Явная схема решения третьей смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности
Автор: Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич, Геренштейн Аркадий Васильевич
Рубрика: Краткие сообщения
Статья в выпуске: 2 т.5, 2013 года.
Бесплатный доступ
Предлагается численный метод решения третьей смешанной задачи для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности параболического типа, основанный на использовании явной разностной схемы. Зависимость коэффициентов уравнения от температуры преодолевается введением новой искомой функции - первообразной теплопроводности. Предлагается тестовая задача с известным точным решением для численных расчетов.
Теплопроводность, квазилинейное уравнение теплопроводности, явные разностные схемы, аппроксимация
Короткий адрес: https://sciup.org/147158779
IDR: 147158779
Текст краткого сообщения Явная схема решения третьей смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности
В настоящей работе используются идеи, изложенные в работах [1, 2], в которых была предложена и обоснована явная устойчивая схема для линейного уравнения теплопроводности.
1. Численный метод
Рассмотрим следующую постановку третьей смешанной задачи для одномерного однородного квазилинейного уравнения [3]:
с ( u ) | т =д ( q ( u ) | u ) , 0 < t < t , 0 < x < l , д t д x V д x ) u ( x , 0) = ^ ( x ), -f q ( u ) | u ) = A i ( u (0, t )) ( 9 i - u (0, t ) ) + Q i , (1) V д x V x = 0 |
( q ( u ) ) = A r ( u ( L, t )) 9 - u ( L, t ) ) + Q r ,
[V dx ) x=L где u = u (x, t) - температура стержня; 0 < x < L - координата; 0 < t < T - время; L - длина стержня; T - конечный момент времени; с(u) - объемная теплоемкость материала стержня; q(u) - теплопроводность материала стержня; ^(x) - функция начального распределения температуры стержня; Ai (u) - коэффициент теплоотдачи на левом конце стержня; Ar (u) - коэффициент теплоотдачи на правом конце стержня; 91 - температура внешней среды на левом конце стержня; 9r - температура внешней среды на правом конце стержня; Qi = Qi (t) - мощность потока тепла на левом конце стержня; Qr = Qr (t) - мощность потока тепла на правом конце стержня. Функции c = с(u), q = q(u), Ai = Ai (u) и Ar = Ar (u) предполагаются непрерывными функциями температуры, заданными для всех значений температуры.
Замена искомой функции
Поскольку в уравнении присутствует член q (u) , то удобно сделать замену дx u д G д2 G q (u) c (u)
G ( u ) = q ( g ) d q . Тогда для функции G получим уравнение — = a ( u )—— , где a ( u ) = 0 д t д x 2
Хайрисламов М.З., Явная схема решения третьей смешанной задачи Геренштейн A.B. для квазилинейного уравнения теплопроводности коэффициент температуропроводности. Функция G ( и ) является строго монотонной функцией температуры, поэтому обратная функция G 1 существует и может быть вычислена в конкретной точке, например, методом дихотомии.
Шаблон схемы. Расчетные формулы
На плоскости ( x , t ) используется равномерная сетка [2]
to = toh х юТ, toh = Jx= I i -i]h, i = 1,2,..., n!> , toT = {tj = jT, j = 0,1,...}, I V 2) J где h = LN - шаг по переменной x, T - шаг по переменной t. Шаблон предлагаемой схемы представлен на рис. 1. Для обозначения значений сеточной аппроксимации функции G на следующем временном слое используется верхний индекс (+1), на следующем полуцелом времен-
Г. 1
ном слое - I +— I , а на предыдущем полуцелом временном слое -
Используемая расчетная формула имеет вид
^^^^^^^.
.

- 2 a 2 ( U i ) t
G<+0 = (G - в)e h2 + at + в,
где

B = G - 1 + G + 1 - A.J? .
2 2 a 2( u i )
Для расчета значений функции G на временном слое t = T , а также ний функции в полуцелых слоях по времени используются формулы:
для вычисления значе-
- 2 a 2 ( и )
G ( t ) = Ge h 2
2 a 2 ( u i )
1 - e h h
Г 1 ) a 2 ( U i )
G i - 1 + Gi + 1 , g X 2J = G i e h 2
1 - e
a 2 ( ut )
G - 1 +
■^.(3)
Для выполнения краевых условий введены фиктивные узлы с номерами 0 и N + 1 (см. рис. 1): сначала рассчитываются значения искомой функции во внутренних точках, после чего, исходя из краевых условий, задаются ее значения в фиктивных узлах.
Используя следующие аппроксимации второго порядка точности
2 ( U (0, t )) = 3( 2 1 > 1 " 2 ) 2 , q ( U (0, t )) = ^ q LZ q ., a u ^O^ t ) = u ^^ u o , u (0, t ) = u o^ u ! ,
2 2 дx h2
нетрудно получить формулу определения температуры в фиктивном узле 0:
U 1 Г 3 q 1f q 2 - 3( 2 1 ) 1 7 ( 2 l ) 2 1 + (3( 2 / ) 1 - ( 2 1 ) 2 )6' i + 2 Q i
V h 2
u 0 = 3 4 1 - q 2 + 3( 2 1 ) 1 - ( 2 1 j;
h2
Краткие сообщени^
Аналогичные рассуждения для правого конца приводят к расчетной формуле для узла N + 1
„ | 3 q N - qN - 1 3( Л г ) N - ( Л г ) N - 1 ]
иN I ,---~-------- I+ (3(Лг )N - (Лг )N-1)Уг + 2Qr
V h 2 J
N + 1 3 q N - q N - 1 + 3( Л г ) N - ( Л г ) N - 1
h 2
-
2. Тестовая задача
С учетом конечности скорости распространения тепла в [4] были получены приближенные решения одномерной задачи нелинейной теплопроводности на полубесконечной прямой при заданном потоке в начале координат в виде степенной зависимости. В данной работе с использованием идей, изложенных в [4, 5], получено аналитическое решение следующей третьей смешанной задачи на полубесконечной прямой для одномерного квазилинейного уравнения теплопро- ле координат.
В частности, при n = 2 точное решение задачи (6)-(8) будет таким:
и ( x , t ) =
< 42 a ( a t - x ),
x < a t , x > a t ,
где a =
-Л + V Л + 272 Q 2
Pиc. 2. Численное и точное решени^ за^ачи в разные моменты времени
Полученные результаты позволяют говорить о хороших свойствах предложенного численного метода.
Хайрисламов М.З., Геренштейн A.B.
Явная схема решения третьей смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности
Список литературы Явная схема решения третьей смешанной задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности
- Геренштейн, А.В. Нагревание круга движущимся теплоисточником/А.В. Геренштейн, Н. Машрабов//Обозрение прикладной и промышленной математики. -2008. -Т. 15, № 5. -С.870-871.
- Геренштейн, А.В. Устойчивые явные схемы для уравнения теплопроводности/А.В. Геренштейн, Е.А. Геренштейн, Н. Машрабов//Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». -2008. -Вып. 1. -№ 15(115). -С. 9-11.
- Самарский, А.А. Теория разностных схем/А.А. Самарский. -М.: Наука, 1989. -616 с.
- Кудряшов, Н.А. Приближенные решения одномерных задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке/Н.А. Кудряшов, М.А. Чмыхов//Журнал вычислительной математики и математической физики. -2007. -Т. 47, № 1. -С. 110-120.
- Зельдович, Я.Б. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры/Я.Б. Зельдович, А.С. Компанеец//К 70-летию А.Ф. Иоффе: сб. науч. тр. -М.: Изд-во АН СССР, 1950. -С. 61-71.