Изотермические координаты на склейках

DOI:

1.    Теорема В.М. Миклюкова об изотермических координатах на негладкой поверхности © Кондрашов А.Н., 2016

Вопрос о существовании изотермических координат на гладких поверхностях хорошо изучен, а возможность их введения оказывается чрезвычайно полезной во многих случаях. В то же время вопрос о введении изотермических координат на негладких поверхностях оказывается весьма тонким. В основном конформные отображения негладких поверхностей изучались лишь в специальных случаях [5–7; 13; 16; 17]. Один из наиболее общих результатов в этом направлении был получен в работе В.М. Миклюкова [12], которая будет для нас отправной точкой. Следуя этой работе, введем терминологию и обозначения.

Пусть D С R ² — область и X — двумерная поверхность в R ^m , (m >  3) , заданная посредством непрерывной вектор-функции

У = /(ж) = (/ 1 (Ж 1 ,Ж 2 ),..., / _т (ж 1 ,ж 2 )) : D ^ R ^m ,                     (1)

реализующей гомеоморфное отображение области D на множество /(D) с метрикой (и тем самым топологией!), индуцированной из R ^m .

Далее всегда предполагаем, что отображение f имеет полный дифференциал df п.в. в D, причем п.в. в D выполнено rank (df) = 2.

Символами f _X 1 (ж), f _x 2 (ж) будем обозначать частные производные вектор-функ-ции f :

Л1 (ж) = (f1xi (ж'),...,fmx1 (ж)), fX2 (ж) = (f1x2 (ж), . . . , fmx2 (ж)).

Пользуясь стандартными обозначениями E = \ f _{X 1} 1 ² , F = ( f _{X 1} , f _x 2 f G = l f _x 2 1 ² , определяем в D метрику (первую квадратичную форму)

ds ² = Ed^ 1 + 2Fdж ₁ dж ₂ + Gdж 2

с измеримыми коэффициентами E, F, G .

Определение 1. Пусть X — поверхность, заданная над областью D С R ² посредством вектор-функции (1), подчиненной условию (2). Переменные ж ₁ ,ж ₂ называются изотермическими координатами на поверхности X , если

E (ж) = G(ж), F (ж) = 0

п.в. в D .

В случае когда ж ₁ ,ж ₂ — изотермические координаты на поверхности X , мы имеем ds ² = ^ ² (ж)(dж 1 + dж ² ), где Л ² (ж) = E(ж) = G(ж).

Первое из условий (4) означает, что растяжения f вдоль линий ж « = const (г = 1, 2) совпадают в точках, где df существует. Второе условие влечет взаимную ортогональность образов этих линий в соответствующих точках у = f (ж) . Так что в каждой точке ж Е D , где существует полный дифференциал df и одновременно выполняются соотношения (2) и (4), отображение f : D ^ X конформно (сохраняет углы между кривыми).

Нам потребуется также понятие W ^1,2 -мажорируемой функции.

Определение 2. Пусть D С R ² — область. Будем говорить, что функция Р : D ^ R является W ^1,2 -мажорируемой в D , если найдется функция К Е W ^1,2 (D) такая, что

Р (ж) <  К (ж) для п.в. ж Е D.                         (5)

Простейшие примеры W ^1,2 -мажорируемых функций доставляют ограниченные функции. Пусть Р : D ^ R — произвольная ограниченная функция, определенная в области D конечной площади. Здесь мы можем положить К = esssup _{x G B} P(ж). Ясно, что К Е W ^1,2 (D) и соотношение (5) выполнено п.в. в D .

Определение 3. Пусть D С R ² — область. В случае когда функция Р : D ^ R является W ^1,2 -мажорируемой во всякой подобласти D b D , будем говорить, что функция Р является W^-мажорируемой в D .

W 1,2-мажорируемость (см. [12, замечание § 6]) означает, что равенство lim Р(^) = +то

^ >х может выполняться на очень редком множестве. Можно утверждать, например, что при любом а > 0 его а-емкость равна нулю. Из этого, в свою очередь, вытекает, что линейная мера такого множества равна нулю.

Всюду далее будем использовать обозначения: О = (0,0) , 2 = (1,0) G R ² , В(O,R) — открытый круг радиуса R > 0 в R ² с центром в начале координат О .

В работе [12] была установлена теорема о существовании и единственности изотермических координат на односвязной негладкой поверхности, которую приведем в следующей формулировке, необходимой для последующего применения.

Теорема 1. Пусть X — двумерная поверхность, заданная вектор-функцией (1) над односвязной ограниченной областью D с R2 и удовлетворяющая условию (2). Предположим, что функция Р, определяемая соотношением р (х) =___E^c^+G^c)___                       (6)

УЕ(x)G(x) -12^)’ является ЖОС-мажорируемой в области D.

Тогда существует гомеоморфизм х = Ф(^) : B(O,R) ^ D, где R >  1 , Ф(^) G G Ж[О^В(О, R)) , вводящий на X изотермические координаты ^ ₁ , ^ ₂ .

Гомеоморфизм х = Ф(^) определяется единственным образом заданием пары точек a,b G D таких, что а = Ф(О) , b = Ф(2) .

Целью настоящей работы является вопрос о справедливости аналогов теоремы 1 для поверхностей, склеенных из двух кусков.

Замечание. В дальнейшем поверхности X = (D, /) , заданные над односвязной областью D с R ² , у которых отображение / : D ^ /(D) взаимно однозначно, дифференцируемо п.в. и выполняется условие (2), будем называть элементарными . Так как при доказательстве теоремы 1 в [12] используется только квадратичная форма (3), заданная в области D , и только по этой форме строится подходящее отображение Ф(У , то теорема остается верной и для некоторых случаев неэлементарных поверхностей.

В частности, теорема будет верна и для неэлементарных поверхностей X = (D, /) , если область D можно представить в виде конечного объединения D = IJ^D » , где D _t — односвязные области, а замыкание берется относительно D , причем:

• 1)    int(D_tП Dj) = Dt П Dj = 0 для всяких г = j;

• 2)    д‘D_t П д‘Dj = D_t П Dj — состоит из конечного числа локально спрямляемых дуг (здесь д‘ означает границу множества относительно D);

• 3)    каждая поверхность X_t = (D_t, /) является элементарной, причем продолженное отображение / : D_t ^ /(D_t) также взаимно однозначно.

2.    Метрические и функциональные аспекты

Пусть Х ₁ = (G ₁ , / ₁ ) и X ₂ = (G ₂ ,/ ₂ ) — две элементарные односвязные поверхности в R ^m .

Мы будем говорить, что задана склейка X ₁₂ этих поверхностей, если:

• 1)    заданы открытые жордановы дуги Г ₁ с dG ₁ и Г ₂ с dG 2 , причем отображения / ₁ и / ₂ продолжаются по непрерывности на них и эти продолжения / _t : Г ^ / _t (r _t ) с R ^m ( г = 1, 2 ) суть гомеоморфизмы;

• 2)    определено гомеоморфное отображение

x ⁽²⁾ = P 12 (x ⁽¹⁾ ) : Г 1 ^ Г 2

такое, что

/ 1 (ж ⁽¹⁾ ) = / 2 (P 12 (x ⁽¹⁾ )) ДЛЯ ВСЯКОГО Ж ⁽¹⁾ E Г 1 .

Данное отображение согласуется с выбранными ориентациями в G ₁ и G 2 так, что при обходе x ⁽¹⁾ вдоль дуги Г ₁ в положительном направлении точка x ⁽²⁾ = p ₁₂ (x ⁽¹⁾ ) будет двигаться в отрицательном направлении по дуге Г 2 .

Точки множеств G t U Г _г (г = 1,2) , связанные склеивающим гомеоморфизмом (7), отождествляются.

Таким образом, в нашем случае склейка Л’ ₁₂ — это односвязная поверхность, для которой изначально не задано единое представление у = /(x) : D ^ R ^m , а заданы параметрические представления двух ее частей Л’ ₁ = (G ₁ , / ₁ ) и Х ₂ = (G ₂ , / ₂ ) , согласованных по краям.

Как обычно, взаимно однозначные непрерывные образы в R ² промежутков вида (а, Ь) , [а,Ь] будем называть соответственно открытой и замкнутой жордановыми дугами , а образы промежутков вида (а, Ь] , [а, Ь) — полуоткрытыми жордановыми дугами . При этом а = —то , Ь = + то в случаях открытых и полуоткрытых дуг допускается. Гомеоморфный образ единичной окружности S ₁ будем называть замкнутой жордановой кривой .

Вместе с понятием склейки поверхностей введем понятие склейки пары областей (см., например, [3]).

Определение 4. Область G С R ² будем называть склейкой областей { G j } в соответствии с заданными склеивающими граничными гомеоморфизмами (7), если существует пара гомеоморфизмов p _t : G _t U Г ^ p _t (G t U Г _г ) С R ² таких, что

• 1)    p^x^ ) ) = ф ₂ (ф ₁ 2 (x ⁽¹⁾ )) для всякого x ⁽¹⁾ E Г ₁ ;

• 2)    P 1 (G 1 U Г 1 ) U p 2 (G 2 U Г 2 ) = G ;

• 3)    ^p 1 ^(G 1 ) П ^p 2 ^(G 2 ⁾ = 0 .

Гомеоморфизмы p _t будем называть осуществляющими склейку или просто склеивающими (без добавления «граничные»).

Наличие склейки областей позволяет параметризовать склейку поверхностей Л ’ ₁₂ , то есть представить ее с помощью вектор-функции /(x) : G ^ R ^m . Эту вектор-функцию определим по правилу

/(x) = M^- i ¹ (x)), если x E Ф г (С г и Г г ).

Для дальнейшего дадим следующие определения.

Определение 5. Монотонно возрастающая функция h(x) : R ^ R , удовлетворяющая условию

1     h(x + t) — h(x)

с    h(x) — h(x — t) — ’ для любых x,t E R и некоторой постоянной с > 1 называется квазисимметрической.

Определение 6. Открытая дуга (замкнутая кривая) С С R ² с концами в бесконечно удаленной точке называется квазипрямой (квазиокружностью), если она квазиконформно эквивалентна прямой (окружности), то есть существует квазиконформный гомеоморфизм

ф(ж) : R ² ^ R ²

такой, что ^(С ) есть прямая (окружность).

Определение 7. Если D С R ² — односвязная область, ограниченная квазиокружностью, то такая область называется квазидиском .

Следующие факты A1 – A3 хорошо известны.

A1 Всякая монотонная функция может быть продолжена до квазиконформного отображения h : R ² ^ R ² тогда и только тогда, когда она является квазисимметрической.

A2 Свойство дуги (замкнутой кривой) быть квазипрямой (квазиокружностью) однозначно характеризуется условием Альфорса: для любых трех точек Z 1 , Z 2 , Z 3 € С , таких, что ζ 3 лежит между ζ 1 и ζ 2 , выполняется неравенство

| ^Z 3 - ^Z 1 | / к

• --------г <  К

| Z2 - Z1| с некоторой постоянной К. При этом в случае замкнутой кривой имеется в виду тот из участков С с концами Z1 и Z2, который имеет меньший диаметр.

A3 Если D — квазидиск или односвязная область, граница которой представляет собой квазипрямую, то известно, что для любой функции /(ж) € L ^1,2 (D) существует ее продолжение на R ² , такое, что продолжение /(ж) € L ^1,2 (R ² ) .

Свойства A1 , A2 представляют собой хорошо известные результаты Л. Альфорса [14], а A3 составляет содержание известного результата С.К. Водопьянова, В.М. Гольдштейна, Т.Г. Латфуллина [1] (см. также [4; 15]).

Лемма 1. Пусть имеется поверхность X = (D,/) в Rm, заданная над односвязной областью D С R2 непрерывной, п.в. дифференцируемой вектор-функцией у = /(ж) : : D ^ Rm, для которой п.в. выполнено (2). Предположим, ж = ф(и) : G ^ D, и = (и1,и2),

квазиконформное отображение и д(и) = /(^(и)) : G ^ R ^m - эквивалентное представление поверхности X , вводящее на ней новые координаты и 1 ,и ₂ . Рассмотрим величины Р (ж) и Р (и) , определенные в координатах ж = (ж 1 ,ж ₂ ) и и = (и 1 ,и 2 ) по формуле (6). Тогда для некоторой постоянной Q >  0 для п.в. и € G выполнено неравенство

Р(и) <  QP(^(и)). (10)

Доказательство. Пусть ф(и) = (ф 1 (и), ф ₂ (и)) , тогда условие квазиконформности этого отображения может быть записано в виде

|Vф1(u)|2 + |Vф2(u)|2 < QJ, где Q > 0 — некоторая постоянная, а J = ф1И1 ф2и2 — ф1и2ф2и1 — якобиан отображения

• (9) . Пусть Е = Е (ж) , F = F (ж) , G = G(ж) — коэффициенты первой квадратичной

формы X в координатах ж = (ж 1 ,ж ₂ ) , а Е = Е (u) , F = F (и) , G = G(u) — в координатах u = (u 1 ,u ₂ ) . Между собой эти величины п.в. связаны формулами

Е  =  Е (Ф1И1 )2 + 2F фх„1 Ф2И1 + G(V2til )2,

F  =  Еф1и1 ф1^ + F (ф1и1 ф2и2 + Ф1„2 ф2„ ) + Сф2и ^2U2 ,(12)

G  =  Е (piu2 )2 + 2F р^ V2U2 + G(V2U2 )2.

Здесь в правой части и всюду ниже Е = Е (ж) , F = F (ж) , G = G (ж') вычисляются при ж = р(и). В силу известного неравенства для положительно определенных квадратичных форм

011^2 + 2О12^п + O22n2 < Л(^2 + п2), где Л = о11 + о22 > 0 — след квадратичной формы а11^2 + 2а12^п + о22п2, имеем

~   ~            2

^Е + ^G = ^Е( ( V 1u ₁ ) +

( V 1 U ₂ ) 2) +2F ^1 U 1 V 2 U 1 + P 1u 2 Ф 2^)

+

+ ^G ^( ^р 2 и ₁ ) + ( ^р 2 и 2 ) ^ <  ( ^Е + ^G )( |V ^ 1 | 2 + |^ ф 2 | ² ) <

< QJ ( Е + G ) .                              (14)

Кроме того, из (11)–(13), п.в. следует соотношение

ЕG - F ² = J ² (ЕG - F ² ).                         (15)

Сопоставляя (14), (15) с выражением (6) для вычисления величин Р (ж) , Р (и) , получаем (10). Лемма доказана.

3.    Основной результат

Предварительно дадим несколько определений.

Определение 8. Пусть D С R ² — область и Г С dD - открытая дуга. Пусть F С D подмножество. Будем говорить, что F компактно примыкает к Г , если F П dD b Г . Здесь F замыкание F в R ² , а отношение « ь » берется в смысле топологии Г .

Будем факт компактного примыкания для краткости записывать в виде « F b Г | D ».

Для учета поведения поверхности Х ₁₂ вблизи места склейки нам необходимо дать несколько измененный вариант определения 3.

Определение 9. Пусть D — область в R ² , граница которой dD содержит открытую дугу Г . Будем говорить, что функция Р : D ^ R является W lO ’_c 2 _r -мажорируемой, если для всякой подобласти D' С D , предкомпактной в R ² , и такой, что или D' b D , или D' b Г | D , найдется функция К Е W ^1,2 (D ' ) такая, что

Р (ж) <  К (ж) для п.в. ж Е D.

Определение 10. Пусть X ^ = (G j ,/ i ) , (г = 1, 2) — две элементарные поверхности, причем Г г = dG i — квазипрямые. Пусть ф ₁₂ : Г 1 ^ Г ₂ — склеивающее отображение, для которого определена склейка областей G 1 и G 2 . Будем говорить, что отображение (р₁₂ является квазисимметрическим, если оно квазиконформно эквивалентно квазисиммет-рической функции ψ 12 , понимаемой в обычном смысле.

Под квазиконформной эквивалентностью здесь понимается существование пары квазиконформных гомеоморфизмов д » : R ² ^ R ² таких, что д » (Г » ) = R С R ² , для которых диаграмма

Г 1 ——Ъ Г

^{9 1} 1           ^{9 2} |

R --ψ-12→ R коммутативна.

Лемма 2. Если отображение p12 : Г1 ^ Г2 является квазисимметрическим, то его можно квазиконформно продолжить до гомеоморфизма <р 12 : R2 ^ R2, причем так, что p 12(01) = R2 \ (G2 и Г2).

Замечание. Очевидно, что упомянутое в лемме продолжение является отображением, меняющим ориентацию.

Доказательство. Пусть д 1 , д ₂ , ^ ₁₂ те же, что и в диаграмме выше. В силу свойства A1 п. 2 функция ψ 12 квазиконформно продолжается с R ⊂ R ² на R ² . Пусть ψ 12 — это продолжение. Тогда в качестве продолжения, о котором говорится в формулировке леммы, можно взять p ₁₂ (х ⁽¹⁾ ) = д -¹ о (^ ₁₂ ) * о д 1 (х ⁽¹⁾ ) , где ( • ) * — операция отражения относительно оси абсцисс: (и 1 ,и ₂ )* = (м 1 , — и ₂ ) . Лемма доказана.

Лемма 3. Предположим, D С R ² — область и 9D квазипрямая. Пусть А, В Е 9D, (А = В ) — две произвольные точки и дуга y a,b — часть 9D, соединяющая А и В. Предположим также, что задано ограниченное множество F С D такое, что выполнено одно из двух: или F b D, или F b y _A,_B | D . Тогда дугу Yab можно дополнить до квазиокружности С, подходящей дугой целиком лежащей в D и охватывающей F.

Доказательство. Пусть у = p(x) : R ² ^ R ² — квазиконформное отображение, переводящее D в верхнюю полуплоскость { у : у ₂ > 0 } , а границу 9D в ось Оу 1 . Пусть а = p(A) , b = p(B) и пусть F 1 = p(F) . Дополним отрезок [а,Ь\ до замкнутой ломанной С с конечным числом звеньев, охватывающей F 1 и целиком расположенной в p(D) . При построении этой ломанной будем руководствоваться тем, чтобы углы между двумя соседними звеньями не равнялись 0, п . Ясно, что для такой замкнутой ломанной будет выполнено условие Альфорса (8), а значит она и ее прообраз С = р ^{- 1} (С) будут квазиокружностями. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть в R ² имеется { G , } ² 1 пара односвязных областей, граница Г » = 9G » каждой из которых есть квазипрямая.

Предположим, что существует пара квазиконформных гомеоморфизмов р » : R ² ^ R ² , таких что R ² = p i (G i U Г 1 ) U p ₂ (G ₂ U Г ₂ ) и p 1 (G 1 ) П p ₂ (G ₂ ) = 0 .

Тогда, если имеется пара функций ^ » (ж ^{( г )} ) , W_l 0’_<2 _r -мажорируемых в G » , то функция

Р(ж) = ^»(p-1(x)), если х Е p(G»), будет Ж^’2 -мажорируемой в R2.

Доказательство. Зададим произвольную область F b R ² . Положим

F i = ф - ¹ (F П ф^Сц U Г » )).

Тогда F i b Г _i | G _i . Случай F i П 3G i = 0 является допустимым и тогда F i b G _i .

По предыдущей лемме для каждого F i построим квазидиск D _i С G _i , ограниченный некоторой замкнутой граничной дугой Y _i С dG _i и дополняющей ее дугой Y _i С G _i . Тогда существует функция K _i (x ⁽ⁱ⁾ ) G Ж ^1,2 (D _i ) , мажорирующая Р^х ^)' ) в D _i . Так как квазиконформные отображения сохраняют свойство принадлежности к функциональному классу L ^1,2 (см.: [2; 4]), то К г (ф - 1 (х)) G L ¹’² (ф _i (D _i )) . C другой стороны, ф _i (D _i ) является квазидиском, а значит функции К г (ф ^{- 1} (х)) продолжаются на R ² . Сохраняя для этих продолжений те же самые обозначения, определим в R ² функцию

К (х) = max К^ф -¹ (х)) G L ^1,2 (R ² ),

i мажорирующую P(х) на F. Лемма доказана.

Доказанные выше леммы приводят к следующему результату.

Теорема 2. Пусть определена склейка Х ₁₂ пары поверхностей X i = (G^ F) , (г = 1,2) , причем множества склейки Г = dG i — квазипрямые, а склеивающий граничный гомеоморфизм ф ₁₂ : Г 1 ^ Г ₂ является квазисимметрическим отображением.

Предположим, что каждая функция р (x(i)) =       Ei (^'G^ + Gj(х(г))

г = 1, 2,

_x 7. х g х       F 2 х-   ’

W lO ’_c²_r. -мажорируема в G i .

Тогда на поверхности Х ₁₂ существуют изотермические координаты ^ = (^ 1 , ^ ₂ ) G B(O,R], R > 1 . Эти координаты определяются единственным образом выбором соответствия а А —> O, b А—> 2 , где либо а,Ь G G i U F _i (г = 1,2) и а = b, либо а G G 1 , b G G 2 и а = ф ₁₂ (Ь) .

Доказательство. Продолжим отображение ф ₁₂ : Г 1 ^ Г ₂ до квазиконформного гомеоморфизма ф 12 : R ² ^ R ² в соответствии с леммой 2 и рассмотрим пару гомеоморфизмов

Г х = ф 1 (х ⁽¹⁾ )   deef   ф ₁₂ (х ⁽¹⁾ ), х ⁽¹⁾ G G 1 ,

( х = ф ₂ (х ⁽²⁾ )   deef   х ⁽²⁾ , х ⁽²⁾ G G 2 .

Пара отображений (17) дает склейку областей G i и G 2 с заданным граничным гомеоморфизмом ф ₁₂ : Г 1 ^ Г ₂ . При этом результатом склейки является

R ² = ф 1 (G 1 U Г 1 ) U ф 1 (G 2 U Г 2 ) = Ф 1 (G 1 U Г 1 ) U G 2 U Г 2 .

Переменная х = (х 1 ,х ₂ ) является параметризацией склейки Х ₁₂ . Для функции P (х) , определенной в координатах х 1 ,х ₂ по формуле (6), для п.в. х G G ₂ U Г ₂ мы имеем

P (х) = Р2(х), а для п.в. х G G1 U Г1 в силу леммы 1 имеем неравенство

Р (х) < QP 1 (x)

с некоторой постоянной Q >  1 . Тогда по лемме 4 можно заключить о Ж^-мажорируе-мости функции Р (х) в R ² и по теореме 1 приходим к утверждению теоремы 2. Теорема 2 доказана.

Заключение

Новейшие исследования классической задачи о существовании изотермических координат на двумерной поверхности в R ^m только на современном этапе негладких или имеющих разного рода патологию в строении были инициированы в [12].

Мы надеемся, что наша работа будет способствовать продвижению этих исследований, а также решению аналогичных задач в псевдоевклидовых пространствах, где вырождение метрики (3) может быть обусловлено не только негладкостью поверхности, но и наличием изотропных направлений объемлющего пространства. Такие исследования планируется провести на основе комбинации методов настоящей работы и методов, применяемых при изучении уравнений Бельтрами переменного типа, имеющихся в [8–11].