Эргодические свойства стохастических динамических систем с бесконечно малым шумом

В статье изучается влияние бесконечно малого редкого шума на эргодические свойства стохастических динамических систем. Это влияние сравнивается с влиянием малого шума. Например, существует малый шум, приводящий точные стохастические динамические системы в неточные, а бесконечно малый шум всегда оставляет точные системы точными.

Пусть X — пространство Лебега, то есть вероятностное пространство, метрически изоморфное отрезку [0,1) с мерой Лебега. Стохастическая динамическая система — это четверка (X, F, д, T ), где (X, F, д) — пространство Лебега, а T — сохраняющее меру преобразование, то есть это сюръективное отображение T : X ^ X такое, что V A Е F T ^-1 A Е F и ^(T ^-1 A) = ^(A).

Наиболее важными эргодическими свойствами стохастических динамических систем являются: неэргодичность, эргодичность, перемешивание, K -свойство (точность для эндоморфизмов).

Сохраняющее меру преобразование T называется эргодическим, если оно имеет только тривиальные инвариантные множества, то есть равенство T ^-1 A = A возможно только при ц(Л) = 0 или ц(Л) = 1. Равносильные условия:

• 1)    траектории точки x ∈ X с вероятностью 1 плотны в X [1];

• 2)    д ( U T n A) = 1 V A Е F с ^(A) > 0 [2].

n =0

Сохраняющее меру преобразование T называется перемешивающим, если lim ^(T-nA П B) = ^(A) • ^(B) VA, B Е F.

n →∞

Сохраняющее меру преобразование T называется автоморфизмом, если оно взаимно однозначно, и T ^-1 — также сохраняющее меру преобразование.

Сохраняющее меру преобразование T называется эндоморфизмом, если оно не ^ взаимно однозначно. Эндоморфизм T точный, если lim ^(T n A) = 1 V A Е F с n →∞

• § ^(A) > 0. Точный эндоморфизм является перемешивающим [3].

Будем говорить, что стохастическая динамическая система подвержена местному малому редкому шуму или шуму 1-го рода, если преобразование T в отдельные моменты заменяется на другое преобразование S, мало отличающееся от T по мет-@ рике d(S, T) = ^{x : Sx = Tx}. Можно считать, что в эти моменты действует преобразование T , а затем — преобразование S такое, что

^ { x : Sx = x } < E

для некоторого e >  0.

Будем говорить, что стохастическая динамическая система подвержена равномерному малому редкому шуму или шуму 2-го рода, если вместо T действует S такое, что

| Sx - Tx | < ε ∀ x ∈ X.

Если в (1) и (2) вместо ε поставить ε _n , n — номер шума, и предположить, что

En ^ 0 при n ^ то , то шум будем называть бесконечно малым шумом.

Пусть T — точный эндоморфизм. Можно показать, см. [4], что для сколь угодно малого e ^ 0 и некоторого числа n можно выбрать измеримые множества E, TE,...,T n-1E так, чтобы было E = T-n+1(T n-1E) и ^(E) = ^(TE) = ... = ^(Tn-1E) = e/2, E П TnE = 0. Заменяем на n-м шаге преобразование T на S, равное T на множестве X\(Tn-1 E U T-1E) и равным произвольным изоморфизмам Tn-1E на E и T -1E на TnE. Это будет шум первого рода, который превращает точную стохастическую систему в неточную. Действительно, обозначим для удобства последовательные преобразования Tsm, Ts2m,..., где 3n0 такое, что Tm = Tn0, Tm+1 = STn0, Tnm+2 = TSTn0, ...,Ts2mo+2 = STn0 STn0, ...(для бесконечно малого шума такая последовательность записывается с заменой S на Sk, например, Ti2Sn0+2 = S2Tn0S1Tn0). Тогда lim ^(TssmE) = e вместо lim ^(TssmE) = 1 и даже n→∞                n→∞ n-1

неэргодическую (lim д( U TmE ) = n ₀ E < 1). n →∞ i =0

Если же шум будет бесконечно малым, то так как E n ^ 0, какое бы малое множество A положительной меры не взять, при достаточно малом ε _n выполняется lim ^(TnmA) = 1, то есть система остается точной.

2x ( mod 3 ) + 3 , 0 6 x< 3

Теперь возьмем эндоморфизм T =   2x (mod3) + 3 , 3 6 x <  3 .

[ 2x (mod3) , 3 6 x <  1

Возьмем подмножество A меры e отрезка [3 , 1). Тогда T ^-1 A С [0, 3), T ^-2 A С [ 3 , 3 ) . Обозначим E = T ^-2 A. Получим ^(E) = ^(TE ) = ^(T ² E) = e .

На третьем шаге будем считать S = T на X\(T ² E U T ^-1 E ) и произвольный изоморфизм, переводящий T ² E в E и T ^-1 E в T ³ E . Тогда стохастическая система становится неэргодической, так как lim ^( U TSimE ) = 3 e = 1.

n →∞ i =1

Если же взять бесконечно малый шум, то будет lim ^( U TismE ) = 1, система n →∞ i =1

остается эргодической.

Пусть теперь шум состоит в том, что периодически меняются местами два отрезка [a^, bi], i = 1, 2, равной меры меньше e > 0. Применим этот шум к предыдущему примеру. Если оба отрезка [ai, bi], i = 1, 2, расположены в одном из множеств (0, 3) , [3, 3) , [3, 1), то система остается эргодической; если в разных, то система становится точной. Переход от малого шума к бесконечно малому не меняет действия шума.

{2x (mod3) , 0 6 x x<2

x < 1

компонентами. Опи-

2x (mod 3) + 3 , 3 6

2x ( mod 3 ) + 3 , 3 6

Это неэргодический эндоморфизм с тремя эргодическими санный выше бесконечно малый шум, заключающийся в перестановке интервалов [ai, bi], i = 1, 2, приводит к следующим результатам: если эти интервалы в одной эргодической компоненте, то эргодические свойства не меняются, если в разных компонентах, то эти компоненты объединяются в одну эргодическую компоненту и получается неэргодическая система с двумя эргодическими компонентами. Если же взять три отрезка [ai, bi] в разных компонентах, то путем периодических их перестановок можно получить точную стохастическую динамическую систему. Все эти свойства сохраняются при переходе от малого шума к бесконечно малому шуму.

Пусть Tx = x + a(mod1), а — иррациональное. При этом отображении траектория всякой точки x Е X = [0,1) плотна в X, T — эргодическое. Фиксируем малое в > 0 и большое натуральное число m. Пусть п0 — наименьшее число, для которого Tп00 = n0a(mod1) находится на расстоянии, меньшем в от какого-нибудь числа вида mm, 0 6 k < m — 1. Тогда на п0 + 1-м шаге действует равномерный шум: Sx = x + mm — n0a(mod1). Тогда STn00 = mm. Отсюда видим, что через n0 шагов действует S и STn0STn0 = 2k(mod). Очевидно, что траектория точки 0, а значит и каждой точки пространства X имеет n0m точек и потому не плотна в X и, следовательно, динамическая система не эргодическая.

Однако, если перейти к бесконечно малому шуму, то траектории точек станут плотными, и поэтому динамическая система останется эргодической.

Пусть теперь Tx = x + mm (mod1), m Е N , 0 <  k 6 m — 1. Эта динамическая система не эргодическая. Если возьмем малый равномерный шум Sx = x + 1 (mod1), то динамическая система останется не эргодической. Если взять бесконечно малый шум, то есть Г—> 0, то система станет эргодической.

Таким образом, мы получили следующие результаты.

Бесконечно малый шум не меняет точность динамической системы в отличие от малого шума, который может точную систему сделать даже не эргодической.

Бывают случаи, когда переход от малого шума к бесконечно малому ослабляет действие шума, и наоборот, в случае равномерного шума усиливает действие шума.

Иногда переход от малого шума к бесконечно малому не меняет действия шума.