этим вопросом [3, ч. 2, с. 7, 13, 96].

Таблица 2

1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6
1	3	6	10	15	21
1	4	10	20	35	56
1	5	15	35	70	126
1	6	21	56	126	252
1	7	28	84	210	462
1	8	36	120	330	792

В XVI в. арифметический треугольник стал известен и в Западной Европе. Впервые он был помещен на титульном листе книги Апиано (1527) [4]. Через 17 лет М. Штифель в "Курсе арифметики" продолжил таблицу би- номиальных коэффициентов до значений n < 17  [5]. Он последовательно умножал

(x + a )п на (x + a), указывая, что при этом коэффициент при члене,   содержащем xn m • am, определяется КаК сумма коэффи-п - m ^т     п-mm циентов при членах X • а и X • a

(-- в разложении (X + a) .Из этого можно сделать вывод о том, что Штифель знал ре-

Ст+1   п+п+1

п+1 - Cn + Cn и использовал её при заполнении таблицы. Биномиальные коэффициенты понадобились ученому также для вычисления дробной части корня n -й степени из натурального числа по формуле

-Jn - V a ”

+ r

r

( a + 1 ) ⁿ - a

Вслед за Штифелем арифметическим треугольником заинтересовался и Н. Тарта-лья. В "Общем трактате о числе и мере" (1556) он представил табл. 2. В ней коэффициенты разложения степени бинома расположены вдоль диагонали, соединяющей номера соответствующих строк и столбцов. Таблица была нужна ему для подсчета различных выпадений игральных костей и составлена для n -1,18.

После работ Дж. Кардано, Р. Бомбелли [6], А. Штифеля, У. Оутреда, П.Эригона, П.Фаульгабера, продвинувшего разложение бинома для n < 20 [7], и других ученых биномиальный треугольник стал повсеместно применяться в Западной Европе. Следует заметить, что на протяжении всего этого времени биномиальные коэффициенты не были связаны с числами сочетаний. Оба эти поня- тия изучались отдельно.

Интересно заметить, что А.Т.Гарриот (1560–1621) в "Artis Analytical Praxis" использовал символическую запись для произведения апотомов, которые представил в виде

a - b - aaaa baaa+bcaa,

a - c -      caaa+bdaa,

a - d -     daaa+bfaa bcda,

a - f -     faaa + cdaa bcfa+

+ dfaa cdfa+bcdf.

Наиболее полное систематическое и научное обоснование свойств числа сочетаний было изложено в "Трактате об арифметическом треугольнике" (1665) Б. Паскаля (1623– 1662). В нем впервые в истории ученому удалось установить, что биномиальные коэффициенты и сочетания чисел из n элементов по m одно и то же. Поэтому его исследования касались также изучения сочетаний и выяснения их свойств [8, 9]. Разложение бинома натуральной степени аналитически стало записываться в виде

n

(a + b)n -XCna’—ibi .

i - 0

Исторический процесс развития биномиальной теоремы свидетельствует о том, что важная математическая проблема не возникает неожиданно в голове одного ученого. Подход к ней осуществляется на протяжении дли- тельного времени многочисленными известными и безымянными исследователями. Недаром И. Ньютон однажды обмолвился о том, что не достиг бы своих эпохальных открытий, если бы не стоял на плечах гигантов.

Во второй половине XVII в. интерес к биномиальной теореме возник в связи с разложением функции в степенные ряды. Эта проблема была важной для математического анализа. Первые публикации по этому вопросу выполнил Н. Меркатор ( « 1620-1687), получив разложение логарифмической функции In ( 1 + x ) почленным интегрированием бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В "Трактате по алгебре" Дж. Валлис (1616–1703) вплотную подошел к открытию биномиального ряда [10]. Результаты его исследований подготовили почву для расширения понятия степени бинома на дробные, а затем и отрицательные показатели степени, выполненные И.Ньютоном. Впоследствии было установлено, что своим появлением биномиальный ряд обязан Г.Бриггсу (~ 1561-1630) и опубликованной им работе "Arithmetica Logarithmica" (1620). Одновременно с Ньютоном приблизился к биномиальному разложению Дж. Грегори (1638– 1676). Он разложил многие функций в сте- пенные ряды, в частности,

ln

^{1 + x} .

. Заметим,

1 - x что еще в 1695 г. Г.В.Лейбниц записал раз ложение степени n - — бинома в виде m m      m m-1

m y + a = y ^m + — y ^m1 a + — —y m² a ² + ...

К открытию общего биномиального ряда пришел также И. Ньютон в результате переписки через графа Г. Ольденбурга – секретаря Лондонского Королевского общества – с Лейбницем. Биномиальное разложение ученый записал в виде p+pQn = nm  m     m - n    m - 2

= Pⁿ + — AQ +---- BQ +----- CQ + ...

n        2n         3n где P + PQ - величина, для которой требуется найти корень, или степень, или корень из ее степени; P – первый член величины; Q – совокупность остальных членов, деленных на первый; m – показатель степени (целый, n дробный, положительный или отрицательный); A,B,C,... – последовательно получен- ные значения:

m

A = Pn; B = mAQ; C = m—n BQ n          2n и т.д. [9].

В следующем ответном письме от 24 октября 1676 г., посланном также через

Г.Ольденбурга, Ньютон отметил, что к такому выводу его привело изучение работ Валлиса.

После долгих размышлений Ньютон обнаружил правила образования коэффициентов при разложении дробной степени бинома. Для произвольной рациональной степени с бинома в ряд оно было найдено и имело вид

( a - x ) ^c =

= a^c + ca^{c -1} x + —— 1) a^{c -2} x ² +

c ⁽ c ^- 1)( c ^- 2)    - 3 3

+                   a x + ...

2 • 3

Свою формулу Ньютон считал одним из самых значительных результатов. От нее он в конце концов пришел к интегральному исчислению [11].

Л.Эйлер (1707–1783) разработал свою теорию рядов, отметив, что опирался при этом на биномиальную теорему. Его результаты в начале XIX столетия вновь получил О. Коши (1789–1857), установивший, кроме того, интервал сходимости биномиального ряда.

Естественно, что биномиальная теорема может быть обобщена на случай большего числа членов, т.е. речь идет о возведении многочлена в натуральную степень. Поэтому теорема называется полиномиальной . Заметим, что данный термин принадлежит Г.В.Лейбницу, который дал такое название в письме И.I Бернулли (1695). Последний же считал ее "замечательным правилом", когда познакомился с анализом работы Абрахама де Муавра, опубликованной в журнале "Philosophical Transactions" (1697, с. 619). В ней была доказана теорема о том, что полином можно записать в двух совершенно разных формах: в виде суммы n одночленов и производящей функции для z .

В первой разложение полинома степени a „a  „a k имеет вид   pC£a1 a2 ..an , где

n

P a = к (*). Тогда справедлива запись i=1

(ai + a 2 + ...+ an )    PCea11 a 22...an"  (1)

при условии (*).

n i=1

является характери-

стическим свойством для произведения натуральных степеней чисел, стоящих в правой части (1), а значение C£ может быть выра- жено через степень k каждого члена, так как, выбирая из к факториалов любое число a , повторяющееся a раз далее из оставшихся (к - a ) факториалов выбирают повторяющиеся a раз и т.д. По правилу произведения такой выбор может быть выполнен следующим числом способов:

( a k )( a к ^-a ) ... ( a n ^-a1^-a - ■- “'' ¹) .   (2)

Заметим, что (2) может быть упорядочено по возрастающим значениям a,. Поэто му коэффициент  Ce  определяется как

(a ^k ) ( a р ) ... ( a ; ^{- a i - a 2}

' n - 1 ) =          ^k!

a a ₂ !... a !

Тогда выражение (1) может быть представлено в виде

V V k! a a a(a, + a2 +... + an) = L------•------a^2...a„ , (3)

(a) a1!a2!...an !

n где ^ a = k. Последнее соответствие озна-i=1

n чает, что в сумме ^ a = k, представляющей i=1

все n значений для a , могут быть a = 0 или a - натуральное число [12].

В качестве примера рассмотрим ( a + b + c ) ⁵ . В этом случае к = 5 и n = 3 . Следовательно, нужно представить число 5 всевозможными способами в виде трех слагаемых, различных или повторяющихся. Число таких способов разбиения: 5=5+0+0, 5=4+1+0, 5=3+1+1, 5=3+2+0, 5=2+2+1.

Для каждого из случаев находят число перестановок с повторениями элементов, используя коэффициент под знаком суммы в правой части соотношения (3). Последовательно получают коэффициенты С _£ при членах разложения:

„5!

С =---= 1 ; С

1    5!0!0!

„5!

С =---= 20 ; С

3 3!1!1!

4!1!0!

3!2!0!

= 5 ;

= 10 ;

5!

С, ==

⁵     2!2!1!

С учетом, что показатели степеней при основаниях обладают перестановочным свойством, то полиномиальное разложение 5-й степени рассматриваемого трехчлена имеет вид

( a + b + c ) ⁵ =

= a ⁵ + b ⁵ + c ⁵ + 5 a⁴ b + 5 a⁴ c + 5 b⁴ c +

+ 5 ab ⁴ + 5 ac ⁴ + 5bc ⁴ +

+ 10 b ² c ² + 30 a ² b ² c + 30 b ² c ² a + 30 c ² a ² b.

Вторая форма полиномиальной теоремы записывается в виде

a0 + a 1 z + a2z2 + ... + anzn = ^Aa • za , (4) a в правой части которой под знаком суммы коэффициент Aa представляет ряд слагаемых вида CxaX°af‘..a%n. В этом случае для показателей степеней при ai (i = 0; n) имеют ме сто соотношения Хо + X +... + X = к ,

0 • Xо +1 ’ Х1 +... + n • Xn = a . Значения СХ могут быть определены через факториалы . „    „к следующим образом:   C Х =.

ХУ ’

Х 0 Х1

При дальнейшем изучении полиномиальной теоремы возник ряд вопросов: каково число членов в разложении полинома (a1 + a2 +... + an )k ; сколько среди них различных? Над ними работал Хр. Брианшон (1783-1864). Решение первой задачи он нашел, придав каждому ai (i = 0; n) значение 1, т.е. a1 = a2 =

...

= a n = ¹. Тогда получится

k выражение n , т.е. число размещений с по-~ к   к ъ вторениями А = n . При решении второй задачи, весьма подробно обсуждаемой Бри-аншоном, оказалось, что каждый из членов разложения (3) является суммой сочетаний k-го класса, содержащего n элементов с неограниченными повторениями. Найденное число выражается формулой для подсчета сочета-~к ний Сп с повторениями элементов. Оно может быть приведено к подсчету сочетаний ~к _ гк

C _n = C _{n +} к - 1 без повторения элементов.

Аналогичные исследования полиномиальной теоремы проводили и другие ученые. Так, один из них - Л. Эттингер (1797-1869) смог ответить на ряд сформулированных ниже вопросов, продолжив тем самым исследования современников. К ним относились: каково количество слагаемых, у которых эле- мент aa встречается, по крайней мере, в r -й степени; среди которых имеется элемент aa в степени, большей r ; в которых aa встре- чается в степени r ; элемент aa встречается в r -й или (Г + S) -й степенях; каково число всех оставшихся членов?

Все ответы на эти вопросы были получены для a _a = a n , учитывая, что полиноми-

альное разложение представлено в виде

(a + a2 +...+ an) k =(a^ + a2 +...+ an) =

= (a 1 + ...+ an-1 ) k +(k )(al + ...+ an-1 )k 1 an +

+ (2 ) (a1 + ...+ an-1)   an + ...

Так, найденное им значение

( k )( n - 1 ) ^k - r + ( k +1 )( n - 1) ^k - r ^-1 + ...

дает ответ на первый поставленный вопрос, а

Г ^{( k -} r ) -L. Г^{-k -} r ^{- 1)} -L. -L Г^} -L. 10^ — ¹ n - 1    + ¹ n - 1      ⁺ ... + ¹ n - 1 ^{+ 1} n - 1

( n + k - r - 2 । . / n + k - r - 3

n - 2     ^{)+ (} n - 2

n - 1       n - 2

... + n - - 2 7+ n -- 2 J   V

‘) + ...

n + k - r - 1 n - 1

)

– на второй.

Заметим, что полученные ответы нами

даны в авторской записи. В ней выражение

I k ) к r 7

означает

C ^r , а k

г ^{( k - r} ) ¹ n -1

— C ^{k -} r

Исследование полиномиальной теоремы и ее свойств затрудняется тем, что каждый из ученых вводил свои обозначения. Среди них были Хр. Крамп, А. Крелль, Дж. Вейнгартнер, А. Вейсс, А. Этинхаузен и др. Их результаты показывают, что изучение биномиальной и

полиномиальной теорем продолжалось, по крайней мере, до середины XIX столетия; были получены не только новые научные факты, но и найдены приложения.