Эргодическая теорема Блума - Хансона в банаховых решетках последовательностей

T пространстве X средние Чезаро An(T) = П-у РП=д Tk сходятся в X в сильной операторной топологии (см., например, [8, гл. 8, § 5]). В частности, для любого сохраняющего меру отображения т : (П, F, Д) ^ (П, F,Д), где (П, F, Д) — измеримое пространство с полной ст-коненной мерой д. средние Чезаро An(T) сходятся сильно в Lp := Lp(Q, F,Д). 1 < p < то (здесь (Tf )(ш) = f (т(ш)). В слунгie. когда, д — вероятностная мера нт — перемешивающее преобразование, эргодическая теорема, Блума, — Хансона [6] утверждает, что для любого f G Lp. 1 6 p < то. имеет место (•ходимость n + 1

n

E( T kj f )(ш) - j fdp

^ 0

p

для всех строго возрастающих последовательностей kg < ki < ... натуральных чисел. В частности, отсюда следует, что последовательность {T n(f )}П=д сходится слабо в Lp для всех f G Lp [10, гл. 8, утверждение 1.2].

В связи с этим, естественно, возникает задача, о выделении класса, банаховых про странств X. в которых слабая сходнаюсть последовательности {T ^п (х) } П=д при действии линейного сжатия T в X влечет сильную сходимость средних Чезаро n+i Pn=g T^kj для каждой подпоследовательности {T^kj }°=g последовательности {T ^п}П=д.

Обозначим через C(X) множество всех линейных сжатий в банаховом пространстве (X, || • kx), а через N — множество всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел. Говорят, что банахово пространство X имеет свойство Блума — Хансона

относительно подмножества A С C(X), если для любых T G A , x G X, либо последовательность {Tn(х)}П=0 не сходится слабо, либо слабая сходимость этой последовательности к элементу xo G X влечет сходимость || n^y Pn=0 T kj (x) - xo|x H 0.

Следует отметить, что согласно [10, гл. 8, утверждение 1.2] условие n + 1

X Tkj (x) - xo j=0

н 0    (V{kj }^=_o G N, xo G X)

X всегда влечет слабую сходимость последовательности {Tn(x)}n=o- При этом с помощью аргументов из доказательства импликации (ii) н (i) в теореме 1.1 работы [1], устанавливается, что слабым пределом последовательности {Tnx}^=o обязательно является элемент xg.

Говорят, что банахово пространство X имеет условное свойство Блума — Хансона относительно подмножества A С C(X), если для любого T G A слабая сходимость последовательности {T ⁿ(x)}n=g при всех x G X имеет место тогда и только тогда, когда последовательность n+ду Pj=o Tkj ( x ) сходится по норме в X для каждого x G X. Яс но, что свойство Блума — Хансона относительно A, вообще говоря, сильнее условного свойства Блума — Хансона относительно A.

Для гильбертова пространства H свойство Блума — Xансона относительно C (H ) независимо получено в работах [1, 12, 14]. Кроме того, в [1] установлено условное свойство Блума — Хансона для пространства L1 относительно C(Li), а в работе [3] — для пространств Lp, 1 < p <  то, относительно множества A всех положительных линейных сжатий в Lp. В то же время, в работе [2] приводеиы примеры банаховых пространств X. которые не обладают свойством Блума — Хансона относительно C(X).

В работе [4] доказано, что для любого положительного линейного сжатия T про странства Lp. 1 < p <  то , 0 6 f G Lp, слабая сходимость последовательности {Tn(f ) }n=o влечет сходимость

n

T Tk(f )-f,   н⁰

j=o              Lp

(V{kj ' G N, fo G Lp).

Аналогичное свойство положительных линейных сжатий в функциональных пространствах Орлича с равномерно гладкой нормой Орлича получено в [16].

Наличие свойства Блума — Хансона в пространствах Lp, 1 6 p <  то, относительно C(Lp) в случае произвольных пространств с мерой до сих пор не установлено. Известен только следующий результат В. Мюллера и Ю. Тамилова [17, теорема 2.5].

Теорема 1.1. Пусть T — линейное сжатие на банаховом пространстве последовательностей lp, 1 6 p < то. Тогда для дюбого элемента x G lp Поспеловавольность {T ⁿ(x)} слабо сходится к xo G lp в том и только в том случае, когда || n-y Pn=o T^kj (x) — xo ||_p H 0 для всех {kj }j=_o G N.

Отметим также недавнюю работу [И], где с помощью свойства асимптотической гладкости выделяется класс действительных симметричных пространств последовательностей, для которых сохраняется вариант теоремы 1.1.

Основная цель настоящей работы состоит в получении эргодической теоремы Блума — Хансона (варианта теоремы 1.1) для действительных (комплексных) p-выпуклых сепарабельных идеальных банаховых решеток последовательностей). Доказательство этой теоремы существенно использует свойство p-выпуклости, что отличает наш подход от методов работы [И].

• 2.    Предварительные сведения

Пусть s(K) — линейное пространство всех поелелователыюетей комплексных (K = C) или действительных (K = R) чисел, E — бесконечномерное идеальное линейное подпро странство в s(K) (свойство идеалыюети для E означает, что из условий x G E. y G s(K) ii |y| 6 |x| следует вклточепие y G EV

Носителем элемента x = { £_п }П=1 G E называют п<эдмиожество suppx = { n G N : £n = 0} во mho жестве N всех натуральных чисел. Поскольку dim E = то, то supp E = Sx e E supp x есть бесконечное подмножество в N. ii поэтому, заменяя N ii a supp E. можно считать, что supp E = N.

Обозначим через cqq линейное подиространство в s(K), состоящее из финитных последовательностей вида x = {ф,£₂, - - -, £n(_x), 0, 0,...}. Из равенства supp E = N следует, что для любого k G N существ}-ет такое x = { £_п }П=1 G E. что А = | £ k| = 0. Поэтому для орта ek = {0,..., 0,1, 0,...}, где единитщ стоит на k-ом месте, верно неравенство ek 6 у|x| G E. что влечет включение ek G E. Это означает, что cqq С E.

Пусть || • || e — банахова моно тонная норма на E. Последнее означает, что из условий x,y G Ei i | x | 6 | y | следует, что | x |_E 6 | y |_E- В этом елунае пару ( E, || • |_Е) называют банаховым идеальным пространством (БИП) в s(K) [9, гл. 4, § 3]. При этом в силу равенства supp E = N, БИП (E, | • |е ) является фундаментальным идеальным пространством [9, гл. 4, §3].

Говорят, что БИП (E, | • |е ) имеет порядково непрерывную норму, если из условий

0 6 x(n) ^ 0, x(n) G E, n G N, следует, что |x(n) |e ^ 0. Известно [9, гл. 4, §3, теорема 3], что идеальное банахово фундаментальное пространство (E, | • |е) в s(K) сепарабельно тогда и только тогда, когда норма | • |е порядково непрерывна.

Банахова, решетка ( E, | • | е ) называстся р-сыну? люй (1 6 р < то), если существует такая константа M > 0, что для любого конечного набора элементов {xi}n=₁ С E верно следующее неравенство:

1 np |xi|p i=1

1 n p

6 M     kx i k ^pE

E        i =1

Mp етва E и обозначается через: M(p) (E).

Каждая банахова решетка E является 1-выпуклой, при этом M⁽¹⁾ (E) = 1. Кроме того, р-выпук.тая банахова, решетка, всегда, удовлетворяет верхней р-опенке. т. е. суще ствует такая константа M > 0, что для любого конечного набора попарно дизъюнктных элементов {xi}n=₁ С E верно неравенство

n

X xi i=1

.

• 3.    Теорема Блума — Хансона в сепарабельных банаховых идеальных пространствах последовательностей

T действующего в БИП (E, || • ||e ) С s(K). сходимость ||^+1 pn=_o Tkjx — xo||_E Щ 0 для всех {kj }j=o € N ^и некоторого xo G E всегда влечет слабую сходимость последовательности {T n(x)} в E к элементу xo- Следующая теорема устанавливает свойство Блума — Хансона для каждого сепарабельного p-выпуклого (р > 1) БИП E С s(K).

Теорема 3.1. Пусть (E, || • ||е) — бесконечномерное p-выпуклое сепарабельное банахово идеальное подпространство в s(K) с конетантой р-выпуклости M(p)(E) = 1, р > 1. Тогда для любого линейного сжатия T : E щ E из слабой сходимости в (E, || • || e) последовательности {Tn(x)} к эле.менту xo G E следует сходимость n+т X Tkj(x) - xo j=o

щ 0

E

для всех {kj }j=o G N.

C Ес ли T n(x) Щ xo елас5o в E. to T n+1(x) = T (T n(x)) Щ T (xo) слабо и поэтому T(xo) = xo- В случае xo = 0 заменяем элемент xo нa (x — xo), и будем считать, не ограничивая общности, что Tn(x) щ 0 слабо. Таким образом, для доказательства утверждения теоремы следует установить, что слабая сходимость Tn(x) щ 0 в E влечет сходимость n + 1

n

Е Tkj (x) j=o щ 0

E

при n щ то для любой последовательности {kj }j=o G N.

Поскольку T сжатгie. то ^T n⁺¹ (x)|e 6 IT n(x)|E. ii поэтовiy предел limn^^ IT n(x)|E существует. Если этот предел равен нулю, то утверждение теоремы 3.1 очевидно. Предположим. что этот предел равен a = 0. Заменяя, если ие<эбходимо. элемент x на эл<'мент X. можно считать, что limn^^ ITⁿ (x) | e = 1.

Зафиксируем 5 > 0 и выберем натуральное число t так, чтобы выполнялось нера-1 -1л венство tp < 2. Поскольку 1 + 2ps < 2p(s + 1) для всех s G N, то существует такое Е G (0,1). что

1,1,.

((1 + е)р + 2ps) p < 2(s + 1)p — (s + 1)Е(1)

для всех s = 1,..., t — 1.

Согласно равенству limn ,^ ^T n(x)|E = 1. сутпествэ-ет такое k G N. что верно неравенство

TTk(x)|e < 1+ е.(2)

Рассмотрим оператор проектирования Pr в E на линейную оболочку Lin{e₁,..., er} ортов e1, e₂,..., er G E. t. e.

r

Pr : ' ) = {€i,...,€r, 0, 0,...} = E Cnen .

n =1

Обозначая через I тождественный оператор в E, в силу порядковой непрерывности нормы | • | е имеем, что |(I — Pr )T ^k(x)|E щ 0 пр и r щ то. Следовательно, существует такое r G N. что верно неравенство

||(I — Pr)T^k (x) | e <е.                                   (3)

Так как Pr (E) = Lin { e₁,..., e r} — конечномерное лине!"Гное подпространство в E и Tk+j (x) ^ 0 слабс) при j ^ то. то пандетея такое d Е N. для которого

\PrTk+j(x)^E <£(4)

при веек j > d.

Отмстим, что из неравенств ||P_r( x )|_E 6 k x k E 11 k( I — Pr )( x )|_E 6 k x k E следует, что

IPHeme 6 1, ||I - PrHeme 6 1.

Покажем теперь, что \\Tm1 (x) + ... + Tms(x)||e 6 2s1,(6)

где k 6 m i <  m2 < ... <  ms. s 6 tn m i+i - mi >  d Д.ля веек i = 1,..., s — 1.

Докажем неравенство (6), используя индукцию по s. Для s = 1 неравенство (6) верно в силу выбора, числа. £. Предположим, что неравенство (6) верно для s < t ii последова тельность m₁,m₂, ..., ms+1 удовлетворяет указанным выше требованиям. Тогда

\ Tm¹ (x) + ... + T ms+1 (x) H E = \ Tm¹ -k (T k (x) + T m^{2-m1 +}k (x)

+ ... + Tms+^1-m1+k (x)⁾ \ E 6 TT^kx + T^m2^-mi+k (x) + ... + Tms+^1-m^1+k (x) ¹¹ E

6 \\ PrT^kx + (I — Pr )⁽T m2^{-m1 +k}(x) + ... + Tms+^1-m1+k (x)⁾ \\E

+11 (I — Pr )T^k(x) \ \ E + \ \ Pr (T m2^-m1+k (x) + ... + Tms+^1-m1+k (x)) \ \ E.

В силу неравенств (3) и (4) имеем, что

\\ (I — Pr)T^k(x) \\E + \\Pr (Tm^{2-m1 +k} (x) + ... + T ms+^1-m1+k (x)) \\E < (s + 1)_£.

Поскольку, банахова решетка E является p-выпуклой с константой p-выпуклости M(p) (E) = 1. то E удовлетворяет верхней p-оценке с той же константой, т. е.

1 n np kxikpE i=1

xi 6

i=1    E в случае, когда, элементы {xi}n=1 С E попарно дизъюнктны.

Так как элементы ( I — P _r)( T m^2-m^1+k( x ) + ... + T ^m=+^1-m1+k ( x )) 1i P _r T ^k( x ) попарно дизъюнктны, то, используя предположение индукции (6) и неравенства. (2), (5), получим следующую оценку:

\\ PrT^k(x) + (I — Pr) (T^m2^-m1+k (x) + ... + Tm s+ ^1-m1+k(x)⁾ \\ E

6 (\\PrT^k(x) \\E + \\ (I — Pr) (Tm2^{-m1 +k}(x) + ... + T ms+^1-m1+k (x)⁾ \\E) ^F 6 ⁽(1 + e)^p + 2^ps^{) 1}.

Следовательно, в силу неравенства. (1) имеем, что

\\ T^m1 (x) + ... + Tm s+1 (x) \\ E 6 ((1 + e)^p + 2^ps)¹ + (s + 1)_£< 2(s + 1) ^p .

Таким образом, неравенство (6) верно для каждого s 6 t-

Пусть {ni}i=0 — произвольная строго возрастающая последовательность натураль ных чисел, ii пусть N > k — достаточно большое натуральное число. Тогда N = k + mt + r.

где 0 6 r < t, и m есть натуральное число, для которого m > d. Используя доказанное неравенство (6), получим, что

N

Е Tnj (x)

j=0

E

k+r

E Tnj (x)

j=0

m