Эргодическая теорема Блума - Хансона в банаховых решетках последовательностей
Автор: Чилин Владимир Иванович, Азизов Азизхон Нодирхон Угли
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 3 т.19, 2017 года.
Бесплатный доступ
Хорошо известно, что линейное сжатие T в гильбертовом пространстве обладает так называемым свойством Блума - Хансона: слабая сходимость степеней Tn эквивалентна сильной сходимости средних Чезаро (1/m+1)∑mn=0Tkn для любой строго возрастающей последовательности натуральных чисел {kn}. Аналогичное свойство верно и для линейных сжатий в lp-пространствах (1≤p1 или для положительных линейных сжатий в Lp-пространствах. Мы доказываем, что это свойство Блума - Хансона справедливо и для любых линейных сжатий в сепарабельных p-выпуклых банаховых решетках последовательностей.
Банахова идеальная решетка, p-выпуклость, линейное сжатие, эргодическая теорема
Короткий адрес: https://sciup.org/14318601
IDR: 14318601 | DOI: 10.23671/VNC.2017.3.7107
Текст научной статьи Эргодическая теорема Блума - Хансона в банаховых решетках последовательностей
T пространстве X средние Чезаро An(T) = П-у РП=д Tk сходятся в X в сильной операторной топологии (см., например, [8, гл. 8, § 5]). В частности, для любого сохраняющего меру отображения т : (П, F, Д) ^ (П, F,Д), где (П, F, Д) — измеримое пространство с полной ст-коненной мерой д. средние Чезаро An(T) сходятся сильно в Lp := Lp(Q, F,Д). 1 < p < то (здесь (Tf )(ш) = f (т(ш)). В слунгie. когда, д — вероятностная мера нт — перемешивающее преобразование, эргодическая теорема, Блума, — Хансона [6] утверждает, что для любого f G Lp. 1 6 p < то. имеет место (•ходимость n + 1
n
E( T kj f )(ш) - j fdp
^ 0
p
для всех строго возрастающих последовательностей kg < ki < ... натуральных чисел. В частности, отсюда следует, что последовательность {T n(f )}П=д сходится слабо в Lp для всех f G Lp [10, гл. 8, утверждение 1.2].
В связи с этим, естественно, возникает задача, о выделении класса, банаховых про странств X. в которых слабая сходнаюсть последовательности {T п (х) } П=д при действии линейного сжатия T в X влечет сильную сходимость средних Чезаро n+i Pn=g Tkj для каждой подпоследовательности {Tkj }°=g последовательности {T п}П=д.
Обозначим через C(X) множество всех линейных сжатий в банаховом пространстве (X, || • kx), а через N — множество всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел. Говорят, что банахово пространство X имеет свойство Блума — Хансона
относительно подмножества A С C(X), если для любых T G A , x G X, либо последовательность {Tn(х)}П=0 не сходится слабо, либо слабая сходимость этой последовательности к элементу xo G X влечет сходимость || n^y Pn=0 T kj (x) - xo|x H 0.
Следует отметить, что согласно [10, гл. 8, утверждение 1.2] условие n + 1
X Tkj (x) - xo j=0
н 0 (V{kj }^=o G N, xo G X)
X всегда влечет слабую сходимость последовательности {Tn(x)}n=o- При этом с помощью аргументов из доказательства импликации (ii) н (i) в теореме 1.1 работы [1], устанавливается, что слабым пределом последовательности {Tnx}^=o обязательно является элемент xg.
Говорят, что банахово пространство X имеет условное свойство Блума — Хансона относительно подмножества A С C(X), если для любого T G A слабая сходимость последовательности {T n(x)}n=g при всех x G X имеет место тогда и только тогда, когда последовательность n+ду Pj=o Tkj ( x ) сходится по норме в X для каждого x G X. Яс но, что свойство Блума — Хансона относительно A, вообще говоря, сильнее условного свойства Блума — Хансона относительно A.
Для гильбертова пространства H свойство Блума — Xансона относительно C (H ) независимо получено в работах [1, 12, 14]. Кроме того, в [1] установлено условное свойство Блума — Хансона для пространства L1 относительно C(Li), а в работе [3] — для пространств Lp, 1 < p < то, относительно множества A всех положительных линейных сжатий в Lp. В то же время, в работе [2] приводеиы примеры банаховых пространств X. которые не обладают свойством Блума — Хансона относительно C(X).
В работе [4] доказано, что для любого положительного линейного сжатия T про странства Lp. 1 < p < то , 0 6 f G Lp, слабая сходимость последовательности {Tn(f ) }n=o влечет сходимость
n
T Tk(f )-f, н0
j=o Lp
(V{kj ' G N, fo G Lp).
Аналогичное свойство положительных линейных сжатий в функциональных пространствах Орлича с равномерно гладкой нормой Орлича получено в [16].
Наличие свойства Блума — Хансона в пространствах Lp, 1 6 p < то, относительно C(Lp) в случае произвольных пространств с мерой до сих пор не установлено. Известен только следующий результат В. Мюллера и Ю. Тамилова [17, теорема 2.5].
Теорема 1.1. Пусть T — линейное сжатие на банаховом пространстве последовательностей lp, 1 6 p < то. Тогда для дюбого элемента x G lp Поспеловавольность {T n(x)} слабо сходится к xo G lp в том и только в том случае, когда || n-y Pn=o Tkj (x) — xo ||p H 0 для всех {kj }j=o G N.
Отметим также недавнюю работу [И], где с помощью свойства асимптотической гладкости выделяется класс действительных симметричных пространств последовательностей, для которых сохраняется вариант теоремы 1.1.
Основная цель настоящей работы состоит в получении эргодической теоремы Блума — Хансона (варианта теоремы 1.1) для действительных (комплексных) p-выпуклых сепарабельных идеальных банаховых решеток последовательностей). Доказательство этой теоремы существенно использует свойство p-выпуклости, что отличает наш подход от методов работы [И].
-
2. Предварительные сведения
Пусть s(K) — линейное пространство всех поелелователыюетей комплексных (K = C) или действительных (K = R) чисел, E — бесконечномерное идеальное линейное подпро странство в s(K) (свойство идеалыюети для E означает, что из условий x G E. y G s(K) ii |y| 6 |x| следует вклточепие y G EV
Носителем элемента x = { £п }П=1 G E называют п<эдмиожество suppx = { n G N : £n = 0} во mho жестве N всех натуральных чисел. Поскольку dim E = то, то supp E = Sx e E supp x есть бесконечное подмножество в N. ii поэтому, заменяя N ii a supp E. можно считать, что supp E = N.
Обозначим через cqq линейное подиространство в s(K), состоящее из финитных последовательностей вида x = {ф,£2, - - -, £n(x), 0, 0,...}. Из равенства supp E = N следует, что для любого k G N существ}-ет такое x = { £п }П=1 G E. что А = | £ k| = 0. Поэтому для орта ek = {0,..., 0,1, 0,...}, где единитщ стоит на k-ом месте, верно неравенство ek 6 у|x| G E. что влечет включение ek G E. Это означает, что cqq С E.
Пусть || • || e — банахова моно тонная норма на E. Последнее означает, что из условий x,y G Ei i | x | 6 | y | следует, что | x |E 6 | y |E- В этом елунае пару ( E, || • |Е) называют банаховым идеальным пространством (БИП) в s(K) [9, гл. 4, § 3]. При этом в силу равенства supp E = N, БИП (E, | • |е ) является фундаментальным идеальным пространством [9, гл. 4, §3].
Говорят, что БИП (E, | • |е ) имеет порядково непрерывную норму, если из условий
0 6 x(n) ^ 0, x(n) G E, n G N, следует, что |x(n) |e ^ 0. Известно [9, гл. 4, §3, теорема 3], что идеальное банахово фундаментальное пространство (E, | • |е) в s(K) сепарабельно тогда и только тогда, когда норма | • |е порядково непрерывна.
Банахова, решетка ( E, | • | е ) называстся р-сыну? люй (1 6 р < то), если существует такая константа M > 0, что для любого конечного набора элементов {xi}n=1 С E верно следующее неравенство:
1 np |xi|p i=1
1 n p
6 M kx i k pE
E i =1
Mp етва E и обозначается через: M(p) (E).
Каждая банахова решетка E является 1-выпуклой, при этом M(1) (E) = 1. Кроме того, р-выпук.тая банахова, решетка, всегда, удовлетворяет верхней р-опенке. т. е. суще ствует такая константа M > 0, что для любого конечного набора попарно дизъюнктных элементов {xi}n=1 С E верно неравенство
n
X xi i=1
.
-
3. Теорема Блума — Хансона в сепарабельных банаховых идеальных пространствах последовательностей
T действующего в БИП (E, || • ||e ) С s(K). сходимость ||^+1 pn=o Tkjx — xo||E Щ 0 для всех {kj }j=o € N и некоторого xo G E всегда влечет слабую сходимость последовательности {T n(x)} в E к элементу xo- Следующая теорема устанавливает свойство Блума — Хансона для каждого сепарабельного p-выпуклого (р > 1) БИП E С s(K).
Теорема 3.1. Пусть (E, || • ||е) — бесконечномерное p-выпуклое сепарабельное банахово идеальное подпространство в s(K) с конетантой р-выпуклости M(p)(E) = 1, р > 1. Тогда для любого линейного сжатия T : E щ E из слабой сходимости в (E, || • || e) последовательности {Tn(x)} к эле.менту xo G E следует сходимость n+т X Tkj(x) - xo j=o
щ 0
E
для всех {kj }j=o G N.
C Ес ли T n(x) Щ xo елас5o в E. to T n+1(x) = T (T n(x)) Щ T (xo) слабо и поэтому T(xo) = xo- В случае xo = 0 заменяем элемент xo нa (x — xo), и будем считать, не ограничивая общности, что Tn(x) щ 0 слабо. Таким образом, для доказательства утверждения теоремы следует установить, что слабая сходимость Tn(x) щ 0 в E влечет сходимость n + 1
n
Е Tkj (x) j=o щ 0
E
при n щ то для любой последовательности {kj }j=o G N.
Поскольку T сжатгie. то ^T n+1 (x)|e 6 IT n(x)|E. ii поэтовiy предел limn^^ IT n(x)|E существует. Если этот предел равен нулю, то утверждение теоремы 3.1 очевидно. Предположим. что этот предел равен a = 0. Заменяя, если ие<эбходимо. элемент x на эл<'мент X. можно считать, что limn^^ ITn (x) | e = 1.
Зафиксируем 5 > 0 и выберем натуральное число t так, чтобы выполнялось нера-1 -1л венство tp < 2. Поскольку 1 + 2ps < 2p(s + 1) для всех s G N, то существует такое Е G (0,1). что
1,1,.
((1 + е)р + 2ps) p < 2(s + 1)p — (s + 1)Е(1)
для всех s = 1,..., t — 1.
Согласно равенству limn ,^ ^T n(x)|E = 1. сутпествэ-ет такое k G N. что верно неравенство
TTk(x)|e < 1+ е.(2)
Рассмотрим оператор проектирования Pr в E на линейную оболочку Lin{e1,..., er} ортов e1, e2,..., er G E. t. e.
r
Pr : ' ) = {€i,...,€r, 0, 0,...} = E Cnen .
n =1
Обозначая через I тождественный оператор в E, в силу порядковой непрерывности нормы | • | е имеем, что |(I — Pr )T k(x)|E щ 0 пр и r щ то. Следовательно, существует такое r G N. что верно неравенство
||(I — Pr)Tk (x) | e <е. (3)
Так как Pr (E) = Lin { e1,..., e r} — конечномерное лине!"Гное подпространство в E и Tk+j (x) ^ 0 слабс) при j ^ то. то пандетея такое d Е N. для которого
\PrTk+j(x)^E <£(4)
при веек j > d.
Отмстим, что из неравенств ||Pr( x )|E 6 k x k E 11 k( I — Pr )( x )|E 6 k x k E следует, что
IPHeme 6 1, ||I - PrHeme 6 1.
Покажем теперь, что \\Tm1 (x) + ... + Tms(x)||e 6 2s1,(6)
где k 6 m i < m2 < ... < ms. s 6 tn m i+i - mi > d Д.ля веек i = 1,..., s — 1.
Докажем неравенство (6), используя индукцию по s. Для s = 1 неравенство (6) верно в силу выбора, числа. £. Предположим, что неравенство (6) верно для s < t ii последова тельность m1,m2, ..., ms+1 удовлетворяет указанным выше требованиям. Тогда
\ Tm1 (x) + ... + T ms+1 (x) H E = \ Tm1 -k (T k (x) + T m2-m1 +k (x)
+ ... + Tms+1-m1+k (x)) \ E 6 TTkx + Tm2-mi+k (x) + ... + Tms+1-m1+k (x) 11 E
6 \\ PrTkx + (I — Pr )(T m2-m1 +k(x) + ... + Tms+1-m1+k (x)) \\E
+11 (I — Pr )Tk(x) \ \ E + \ \ Pr (T m2-m1+k (x) + ... + Tms+1-m1+k (x)) \ \ E.
В силу неравенств (3) и (4) имеем, что
\\ (I — Pr)Tk(x) \\E + \\Pr (Tm2-m1 +k (x) + ... + T ms+1-m1+k (x)) \\E < (s + 1)£.
Поскольку, банахова решетка E является p-выпуклой с константой p-выпуклости M(p) (E) = 1. то E удовлетворяет верхней p-оценке с той же константой, т. е.
1 n np kxikpE i=1
xi 6
i=1 E в случае, когда, элементы {xi}n=1 С E попарно дизъюнктны.
Так как элементы ( I — P r)( T m2-m1+k( x ) + ... + T m=+1-m1+k ( x )) 1i P r T k( x ) попарно дизъюнктны, то, используя предположение индукции (6) и неравенства. (2), (5), получим следующую оценку:
\\ PrTk(x) + (I — Pr) (Tm2-m1+k (x) + ... + Tm s+ 1-m1+k(x)) \\ E
6 (\\PrTk(x) \\E + \\ (I — Pr) (Tm2-m1 +k(x) + ... + T ms+1-m1+k (x)) \\E) F 6 ((1 + e)p + 2ps) 1.
Следовательно, в силу неравенства. (1) имеем, что
\\ Tm1 (x) + ... + Tm s+1 (x) \\ E 6 ((1 + e)p + 2ps)1 + (s + 1)£< 2(s + 1) p .
Таким образом, неравенство (6) верно для каждого s 6 t-
Пусть {ni}i=0 — произвольная строго возрастающая последовательность натураль ных чисел, ii пусть N > k — достаточно большое натуральное число. Тогда N = k + mt + r.
где 0 6 r < t, и m есть натуральное число, для которого m > d. Используя доказанное неравенство (6), получим, что
N
Е Tnj (x)
j=0
E
k+r
E Tnj (x)
j=0
m
Список литературы Эргодическая теорема Блума - Хансона в банаховых решетках последовательностей
- Akcoglu M., Sucheston L. On operator convergence in Hilbert space and in Lebesgue space//Period. Math. Hungar. 1972. Vol. 2. P. 235-244.
- Akcoglu M. A., Huneke J. P. and Rost H. A couterexample to Blum-Hanson theorem in general spaces//Pacific J. of Math. 1974. Vol. 50. P. 305-308.
- Akcoglu M. A., Sucheston L. Weak convergence of positive contractions implies strong convergence of averages//Zeitschrift feur Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 1975. Vol. 32. P. 139-145.
- Bellow A. An $L_p$-inequality with application to ergodic theory//Hous. J. Math. 1975. Vol. 1, \No 1. P. 153-159.
- Bennet C., Sharpley R. Interpolation of Operators. N.Y.: Acad. Press, Inc., 1988.
- Blum J. R., Hanson D. L. On the mean ergodic theorem for subsequences//Bull. Amer. Math. Soc. 1960. Vol. 66. P. 308-311.
- Creekmore J. Type and cotype in Lorentz of $L_{p,q$ spaces//Indag. Math. 1981. Vol. 43. P. 145-152.
- Dunford N., Schwartz J. T. Linear Operators. Part I: General Theory. Wiley, 1988.
- Kantorovich L. V., Akilov G. P. Functional Analysis. Oxford-N.Y. etc: Pergamon Press, 1982.
- Krengel U. Ergodic Theorems. De Gruyter Stud. Math. Vol. 6. Walter de Gruyter. Berlin-N.Y., 1985.
- Lefevre P., Matheron E. and Primot A. Smoothness, asymptotic smoothness and the Blum-Hanson property//Israel J. Math. 2016. Vol. 211. P. 271-309.
- Lin M. Mixing for Markov operators//Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1971. Vol. 19. P. 231-242.
- Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Berlin-N.Y.: Springer-Verlag, 1996.
- Jones L. K., Kuftinec V. A note on the Blum-Hanson theorem//Proc. Amer. Math. Soc. 1970. Vol. 30. P. 202-203.
- Hao M. C., Kami'nska A. and Tomczak-Jaegermann N. Orlicz spaces with convexity or concavity constant one//J. Math. Anal. Appl. 2006. Vol. 320. P. 303-321.
- Millet A. Sur le theoreme en moyenne d’Akcoglu-Sucheston//Mathematische Zeitschrift. 1980. Vol. 172. P. 213-237.
- Muller V., Tomilov Y. Quasisimilarity of power bounded operators and Blum-Hanson property//J. Funct. Anal. 2007. Vol. 246. P. 385-399.