Явное представление сокращенных в размерности уравнений Эйлера и Навье - Стокса несжимаемой жидкости в интегральной форме

DOI:

В приложениях нелинейность уравнений гидродинамики часто является одним из препятствий для изучения многих явлений, таких как турбулентность, движение гидродинамических разрывов, в частности, распространение фронтов химических реакций и др. [8–11; 14]. При их моделировании в практических задачах часто приходится составлять очень тонкую численную сетку по пространству и времени, что требует больших вычислительных мощностей и затрат времени. В связи с этим большой научный интерес представляют различные способы сведения полной системы гидродинамических уравнений по объему к системе уравнений на поверхности [4–6; 12; 13]. Подобная процедура позволяет уменьшить размерность задачи на единицу ( 3D ^ 2D , 2D ^ 1D) , что существенно сокращает необходимые вычислительные мощности. В частности, соответствующая компьютерная программа могла бы напрямую (пользуясь информацией только на поверхности) рассчитать гидродинамические разрывы с учетом вязкости, образования звука и других изменений плотности газов и жидкостей. Например, при исчезающе малой вязкости задача описания потенциального обтекания на плоскости сводится к интегральному уравнению на границе области (задачи Дирихле, Неймана) [8; 11]. Это уравнение связывает тангенциальную и нормальную составляющие скорости. Зная одну из них на границе обтекаемого тела, можно определить весь внешний поток.

В данной работе мы преобразовываем нестационарные уравнения Эйлера и Навье — Стокса к «стационарным» интегро-дифференциальным уравнениям, у которых производные по времени отсутствуют. Особенность данной работы заключается в том, что все сокращенные в размерности уравнения получены в явном виде в отличие от предыдущих работ авторов [1; 2], где предлагались до 200–300 уравнений с сокращенной размерностью.

В научном сообществе существует мнение, что сокращение размерности (сокращения числа переменных) в уравнениях гидродинамики на достаточно произвольном решении невозможно. В данной работе мы показываем, что на достаточно малом отрезке времени это возможно для классических решений, удовлетворяющих заранее заданной достаточно произвольной задаче Коши.

Данная статья не направлена на решение соответствующей Миллениум Проблемы.

1.    Уравнения Эйлера

Рассмотрим уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости в виде [8]

__ ₊ (u V )u + VP =

д u              u ²

т -^{uх ш + V}(T ^{+ P})

= 0 ,

r = ( x,y,z ) . Рассмотрим лагранжевы переменные начального положения частиц газа и времени r₀ ,t (то есть разметку), определяемые следующим образом

dr dt = u(r,t), r = r(ro,t)  и го = ro(r,t), го^=о = r, г|4=о = го.

Здесь г = ( х,у, z ) , г_о = ( х ₀ ,y ₀ ,z ₀) , t = t . Из системы уравнений (1)-(3), учитывая определение (4), следует, что выполняются соотношения [4; 5]

ш • V ro = Ш о(го) ,

д ( х о ,y o ,z o) = 1

^{д ( x,}y^,z )        ,

^ + u • V ro = 0 , at

где ш _о = V х и_о ; и_о = и_о(г) — начальное распределение скорости u(r ,t ) при t = 0 . Из (5)–(7) следует, что

ш ( г о ,, = Ш о • V or ,

д r дго где Vo = (д/дхo,д/дyo,д/дzo).

Если мы имеем поток жидкости

д(х o ,y o ,z o ) = 1

^{д ( x,}y^{,z)       1}

или газа во всем пространстве R ³ и достаточ-

но быстро убывающий на бесконечности, то выражение для скорости u может быть записано в следующем виде [11, гл. IV, § 5]:

u = A V_T х /

4 п

ш (г ‘ , t)

| г — г ‘ |

d 3 r = — — / ^(r 4 п

— г ’ ) х ш (г ‘ , t )

| г — г ‘ | ³

d ³ r ‘ ,

где V _r = (д/дх, д/ду, d/dz). Здесь и далее интегрирование ведется во всем пространстве R ³ . Учитывая (8), (9), перейдем в подынтегральном выражении в формуле (10) к переменным Лагранжа (4)

u = — X / (r

4 п У

— г ’ ) х ш (г ‘ , t )

| г — г ‘ | ³

d 3 r ‘ = — У / ( r 4 п У

—

^r ‘ ^{( r} 0 ^{,t)) х ш ( г}о^{,, ) д r} ‘ _d 3 | r — r ‘ ( г о ,,)|³         д г о

—

^го =

^— 4 П /^{(г — r} ‘ ^{( r} 0 ,^{t)) х}

( ш о(г о ’ ) • V o)r ‘ (r0 ,t )

^{|г — r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t) | 3}

^d 3 ^r 0 ,

где V _o = (д/дх' _о , д/ду' _о , д/дz 0) . Из (11), используя определение переменных Лагранжа (4), находим

^{u ( r} o ^,t) = I l ^{( г} о ^,t) = ^— 4П / ^{( г ( г}о^{,, ) — r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t)) х}

(ш о ( г о ‘ ) • V o)r ‘ (r0 ,t )

^{|г ( |}о^{,, ) — r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t) | 3}

d3^.

Продифференцируем выражения (12) по лагранжеву времени t. Тогда, используя нения Эйлера (1)–(3), получим урав-

^{V p} = а ^{М =} 3,2^{(W) =}

1 г да ,    , d „, л

= - 4 П / U^{r ( r} 0 ’⁽⁾ - at ^{r ( r} 0 '^{< )})

X

⁽Ш о ^{( г} о ‘ ) •^y 0 ^{) r} ‘ ^{( r} 0 ^,t) , 3 _r ‘

H^) - ^r ‘ ^{( r} 0 ,^{t) | 3    0}

-

4 П /^{(r ( r 0} '^t)

^{- r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t)) X}

^{( ш} 0 ^{( г} 0 ‘ ) • У о) j ^r ‘ ^{( r} 0 ^,t) , 3 _r ‘ +

Н^) ^{- r} ‘ ( ^r 0 ^,t) l ^{3     0}

+4 П /^{(r ( r 0} ,^<)

^{- r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t)) x}

/(w0(r0‘) • У0)г‘(г0,t) . .      .       ‘. ‘             д ,      . д ‘             3 ‘ x ( |r(r0,t) - r‘(r0,t)|5 (r(r0,t) - r (r0,t)) •      r(r0,t) - dtr (r0,t)y ) d r0'

Используя (9), находим, что компоненты вектора градиента давления У Р в переменных

Лагранжа (4) выражаются следующим образом дР = д(P,y,z) =    1     д(P,y,z) = д(Р, у, z)

дх    д(х,у,z) d ⁽ x,y,_z ) д(Х 0 ,У 0 ,Z 0) д(х 0 ,у 0 ,Z 0) '

^d ( ^ o _I y o _I z o ⁾

Аналогично получаем, что

дР    д ( х, Р, z )

ду    д(хо,уо,zо) ’ дР д (х,у,Р) дz    д(хо,уо,zо)'

Таким образом, формально в переменных Лагранжа мы имеем «стационарную» систему из семи интегро-дифференциальных уравнений (9), (12), (13) от семи неизвестных функций г(г0,?),Р(r0,t) и дг(г0,?)/д?, где размерность снижена в явном виде. Система уравнений (9), (12), (13) является следствием системы уравнений (1)–(3) и должна допускать параметрическое семейство решений (зависимость от времени t). Каждое конкретное решение должно выделяться данными на некоторой поверхности. В двумерном случае эта система уравнений будет несколько проще. Выражение (13) можно дифференцировать по времени еще раз и получать новые соотношения. Сформулируем утверждение.

Теорема 1. Если уравнения (1) - (3) имеют решение u = u(r ,t ) G С ² ( R ³ x [0 ,Т ]) , Р = = Р (r ,t ) G С ² ( R ³ x [0,Т ]) ,Т >  0 , достаточно быстро убывающее на бесконечности вместе со своими пространственными производными, то существуют переменные Лагранжа (4) на промежутке времени [0 ,Т ] и выполняются интегральные соотношения (9) , (12) , (13) при условии, что интегралы в (12) и (13) сходятся.

Формально интегральные уравнения (12) в переменных Лагранжа определяют эволюцию потока (с начальным условием r | _t =₀ = r₀ ) и являются следствиями уравнений Эйлера. В случае, если имеются границы у потока жидкости или газа, например, твердые стенки, то выражения (10), получаемые из теоремы Гельмгольца, несколько усложняются [11], но уравнения, аналогичные (9), (12), (13), также можно получить.

• 2.    Уравнения Навье — Стокса

Рассмотрим уравнения Навье — Стокса в трехмерном потоке в виде [4; 8]: du _z          _ „      _                           , ,

— + ( u ^У ) и + У Р = -vy x ш ,                  (17)

дt

• -^ + (uV)ш — ^V)m = уАш,(18)

ш = V х u, div u = 0, где V = (д/дх, д/ду, д/дz); A = д2/дх2 + д2/ду2 + д2/дz2 — оператор Лапласа; v > > 0. Эти уравнения описывают движение вязкой несжимаемой жидкости или газа в пространстве R3 или в ограниченном объеме пространства R3 и во времени t. Здесь v — коэффициент вязкости; u(r0,t) = (их,иу,uz) — скорость частицы жидкости в точке (r,t);P(r, t) — давление жидкости или газа, нормированное на постоянную плотность, в точке (r,t); r = (х,у, z).

Уравнения (18) можно преобразовать к виду

"df + ((u + a)V)ш, где вектор a = (a^, ay, az) определяется из системы линейных относительно него уравнений

( a V ) ш = — ( ш V )u — v A w.

Будем рассматривать только решения уравнений (17)-(20) u = u(r , t ) на некотором промежутке времени t Е [0 ,Т ] , Т >  0 и r Е R ³ , для которых выполняется условие на якобиан:

д ш д r

> е >  0 , V r Е R ³ , V t Е [0 , Т ] . (23)

В частности, это означает, что, исходя из условия (23), каждая компонента вектора ш = w (r,t) = V х u не имеет локального экстремума в R ³ , то есть нет точек, где у какой-нибудь компоненты вектора ш = ш (г , t ) одновременно все производные по пространству равны нулю. Рассмотрим замену переменных (см. приложение А)

dr

= u(r ,t ) + a (r ,t ) , r = r(ro ,t ) и ro = ro(r , t ) ,t = t, ro | _t =o = r , r | _f =o = f q .     (24)

dt

Здесь r = (х,у, z), r0 = (xq, y0,z0). В силу условия (23) замену переменных (24) можно сделать на некотором промежутке времени t Е [0,Т‘], Т > Т‘ > 0 (см. приложение А). Положим также, что на этом промежутке времени выполняется д r dro

> 0 .

В этих переменных (r₀ ,t ) (24) выражения (21) запишутся в виде

• ^дЩ^ = ^ + ((u + a ) V ) w = 0 .                (26)

дt дt

Выражение (26) означает, что ш = Шо(го),                                    (27)

где ш ₀(г₀) — начальное распределение завихренности ш .

Пусть мы имеем поток жидкости или газа во всем пространстве R ³ , имеющий условие на бесконечности такое, что выражение для скорости u может быть записано в виде [11, гл. IV, § 5]:

u^i=4 П ^v , ^x j

ш (r ‘ ,t ) | r — r ‘ |

d3r = — ^ [ (r 4 n J

— r ‘ ) x ш (г ‘ , t )

| r — r ‘ | ³

d ³ r ‘ .

Здесь и далее интегрирование ведется во всем пространстве R ³ . Перейдем в выражении (28) к новым переменным (24), используя (25), (27). Имеем

^{u ( r} 0 , ^T) = ^— 1- I ^{( r ( r} 0 , ^{T) — r} ‘ ^{( r} ‘ , ^{T)) x} 4 n

Ш о(г о ’ )

д r ‘

| r(ro ,t ) — r ‘ (r0 ,t ) | ³ д r o ‘

d ³ r0 .       (29)

Выражение (24) означает, что dr

Of = u(r o ,t ) + a (r o ,t ) .

Вектор α может быть записан в переменных (24) из формул (22) аналогично (14)–(16).

Продифференцируем выражения (29) по времени t в переменных (r0,t). Тогда д u z

% ^{(r o} '^<) =

-x [ ( kk ^{г ( г} о ^{,т )}

4nj    | r(r o ,t )

^— kk ^гК^{,т )} )

— r ‘ ^{( r} 0 ^{,t) | 3}

x ^ш о ^{( г} 0)

° r ‘ d 3 ^{d r} 0

^r 0 ^—

^— 4 п / ^{( г ( г}о^{,т ) — r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t)) x}

^{ш  r} ‘ ) 1 d r o

⁺ 4n / ^{( г ( г}о^{,т ) —r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t)) x ш} о ^{( г} 0) ^r( r ^{0 ,t)}

^{|г ( г}0^{,т ) — r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t) | 3 r} ‘ ^{( r} 0 ^,t) ) ( ik ^{г ( г} о ^,т) -

d ³ r0 +

где

д д r ‘ dt д г0

д (^,,/ ^

^{д r} 0

^— ik ^r ‘ ^{( r} 0 ^,t) )

^{|г ( г}0^{,т ) — r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t) | 5}

) д (<

Sy'(rQ,t) 8t dr0

,2‘) d^', V, ^^dA)

⁺        д r 0     ⁷

д r‘ д r0

.

^d 3 ^r 0 ,

Используя уравнение Навье — Стокса в форме (17)–(20), имеем д uz    . x д u                                 д uz ,x

^{( r} o ^,t) = "^(r,^ ^{+ (M( r} o ^{,t) + a ( r} o ^,t)) • 7T^{( r ,t)} = at         at                           д r

/ х д u _z х __ _

= a (ro ,t ) • ^-( r ,t ) - V P - v V x ш, д r

A( P + |u ² ) = V • [u x ш ] .

Вектор α и все производные в выражении (32) могут быть записаны в переменных (24) аналогично (14)–(16). Согласно формуле для решений уравнения Пуассона (33) [11, гл. IV, § 5] имеем

^P M + j ^{u ( r} ,^{t) 2} = 4П/

V _r • [u(r ‘ ,t ) x ш (г ’ ,^ ]

| r — r ‘ |

d ³ r ‘ =

¹ fv7   fM^rV) ^x Ш(г'./|\ j3J

^— 4п/ ^V A     i r — r’ j     r ^{r -}

A/[“(<«)

x ш( г ' , i )] • V _r ‘ •

(i ¹ i ) ^d3r ‘ =

^|r _ r ’ l

¹ ( ^r - ^r ‘ ) • Mr 'A ) ^x M^r' ^,i)] , 3 ‘

4 n              | r — r ' | ³

Перейдем в выражении (34) к переменным (24), используя (25), (27). Имеем

¹         2 _ ¹  [ №,< ) ^{- r} ' ^{( r} 0 ^,i)) • ^{[ u ( r} 0 ^{,i) x} ^ o ^{( r} 0 ^)]

^P (r₀ ,_t ) ₊ 2„м -4ПУ--------- 1 _{r ( r o it )} _ _r ‘ _{( r} o ,_{( )} |₃---------

dr'

^{d r} 0

, ³ r0 .

Таким образом, формально в переменных (24) мы имеем «стационарную» систему из 13-ти интегро-дифференциальных уравнений (29)–(32), (35) от 13-ти неизвестных функций r(r₀ ,i ) , u(r ₀ ,i),P (r₀ , i), d r(r₀ , i)/di и d u(r₀ ,i ) /di, где размерность снижена в явном виде. Система уравнений (29)–(32), (35) также должна допускать параметрическое семейство решений (зависимость от времени i ). Каждое конкретное решение должно выделяться данными на некоторой поверхности. Сформулируем следующий результат.

Теорема 2. Если уравнения (17) - (20) имеют решение u — u(r , i ) G С ⁴ ( R ³ x [0 , T ]) , P —

• —    P (r , i ) G С 4( R ³ x [0 ,Г ]) , T >  0 , c условием на бесконечности (28) и (34) , и для которого справедливо (23) , то в переменных (24) выполняются интегральные соотношения (29) - (32) , (35) на некотором промежутке времени [0 , T ' ] , T > T ' >  0 при условии, что интегралы в (29) , (2) и (35) сходятся.

В двумерном случае, чтобы получить похожую «стационарную» систему, необходимо несколько изменить замену переменных (24). Выражение (2) также можно еще раз продифференцировать по времени и получить новые соотношения.

Формально интегральные уравнения (29), (30) в переменных (24) определяют эволюцию потока (с начальным условием r | _t =₀ — r₀ ) для достаточно малого промежутка времени и являются следствиями уравнений Навье — Стокса. Если имеются границы у потока жидкости или газа, например, твердые стенки, то выражения (28), находящиеся из теоремы Гельмгольца, несколько усложняются [11], но уравнения, аналогичные (29)–(32), (35), также можно получить.

Заметим, что в силу условия (23) должно выполняться | w ₀(r₀) /d r₀ | ² >  е >  0 , V r₀ G G R ³ . В случае если это не выполняется, то наши рассуждения становятся нестрогими. Сделаем замену u(r ,i ) — U(r ,i ) + u₀(r) — U₀(r) , где u₀(r) , div u₀(r) — 0 — начальное распределение скорости u — u(r ,i ) ; а U₀(r) , divU₀(r) — 0 — начальное распределение новой величины U — U(r ,i ) ; Если u₀(r) таково, что условие (23) для ш ₀(r) — Vx u₀(r) не выполняется, то выберем U₀(r) таким, чтобы | d w ₀ (r/d r) | ² >  е >  0 , V r G R ³ , где wo(r) — V x (U )o(r) . Для новой неизвестной величины U — U(r ,i ) вместо (17)-(20) получаем новую систему уравнений:

d U

• - ^- + (U • V )U + ( e • V )U + (U • V ) e + ( e • V ) e + V P — - v V x w + v A e, (36) dW + ( U V) w + ( в V )w + ( ( в + U) V) ( V x в ) -

• -    ((w + Vx e ) V )(U + в )— v A(w + Vx в ) , (37)

w = V x U , div U = 0 ,

где в = uo(r) - Uo(r) . Уравнения (37) также можно преобразовать к уравнениям вида (21). Но вектор α определяется теперь из системы линейных относительно него уравнений вида

( a V )w = ( e V )w + (( в + U) V )( Vx в ) - ((w + Vx в ) V )(U + в ) - v A(w + Vx в ) . (40)

В этом случае замена переменных (24) будет корректна на малом промежутке времени t G [0 ,Т ] ,Т >  0 . Аналогичными рассуждениями можно показать, что на некотором промежутке времени t G [0 ,Т ‘ ] , Т > Т ‘ >  0 в переменных (24) с учетом (40) выполняются слегка измененные интегральные соотношения (29)–(32), (35).

Заключение

В данной работе мы получили «стационарные» системы интегро-дифференциальных уравнений, которые являются следствиями нестационарных уравнений Эйлера и Навье — Стокса несжимаемой жидкости. Если к ним задать корректную задачу, то мы можем определить весь нестационарный поток в объеме без решения нестационарной задачи. Достаточно задать изменяющиеся во времени данные только на некоторой поверхности этого потока. Получены также интегральные уравнения в новых переменных [лагранжевых (4) и псевдолагранжевых (24)], которые определяют эволюцию потока.

В предыдущих работах авторов размерность сокращалась путем редукции переопределенных систем дифференциальных уравнений [1–3; 7]. В этом методе в случае удачного выбора дополнительного уравнения связи у переопределенных систем дифференциальных уравнений происходит редукция до систем УрЧП размерности меньшей, чем у исходных систем УрЧП. Способ, который применяется для сокращения размерности у уравнений Эйлера и Навье — Стокса в данной работе, фактически является частным случаем указанного выше. В роли уравнений связи выступают сами уравнения Эйлера и Навье — Стокса, а размерность сокращается у интегральных уравнений (12) и (29), (30). Поскольку в системах (12) и (29), (30) есть интегрирование по пространству, то редукция по пространственным переменным данным методом невозможна. Однако, если этот способ немного обобщить, то можно получить редуцированную систему интегральных уравнений, где производные по пространству у неизвестных отсутствуют.

Интегральные уравнения (29)–(32), (35) могут быть применены для исследования сложных вихрей в атмосфере. Например, если на летящем объекте установить приборы, измеряющие данные для интегро-дифференциальных уравнений (29)–(32), (35) на своей поверхности, то, зная профиль завихренности ш ₀(г) в некоторый момент времени, можно, решая эти уравнения, в режиме реального времени отслеживать вихревую деятельность на расстоянии от этого объекта. Это важно для безопасности авиационного транспорта.

Приложение А. Особенности некоторых векторных полей

Исследуем замену переменных (24) в общем случае. Пусть A(r,t) — векторное поле в евклидовом пространстве R3, r G R3, t G [0,Т], Т > 0. Имеем дA(r,t)    ,         , х

——— + (aV)A(r,t) = 0, dt где вектор α определяется из системы линейных относительно него уравнений

-(aV)A(r,t) =         ■

Рассмотрим замену переменных r = r(r₀ ,t ) , t = t , r , r₀ G R ³ , t G [0 ,T ] , T >  0 :

dr dt = a(r,t), r = r(ro,t) и ro = ro(r,t),t = t, ro|t=o = r, r|t=o = ro.

Здесь r = ( x,y, г ) , r₀ = ( x ₀ , y ₀ , г ₀) , t = t . В новых переменных (r₀ ,t ) (43) выражение (41) запишется в виде

^5^ = dAdrLt) + («V)A(ro,t)=0

A(ro,t) = Ao(ro), где A(r,t)|t=o = Ao(r).

Для существования замены переменных (43) r = r(r0,t), r, r0 G R3, t G [0,T], T > 0 по теореме Коши — Пикара достаточно потребовать «липшицевость» правой части выражений (43). Для этого достаточно, чтобы векторное поле A(r,t) имело ограниченные непрерывные производные до второго порядка в R3 х [0, T], T > 0 и выполнялось условие для якобиана д A дr

> е >  0 для любых r G R ³ ,t G [0 ,T ] .

Таким образом, если в данном случае векторное поле A(r ,t ) ограничено в евклидовом пространстве R ³ при t = 0 , то из (45) следует, что A(r ,t ) ограничено и для любого t G [0 ,T ] , T >  0 .

Имеем div а = д (1    , ^XllbA + дХХгУЛ! = Ж

д(x, у, г)      д(x, у, г)      д(x, у, г) А , где А = dr = 0 в силу взаимнооднозначности преобразования (43). С другой стороны, в принятых предположениях относительно векторного поля A(r, t)

| div a | < С, С >  0 для любых r G R ³ , t G [0 , T ] .                 (48)

Сравнивая (47) и (48), находим, что

^ l A l

(It      c*

|А| или, интегрируя по t обе части неравенства (49) и учитывая что А = 1, при t = 0,

| А | <  exp( CT ) .

Можно получить следующую оценку, используя (50),

I | A(r ,t ) | d 3r = I | A_o(r_o) || A | d 3r_o <  exp(CT) j | A_o(r_o) | d ³ r_o , для любого t E [0 ,T ] .

∞∞    ∞

Если интеграл в левой части (51) существует для любого t E [0 ,T ] , то для него верна указанная выше оценка (51).

Если условия на производные («липшицевость») и (46) для векторного поля A(r ,t ) не выполняются, но выполняются для некоторого поля A(r ,t ) + B(r) , r E R ³ ,t E E [0 ,T ] ,T >  0 , то аналогично можно получить, что

A(r , t) = Ao(ro) + B(ro) - B(r) ,

где r₀ = r₀(r ,t ) определяется из (43), но вектора а вместо (42) определяются из системы уравнений

- ( a V )(A(r ,t )+ B(r)) = АА»

.

Приложение B. Достаточные условия корректности редуцированной системы интегро-дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему из семи интегро-дифференциальных уравнений (9), (12), (13). Как было указано выше, выражение (13) можно дифференцировать по времени еще раз и получать новые соотношения и соответственно получать новые уравнения помимо (9), (12), (13). Найдем условия, при которых из этих редуцированных уравнений будут прямо следовать уравнения Эйлера (1)–(3).

Продифференцируем два раза уравнение (9) по лагранжеву времени t :

^(t,^,fl + J^{д (x,}Л^,Jl + ^{д ( x,}У^, % ) = ₀

д ( x o ,y o ,z o)     д (x o , y o , z o)     д (x o ,y o ,z o )       ,

^д( Й ,У^{,2 )} + ^{д (x} , 9 ^,z ) + ^{д ( x,}У^, Й ) +

д(x o ,y o ,z o )    д ( x o ,y o , ^ o)     д(x o ,y o ,z o )

8ж ду            дх    8г            8у 8г

+ 2 ⁽ at, at , ^z) + 2 ^{( 9 t} ,^y, t) ) + 2 ^(x, ^{9 t}, ^9t ) = 0 д (x o ,y o ,z o )     д(x o ,У o ,z o )     д ( x o ,У o ,z o)      ^.

Продифференцируем выражения (14)-(16) по лагранжеву времени t :

з_ /др\ = д(»-!,y,z) + д(р,ду,z) + д(p,y,а=) дt дx )    д(xo,yo,zo)   д(xo,yo,zo)   д(xo,yo,zo), д / др\ = д(t ,P,z) + д(x, 9р ,z) + д(x,P, §) дt дy      д(xo,yo,zo)    д(xo,yo,zo)    д(xo,yo,zo), д /др\ = д(%,y,P) + д(x,ду,р) + д(x,y,6£) дt дz )    д(xo,yo,zo)    д(xo,yo,zo)    д(xo,yo,zo).

Продифференцируем уравнение (13) по лагранжеву времени t :

—

at < ^{У Р} > = ^— 4П/ Urfro^)

—

^{д 2} _r‘ ‘ .Л _x ⁽^ o ⁽ ro) ^oHro,^ ,3 ‘ st ^{2 ( o} , )         | r(ro ,t ) — r ‘ (ro ,t ) | 3 ^{rf o}

—

—

2 Г /а ,    ,

4П/ U^{г (гМ)}

—

S ^г ‘ (^г^)) ^X

( ш о( ^г 0) • У о)^r ‘ (r0 ^,t )

кС^)

^— r ‘ ⁽ ro ^{,t) | 3}

d ³^ +

3 Г ( д , ⁺ 2 лУ (at ^{r ( r o} ,^t)

—

-r’fr’     X (^tIrtll^УtHrt21        _ r‘fr‘    X atr (ro,t)J X |r(ro,t) — r‘(ro,t)|5 (r(r t)    r (ro,t)) X

д

^X (at^{гМ —}

itr‘(4^) ^

—

^— 4 n j ^{( r (} ro ^{,t) — r} ‘ ⁽ ro ^{,t)) X}

( ^ o( ^r o)-Vo)j 2 ^r ‘ ( ^r o ₁ ^t )

^{|r (} ro ^{,t) —} r ‘ ⁽ ro ^{,t) | 3}

d ³^ +

+2 П j ^{( r (} ro ^{,t) —} r ‘ ⁽ ro ^{,t)) x}

Wr)) •^y 0⁾ |Г’^)

^{|r ( r} o ^{,t) — r} ‘ ⁽ ro ^{,t) | 5}

^{( r (} ro ^{,t) —} r ‘ ⁽ ro ^{,t)) X}

д

^X (at ^{г ( г} °^ ^—

^r ‘ (ro ^,t)) ^{rf 3} ro+

+4 П j ^{( r (} ro ^{,t) —} r ‘ ⁽ ro ^{,t)) x}

X

( ^ tktllУtH ^r t ^, t. Hro,^ ^— r ‘ ⁽ ro ^{,t) | 5}

—

Hr o,^ ^—

д ²

^{r М)} • (at 2 r^

—

12 1%^ ^{rf 3} ro +

+ 4 П j^№t’ ^{— —}

r ‘ ⁽ ro ^{,t)) X} (

⁽^ o ⁽ ro ⁾ •^y o ^{) r} ‘ ⁽ ro ^,t)

Hr o,^

^— r ‘ ⁽ ro ^{,t) | 5}

д

( at r^ ) ^—

dt ^r ‘ ⁽ ro ^,t)

d ³^

—

^— И/ ^{( r (} ro ^{,t) — r} ‘ ⁽ ro ^{,t)) X}

X

⁽^ o ⁽ ro ⁾ •^y o ^{) r} ‘ ⁽ ro ^,t)

Hr o,^

^— r ‘ ⁽ ro ^{,t) | 7}

((r(rt ^,i ) ^—

rH^ • (at ^{r (} ro ^,t)

—

dt '^

,

где y o = (d/dx' o ,d/dy' o , д/д^ ) .

В итоге мы имеем переопределенную систему из 15-ти интегро-дифференциальных уравнений в объеме (9), (12), (13), (53), (54) и (58) от 11-ти неизвестных функций r(r_o ,t ) , Р (r_o ,t ) , дР (r_o ,t ) /dt , д r(r_o ,t ) /dt и д ² r(r_o ,t ) /dt ² , из которой можно составить решение исходной системы уравнений (1)–(3). Пусть система уравнений (9), (12), (13), (53), (54) и (58) допускает некоторое параметрическое семейство решений r(r_o ,t ) , Р (r_o ,t ) , дР (r₀ ,t ) /дt , д r(r₀ ,t ) /дt и д ² r(r_o ,t ) /дt ² , где t Е [0 , Т ] , Т >  0 — параметр такой, что r(r_o ,t ) = r_o , r(r_o ,t ) , Р (r_o ,t ) , др (r₀ ,t ) /дt , д r(r₀ ,t ) /дt и д ² r(r₀ ,t ) /дt ² просто как обозначения неизвестных функций, которые просто зависят от параметра t и r_o . Тогда из (11) и (12) следует, что д r(r_o , t ) /дt | _^ =₀ = u_o(r_o) . Продифференцируем уравнение (9) по t и вычтем его почленно из (53). Имеем

S( ^r i₂jy₁f) ₊ ^d(x ₁ b y i ₁z) ₊ ^д (ЗЕУ, 5 _Z 1) = ₀ д ( x o ,^ o ,^ o) д ( x o ,^ o ,^ o) д ( x o ,^ o ,^ o) ,

где	5r i = |t (ro , t ) - d^t [r(ro , t )] , 5 Г 1 = ( 5^ 1 , 5 У 1 , 5 Z 1) .                       (60)

Аналогично продифференцируем уравнение (53) по t и вычтем его почленно из (54).

Находим, что	d ( 5 X 2 ,y,z ) + d ( ж, 5^ 2 , г ) + d ( ж,^, 5 Z 2) + д ( ж o ,^ o ,ж o) d ( ж o ,^ o , ^ o)    d^ o ,^ o ,2 o) + а ( 6Я, |,г ) + d ( S„ i ,y, 2| ) + 9 ( ж, 5, 1 , § ) =0 d^ o ,^ o ,2 o)     d ( ж o ,^ o ,ж o)     d ( ж o ,^ o ,ж o)      , + a ( g, 5 , 1 ,г ) + 9 ( a^ ,y, 5, 1) + 9 ( ж, %, 5 , 1) =0                   (61) d^ o ,^ o ,2 o)     d ( ж o ,^ o ,ж o)     d ( ж o ,^ o ,ж o)      ,
где	d 2r,            d Гd r,      "1 5 t2 = dt 2 ( ro ,t) - dt dt ( ro ,t) , 5-r 2 = ( 5 ж 2 , 5 , 2 , 5 , 2) .                  (62)

Аналогично продифференцируем уравнения (12) по переменной t и вычтем их почленно из (13). Имеем

	-V P - s dt	1 «*|=-,	(63)
5 r 2 = "	-     Л5Г 1 - 5^ ’ 1) х 4 п	(^ o ( ro ) • V o ) r ‘ ( ro ,t) , 3 r ‘ -|r ( r o ,t) - r ‘ ( ro ,t) | 3     o

^- 4 П у(r(ro ^,t ) ^- r ‘ (r0 ^,t )) х

( ш о( ^г 0) • V o) 5 _r ‘i    . . +

Hro,^ ^- r ‘ (r0 ^{,t) | 3    0}

+ 4П /(r(r0,t) - r’^)) х ((г(г^ -r^^ r r,^ - r’^) • 5 - m) ^ro, где

′

5 _T ‘ 1 = ^ (r0 ,t ) -     [r ‘ (r0 ,t )] .

Аналогично продифференцируем уравнения (13) по t и вычтем их почленно из (58). Имеем

<9               <9

^- S ^{( V P ) +} s ^{[ V P]} =

1 4 п

У ( 5, 2 - 5^ )

х

⁽^ o ^{( r} 0) • ^HrA ) , 3/

Hr oA - ^r ‘ ^{( r} 0 ^{,t) | 3    0}

1 f ( d ,     , d . A

^- 4 П/ U ^{гМ -} at r^)

⁽^ o ^{( r} 0) •V o A- 1    , 3 _r ‘ ,

HroA ^{- r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t) | 3}     0

3 f (d ,     . d .. . A Ao^ ) • V _o)r ‘ (r0 ,t )

⁺ 4П / \Jt ^{r ( r o} , ‘ > ^- at ^r r ⁴⁾) ^х | r(ro ,t ) - r ‘ (r₀ ,t ) | 5 ^{( г ( г} ° ,^{t) -r 1} ' )'" ^. 1 -• ! "' ro ^-

-

4 П /^{(5 r 1}

-

5, ’ i) х

( ^ o(rQ) •V o) d r ‘ (rj, ,t )

^{|r ( r} 0 ^{,t) - r} ‘ ^{( r} 0 ^{,t) | 3       0}

4п УHro,^ ^- r ‘ ^{( r} 0 ^{,t)) х}

⁽^ 0 ^{( r} 0) • ^V oX ‘ 2    , 3 _r ‘ ,

^{|r ( r} o ^{,t) - r} ‘ ⁽ ro ^{,t) | 3     o}

I 3  f (r(r P r'(r' P (Ш0(Г0! • ^0)8tr (ro-f)             y'(y' +\\          5 y3r'

+ 4nJ (r(ro-f) - r (ro-f)) X |r(r0 t) - r'(r' t)|5 (r(ro-f) - r (ro-f)) • ( ■■ - 5r‘i)d r0

I ³ ( S Vz ⁽^^{o( r} o ⁾ • ^ ^{o) r ( r} o ^-t)/ /         y'(y' + И ( ^P p ^P y'(y'      ^3 _r' j3 I

+ 4П / (^-^‘^ |r(ro,f) - r'(r0,f)|5 (r(ro-t)-r (r°-t))     r(r0,f) — dfr (r0,f)J d r0d r0

3                                 (m0(r‘) • Vo)5r‘1                             PP

⁺ 4 П J ^{( r ( r o} '^{f) -r r} ■' r r ■ r r , ■   ^{( r ( r o} '^{f) -r ( r} 0 '^f)) Vat ^{r ( r o} '^f) - at ^{r ( r} o -^f)) ^d ro ⁺

। ³ .                 ‘ '          ( w ol rj • ^ o ⁾dt ^{r ( r} 0 ^-t)

+ 4nJ (r(ro-t) - r (r0,f)) X   |r(r0 f) - r'(r‘ f)|5  (r(r0,f) - r (r0-f)) • (^ - 5r‘2)d ro

I ³           Л r'(V ЛVz⁽^^{o ( r o )} • ^^{o )} dt ^r ( r ⁰’^/^    5 ) ( ^{д            д} f)^ 3³3³у'

+ 4П] ^{( r ( r o -t) -r ( r o -t))x}! r(r0:7J - r ‘ (r o;7 jr '    '     • (at ^{r ( r o -t)} - at ^{r ( r o -t)}J ^d r^{o d} r ⁰ -

15                 ( ^ o(r ‘ ) •V o)r ‘                a a

- 4nJ (r - r) x(    |r - r'|7    ((r - r) • (atr - atr Л((г -r ? -? d ro- где

5 _r ‘ 2 —

at^{2 ( r 0 -t)}    .st [at ⁽ r ^{0 -t)}]

Здесь

- ft^{(v p ) +} ft ^{[v p}\

-

/

⎝

8 ( b _P ,y,z )    ,    8 ⁽ P ^,b y i ^, z ⁾   .    d ( P,y, b _z i )   \

8 ( x o ,y o ,z o ) "^r 8 ( x o ,y o ,z o )      d ( x o ,y o ,z o )

8 ( b _x ,P,P )    .     S ( x, 5 p ,z )    .    8 ( x,P, b _z i )

d ( x o ,y o ,z o ) "^r d ( x o ,y o ,z o )      d ( x o ,y o ,z o )

8 ( b _x i ,y,P )   .    d(x,6 y i ,P' )  .     8 ( x,y, b p )

8 ( x o ,y o ,z o )      8 ( x o ,y o ,z o )      d ( x o ,y o ,z o) )

ЭР d bP — ^(ro-t) - -[P(ro,t)].

Пусть на некоторой поверхности S в пространстве R ³ известны величины r(r_o -t ) - P (r_o -t ) - PP (r_o ’t ) /at’a r(r_o ,t ) /at и a ² r(r_o -t ) /at ² , которые согласуются следующим образом:

a r at ( r o -t) - a 2r	P.. [ r ( r o -t)] — 0- ro G S-t G [0-^]-a a r	(68)
at 2 ( r o -t) -	Pt[at( r o -t)] — 0- ro G S-t G [0-T]-	(69)
PP r    X at ( r o ’t) -	- [ P (ro -t )] —0 - ro G S-t G [0 -T ] . Pt	(70)

Пусть мы имеем решение системы уравнений (9), (12), (13), (53), (54) и (58) от неизвестных функций r(r_o -1 ) , P (r_o -1 ) , PP (r_o - t ) /at , 8 r(r_o - t)/at и 8 ² r(r_o , t ) /at ² , которые заданы на поверхности S и согласуются по условиям (68)-(70). Пусть на этом решении линейная система (59), (61), (64), (65) из 8 интегро-дифференциальных уравнений и 7 неизвестных 5 _{г 1} , 5 _{г 2} , 5 _Р с условием на поверхности S

5^ ' 1 — 0 - 5 _Г 2 — 0 - 5 _р — 0 - ro G S- t G [0 -Т ]

имеет только нулевое решение в пространстве R3. Тогда согласно самому способу получения системы уравнений (59), (61), (64), (65) для решения r(ro-t)-P(r0-t)-PP(ro-t)/at- дr(r0,t)/дt и д2r(r0,t)/дt2 выполняются соотношения (68)-(70), но во всем пространстве R3 . Кроме того, из уравнения (63) следует, что

• ⁰ = —^{V P} — йЫ = -^ -   ^{14             (72)}

Система уравнений (72) с учетом уравнений (9), (14)–(16) является системой уравнений Эйлера в переменных Лагранжа. Скорость и давление тогда будут определяться по формулам u = д r /дt (r₀(r , t ) , t ) , Р = Р (r₀(r , t),t).

Следует отметить, что величины r(r₀ ,t ) , Р (r₀ ,t ) , дР (r₀ ,t ) /дt , д r(r₀ ,t ) /dt и д ² r(r₀ ,t ) /дt ² не могут быть заданы на поверхности S произвольно. Они фиксируются заранее из начального распределения r(r₀ ,t ) | _t =₀ = r₀ , д r(r₀ , t ) /дt | _^ =₀ = u₀(r₀) во всем пространстве R ³ . Эти данные могут быть найдены, например, из независимых экспериментальных измерений.