К билинейной дифференциальной реализации континуального пучка траекторных кривых в конструкциях оператора Релея - Ритца

Поскольку во многих практически важных задачах реализации дифференциального представления моделируемых динамических процессов необходимо учитывать нестационарную нелинейную взаимосвязь как от самой траектории и скорости движения на ней, так и от программного управления, то ниже основное внимание сосредоточено на исследовании модели дифференциальной реализации, зависящей от пяти нестационарных билинейных структур. При этом одна из них задана на самой траектории, второй билинейный оператор зависит от траектории и скорости движения по ней, третий билинейный оператор зависит только от скорости движения по этой траектории и два других учитывают эти переменные в связи с влиянием на них программного управления.

В целом современная качественная теория дифференциальной реализации (КТДР), рассматриваемая в духе бесконечномерной постановки обратных задач математической физики, сложнее, интереснее, глубиннее в своих приложениях и очень важна для понимания основных свойств самих дифференциальных моделей. Ее геометрические конструкции могут служить отправными точками современного развития общей (аксиоматической) теории динамических систем, попутно придавая этим конструкциям репутацию полезного математического инструмента в прецизионном апостериорном моделировании сложных бесконечномерных динамических моделей.

Поскольку КТДР изучает вопросы существования аналитического представления (дифференциальных моделей) для семейств динамических процессов типа «вход — выход» (бихевиористических систем Я. Виллемса [1]), то данная статья могла бы иметь название: Как определить, существует ли билинейное дифференциальное уравнение «черного ящика». Поэтому в методологическом плане КТДР можно рассматривать как важный шаг на пути построения общей теории математического моделирования сложных динамических систем в контексте теории идентификации эволюционных уравнений [2] на стыке функционального анализа [3; 4] и теории дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах [5]. Причем в теоретико-системном анализе непрерывных слабоструктурированных систем до какого-то момента «механический» перенос качественных результатов конечномерной теории реализации на бесконечномерный случай происходит без особых осложнений. Это отно- сится к стационарным/нестационарным дифференциальным моделям первого порядка (параболические уравнения и системы диффузионного типа) в равномерно выпуклых пространствах Гёльдера [6], или сепарабельных гильбертовых пространствах [7; 8].

Существенные аналитические трудности начинаются при переходе к дифференциальной реализации с динамическим порядком выше первого [9], в том числе неноминальном учете структуры гиперболических моделей [10], при представлении уравнений которых нельзя обойтись без учета нелинейности их динамики. В частности, билинейной структуры модели реализации [11; 12], на чем и акцентируется основное внимание в данной статье. При этом покажем, что, осуществляя аналитическую связь между проективной геометрией и дифференциальной реализацией моделируемых бесконечномерных динамических процессов, конструкцию проективизации нелинейного функционального оператора Релея —Ритца [7; 8] и функционально-геометрический анализ условий его непрерывности удобно формулировать на языке компактных топологических многообразий тензорных произведений гильбертовых пространств в терминах CW -комплексов Уайтхеда [13]. Такая качественная теория до конца еще не создана и не так давно не существовало еще и базы для нее. За последние полтора десятилетия положение изменилось [6 - 12], и можно считать, что теперь такая база существует в качестве теории расширений нестационарных M p -операторов [7] (см. также [11; 14], где подытожены основные исследования в этой области).

• 1    Постановка задачи

Далее ( X ,|| ■ || X ), ( У ,|| ■ || _У ), ( Z ,|| ■ || Z ) — вещественные сепарабельные гильбертовы пространства (нормы удовлетворяют «условию параллелограмма» [15, с. 47]); ниже используем [3, c. 176] линейную изометрию (сохраняющую норму) E : У ^ X пространств У и X . Как обычно Z ( B ', B ") — банахово пространство (с операторной нормой) линейных непрерывных операторов для банаховых пространств B ' и B " , L( X ², X) — пространство всех непрерывных билинейных отображений из декартово-го квадрата X х X в пространство X (аналогично L( X ², Z ) ).

Обозначим через T отрезок числовой прямой R с мерой Лебега ц, через р _ц — о -алгебру всех ц -измеримых подмножеств из T , запись S с Q для S , Q е^ _ц означает ц( S \ Q ) = 0 . Сверх того примем, что mod ц

AC 1 ( T , X ) — множество всех функций ф : T ^ X , первая производная которых является абсолютно непрерывной функцией (относительно меры ц) на интервале T .

Если ниже ( B, 1|-| |B ) — некоторое банахово пространство, то через ^L p ^(T , ^{B )}, p e [1, да ) , как обычно, будем обозначать банахово пространство всех классов ц -эквивалентности интегрируемых по Бохнеру [4, с. 137] отображений f : T ^ B с нормой I _T || f (т) || B ц( d т)) ¹/ ^p , соответственно через L ^{( T} , ^{в )} — банахово пространство данных классов с нормой ess sup _T||f ||_B . В означенном контексте условимся, что

L2 := L2 (T, L(X, X)) x L2 (T, L(X, X)) x L2 (T, L(Y, X)) x

x L2(T,L( X2, X)) x L2 (T ,L( X2, X)) x L2 (T, L( X2, X)) x

x L2(T,L( X2, X)) x L2(T,L( X2, X)),

L* := L (X, X) x L (X, X) x L (Y, X) x

x L( X2, X) x L( X2, X) x L( X2, X) x L( X2, X) x L( X2, X).

Далее считаем, что на временном интервале T фиксировано (возможно, a posteriori ) поведение [1; 16] исследуемой бихевиористической системы в виде не ограниченного по мощности нелинейного пучка ² N управляемых динамических процессов (управляемых траекторных кривых) типа «вход — выход», т. е. формально:

N с {( x , u ): x e AC 1 (T , X ), u e L₂( T , Y )}, Card N <  exp N ₀, где ( x , u ) — пара « траектория, программное управление », ^ ₀ — алеф нуль, exp ^ ₀ — континуум, и пусть задана, как инерционно-массовая характеристика моделируемой системы, оператор-функция при второй производной (в модели реализации) от траектории t a x ( t ) вида:

A e L „ (T, L (X, X)), ц {t e T: .4(t) = 0 e L(X, X)} = 0; при этом считаем, что нарушение условия эквивалентности нормальной системе, а именно:

ц { t e T : Ker . 4 ( t ) = 0 e X } = 0 , необременительно (см. ниже замечание 1).

Рассмотрим задачу : для фиксированной пары ( N , .4 ) определить необходимые и достаточные условия, выраженные в терминах нелинейного пучка динамических процессов N и оператор-функции 4 , существования упорядоченного набора из восьми оператор-функций

(A, A, B ,D1,D2,D3,D4,D5) e L2, для которого осуществима билинейная дифференциальная реализация (БДР) вида:

A d ² x I dt ² + A 1 dxIdt + A ₀ x =

= Bu + D1( x, x) + D2( x, dxI dt) + D3( dxI dt, dxI dt) +       (1)

+ D 4 (E(u),x) + D 5 (E(u), dx I dt), V (x, u) e N;

равенство в (1) рассматривается как тождество в L1(T , X) . Если операторы БДР-системы (1) предполагается искать в классе стационарных , то будем их строить в классе непрерывных , т. е.

(Ai, Ao, B ,Di,D2,D3,D4,D5) e L*.

В связи с означенной математической постановкой отметим, что каждая область математики, как правило, содержит свои ведущие проблемы, которые настолько трудны, что их полное решение даже и не ожидается, но которые стимулируют постоянный поток работ и служат главными вехами на пути прогресса в этой области. В рамках КТДР такой проблемой является проблема классификации непрерывных бихевиористических систем, рассматриваемых так, как если бы они точно совпадали с решениями идеализированных дифференциальных моделей, в том числе высших порядков. В наиболее сильной форме она предполагает классификацию таких систем с точностью до соответствующего класса моделей дифференциальной реализации, в частности, и класса нестационарных БДР-моделей (1), обоснованием чего ниже служат теорема 1 и ее следствие 1, которые позволяют в означенной классификации значительно приблизиться к идеальному сочетанию функциональной прозрачности и геометрической наглядности (см. также [16 - 20]).

• 2    Существование БДР-модели

Опишем теперь аналитическую схему решения вопроса о разрешимости (или неразрешимости) БДР-задачи (1). Итак, пусть Z : = X ® X — пополненное гильбертово тензорное произведение [15, с. 54] гильбертовых пространств X и X с кросс-нормой ||-| Z , определяемой внутренним произведением [4, с. 64]. Сверх того, примем следующие обозначения:

U := X х X х Y х Z х Z х Z х Z х Z ,

II (w,w)| U := (I HI X +Н X+Н Y+HIZ+Н Z+HIZ+Н Z +Н Z Г;

M 2 := L2 (T, L(X, X)) х L2 (T, L(X, X)) х L2 (T, L( Y, X)) х

х L2 (T, L (Z, X)) х L2 (T, L (Z, X)) х L2 (T, L (Z, X)) х

х L2(T, L (Z, X )) х L2(T, L (Z, X ));

ясно, что функциональное пространство M ₂ (с топологией произведения) линейно гомеоморфно банахову пространству L₂( T , L(U , X )) .

Обозначим через π универсальное билинейное отображение л: X х X ^ X 0 X ;

на языке категорий морфизм π определяет тензорное произведение как универсальный отталкивающий объект [15, с. 40]. Универсальность билинейного отображения п состоит также в том, что

• л: X х X ^ X 0 X,

• (x1,x2) a п(Х1,Х2) = xi 0Х2, |Х1 0X2IZ =||XJX||х2|X ;

данные соотношения важны для определения конструкции нелинейного функционального оператора Релея — Ритца (2) в части конкретизации нормы И U •

Далее считаем, что декартов квадрат X ² = X х X наделен нормой (||-|| X +1|-|| X ) ^1/2 . В данной постановке имеет место л е Ц X ², Z ) и, с учетом теоремы 2 [3, с. 245], для любого билинейного отображения D е L( X ², X ) всегда найдется линейный непрерывный оператор D е L ( Z , X ) , такой, что справедливо равенство D = D о л, при этом для любой пары ( x , и ) е N будут выполняться включения:

л (x, x), л (x, dx/dt), л (dx/dt, dx/dt) е LM (T, Z), л (E(и\x\ л (E(и\ dx/dt)) е L2(T, Z).

Данные построения подытоживает следующее утверждение.

Лемма 1. Для любого набора ( A 1 ,A ₀, B , D 1 ,D₂,D₃,D₄,D₅) е L ₂ и отображения

F: L2(T,X)хL2(T,X)хL2(T,Y)х

х L2(T, X2) х L2(T, X2) х L2(T, X2) х L2(T, X2) х L2(T, X2) ^ L1(T, X),

• (У1, У 2, У 3, У 4, У 5, У 6, У 7, У 8) a F( У1, У 2, У 3, У 4, У 5, У 6, У 7, У 8):=

• = A 1 ^У 1 ⁺ A 0 ^У 2 ^{+ B У} 3 ^{+ D} 1 ^У 4 ^{+ D} 2 ^У 5 ^{+ D} 3 ^У 6 ^{+ D} 4 ^У 7 ^{+ D} 5 ^У 8 существуют единственный кортеж оператор-функций

( D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , D 5 , D 6 , D 7 , D 8 ) е M 2 и, соответственно, единственное линейное отображение

M :L₂( T , U ) ^ L 1 ( T , X ), имеющее аналитическое представление вида

• ( z 1, z 2, z 3, z 4, z 5, z 6, z 7, zs) a M( z 1, z 2, z 3, z 4, z 5, z 6, z 7, z 8):=

• = D1 z1 + D2 z 2 + D3 z 3 + D4 z 4 + D5 z 5 + D6 z 6 + D7 z 7 + D8 z 8, такое, что выполняется следующее функциональное равенство:

• (У1,У2,У3,У4,У5,У6,У7,У8) a F(У1,У2,У3,У4,У5,У6,У7,Уз) = = M (У1, У 2, У 3,л(У 4), л(У 5), л(У 6), л(У 7), л(У 8»,

которое, в свою очередь, индуцирует для оператор-функций из конструкций отображений F и M следующие операторные соотношения:

A 1 = D_v A ₀ = D 2 , B = D 3 ,

D j = D₄ o n, D₂ = D₅ o n, D₃ = D₆ o n, D₄ = D₇ o n, D₅ = D₈ o n .

Следующая лемма обобщает следствие 1 [16].

Лемма 2. Пусть S,Q e^, тогда S с Q, если имеют место равенст- mod ц

S := {t e T : (g(t), w(t), v(t), q(t), 5(t), h(t),u(t),~(t)) = 0 e U}, Q := {t e T: g(t) = 0 e X}, g = dgIdt, (g, w, v,q,5,h,u,~) e Vn , VN := Span{(dxIdt,x,u,n(x,x), n(x,dxIdt), n(dxIdt,dxIdt), n (E(u),x), n(E(u), dxIdt)) e L2(T,U): (x, u) e N}.

Далее, пусть L+ (T, R) — выпуклый конус [4, c. 127] классов ц - эквивалентности всех вещественных неотрицательных μ -измеримых на интервале T функций и

В данной постановке рассмотрим решетку с ортодополнением [4, с. 339]:

R(W):= {^ e L ₊(T, R): 4 <l suPl W}.

Тогда (R(W),

Лемма 3. Функциональная решетка R(W) — полная, т. е.

inf_LV, sup_LV e R(W) VV с R(W).

Пусть T: VN ^ L ₊(T,R) — оператор Релея — Ритца [7; 8]:

t a T(ф)(t):=

|| ^A⁽t) gi⁽t )|| _x /|^ф(t )| U,^еслиф⁽t) *^{0 e U}; 0 e R, если ф(t) = 0 e U;

где ф := (g, w, v,q, 5, h, й, ~) e Vn .

Ясно, что имеет место равенство

I(g⁽t),w⁽t),v(t),q⁽t), s(t), h⁽t), u(t), ~⁽t))||U :=

= (Ig(t t +1 И t +1v(t )| It +1 q(t iZ +1Is(t )E +1 h(t )E +1 uiz 1Z +1 Ht)E)1/2.

В силу леммы 2 на интервале времени T выполняется

'

supp Ф(ф) = supp| A g (mod p);

здесь в определении supp -конструкции носителя функции следуем [3, с. 137].

Нелинейный оператор (2) удовлетворяет весьма простым (но важным) соотношениям

X<l^Ф(Ф) = ^Ф(rФ), r^еR*^:= R \{⁰}, Ф ^еVN;    (3)

ниже будем различать в обозначениях образ точки Ф(ф) и образ множества Ф[{ф}].

Теория оператора Релея — Ритца нуждается в точном функционально -геометрическом языке, что заставляет нас уделить этому языку особое внимание. Поэтому прежде чем идти дальше, нам будет удобно ввести дополнительную терминологию. А именно, в силу соотношений (3) оператор Ф индуцирует отображение PФ : P_N ^ L+ (T, R), которое, по сложившейся в теории представлений традиции [15, с. 239], назовем про-ективизацией оператора Релея — Ритца:

PФ(Y):=Ф[Y], Y е Pn (Y с Vn), где PN — вещественное проективное пространство, ассоциированное с линейным многообразием VN (с топологией, индуцированной из пространства L2(T,U)); т. е. PN есть множество орбит мультипликативной группы R * , действующей на VN \ {0} . В данной геометрической трактовке ключевым моментом являются топологические свойства пространства PN, dimPN <Ц), разумеется, в первую очередь (в контексте теоремы 2) его компактность, в частности, если имеет место dim VN = 3, то компактное 2-многообразие PN устроено как лист Мёбиуса, к которому по его границе приклеен круг [13, с. 162]. Попутно отметим, что на PN можно ввести структуру CW -комплекса [13, с. 140], что, в свою очередь, упрощает рассмотрение вопроса о геометрической реализации многообразия PN — теорема 9.7 [13, c. 149].

Теорема 1. Каждое из следующих трех условий влечет за собой два других:

(i) БДР-задача (1) разрешима относительно оператор-функций

(Ai,Aо,B,Di,D2,D3,D4,D5) еL2;

• (i)    39 е L2(T,R):Т(ф)

• (iii)    3supLPT[Pn]: supLPT[Pn]еL2(T,R).

При этом для выполнения (A1, A0, B ,D1,D₂,D₃,D₄,D₅) е L необходимо, чтобы

R(PT[Pn ]) с I (T, R).

Замечание 1. Теорему 1 можно рассматривать как начальный этап в изучении проблемы, когда пучку управляемых траекторных кривых N от неявного дифференциального уравнения высшего порядка требуется сопоставить явную нестационарную билинейную дифференциальную систему второго порядка с тем же пучком управляемых траекторных кривых N.

Доказательство. Будем пользоваться идеями работы [17]. Придерживаясь определения 1 [17], введем в рассмотрение конструкцию M₂-оператора M : L₂(T, U) ^ L1 (T, X) вида

3( D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8) е M2: M (g, w, v, q, 5, h, u, ~):=

= D1 g + D2 w+D3 v + D4 q + D5 5 + D6 h + D7 й + D8 ~

У (g, w, v, q, 5, h, й, ~) е L2(T, U).

Остальные детали доказательства с небольшими уточнениями (с учетом леммы 1, леммы 2 и леммы 3 для решетки R(P^[PN ])) содержит схема M₂-продолжимости в форме следствия 2 и теоремы 3 [17], при этом необходимое условие для

(A1, Ao, B ,D1,D2,D3,D4,D5) е L*

устанавливается модификацией доказательства теоремы 3 [7]. Теорема доказана.

Замечание 2. Необходимо отметить, что даже в случае 1 < CardN<К₀ имеет место положение CardPN = exp^₀; но можно показать, что существует (теорема 17 [3, с. 68]) такое счетное множество G с PN, что если в пространстве L₊(T, R) лежит sup_LPТ[PN ], то вещественную функцию Z := sup_LPТ[PN ] осуществляет следующая sup -конструкция:

t a Z(t) = sup{P^(y)(t) е R : y е G}.

Замечание 3. Опираясь на теорему 1, нетрудно сформулировать аналог теоремы 3 [12], выражающий в терминах углового расстояния (в гильбертовом пространстве) условия существования билинейной системы

(1), реализующей пучки N1, N₂, каждый из которых обладает своей БДР-реализацией, в том числе в постановке [7; 18], когда моделируемые операторы дифференциальной системы (1) суть стационарные, т. е.

(A1, A, B ,D1,D2,D₃,D₄,D₅) е L*, в частности, с оптимальной нормой [17].

В конкретных рассуждениях важен также следующий частный случай:

Следствие 1. Если dimV_N<К₀, ^[VN] с L₂(T,R) и найдется такое число p е [1, те), что будет

^Т(Ф1 + Ф2) ^L Р^Т(Ф1) + Р^Т(Ф2), ⁽Ф1, Ф2^{)е V}N^{Х V}N , то БДР-задача (1) разрешима.

(При p=1 данное свойство, в контексте квазиупорядочения <_L, сродни свойству «сублинейности» функциональных операторов [26, c. 400]).

3 Вычисление фундаментальной группы и ориентации образа оператора Релея — Ритца

В случае компактности проективного многообразия P_N (равносильно, dim P_N< К₀) естественно попытаться связать это свойство с задачей построения решетки R(PT[P_N ]) в контексте условий непрерывности про-ективизации оператора Релея — Ритца; ниже при выборе в теореме 2 метрической структуры в конусе L+ (T, R) прибегли к теоремам 15, 16 [3, с. 65, 67] (в данной постановке L+ (T, R) — полное сепарабельное метрическое пространство).

Теорема 2. Пусть dim P_N< К₀и конус L+ (T, R) наделен топологией, индуцированной сходимостью по мере р, или, что эквивалентно, инвари-антной³метрикой

РT(f,/_:):=]|^(т)- f_!(Т)|(1+|f (т)-/(Г) ) р(dr), A,/2 eL+ (T,R).

T

Тогда оператор PT: P_N ^ L ₊(T, R) будет непрерывным, если пучок N таков, что

^VФ ^еVN \^{0}:supp|^ф|^ = T (mod p),          ⁽⁴⁾

в частности, если

Vy е P_N : supp PT(y) = T (mod p).           (5)

Отметим, что теорема 2 является развитием теоремы 3 [8], что подтверждает ее методологическую важность в математическом (апостериорном) моделировании сложных динамических систем [7; 8; 17-20]. Пер- вое приложение этого результата (с учетом теоремы 3 [22, с. 61] и следствия 5.3 [23, с. 137]) составляет следующее утверждение, описывающее (в зависимости от dim Span N) геометрическое обустройство образа оператора Релея — Ритца.

Теорема 3. Если при выполнении (4) или (5) оператор PТ взаимнооднозначный, то PТ — гомеоморфизм, а фундаментальная группа метрического пространства (PТ[P_N],рT) изоморфна аддитивной группе целых чисел Z при dim Span N = 2 и группе вычетов Z ₂при dim Span N > 3, причем пространство (PТ[P_N],рT) ориентируемо, если размерность линейной оболочки Span N четная, и не ориентируемо, если эта размерность нечетная.

В завершение проведем рассуждения, иллюстрирующие (в главных чертах) возможный аналитический подход в функциональном анализе пары (N, A) , приводящий к развитию теоремы 2.

Введем в рассмотрение функциональное множество вида:

L_x(T, R): = {(f,g) g L ₊(T,R) x L₊(T, R):supp f c supp g};

mod ц

L_x(T, R) не является линейным пространством, но таковые содержит, включая бесконечномерные.

Рассмотрим нелинейный функциональный оператор

'И (T, R) >1 , (T, R) с конструкцией вида:

Wf,g⁾⁽t) ^:= f^(t)g"‘(t) при g^(t) * ⁰,

Wf, g^)(t):= ⁰для g⁽t) = 0;

с учетом леммы 2 данная конструкция индуцирована оператором (2).

Далее, введем последовательность {(fn, gn)} c L_x(T, R), для которой справедливо

Ptf,fm) >^0,Pt(gn,gm)>⁽n^m >”>.

Сверх того, с учетом полноты метрического пространства (L₊(T, R),р_T ), потребуем, чтобы

(LimpT {f_n},LimpT {g_n}) gLx(T,R);

для удобства обозначим f := Lim_p^ {f_n}, g := 1 ,im_p {gn}.

В данной постановке для сходимости

Pt(W(fn,gn), Wtf,g)) > 0 (n >”) достаточно, чтобы lim{p (supp gn Asupp g): n >”} = 0,          (6)

где A — симметрическая разность supp g_n и supp g , т. е.

(supp gn \ supp g) u(supp g\supp gn).

Хотя условие (6) аналитически интересно и полезно [24], тем не менее оно, к сожалению, не является необходимым⁴, что указывает на определенную «избыточность» условий (4), (5) теоремы 2. В данном контексте остается открытым вопрос о построении характеристического признака для пары ({(f_n, gn)}, (f, g)), определяющего pT -сходимость вида:

PtWn,gnX W,g)) >^{0 (}n >”).

В завершение отметим, что теорема 3 дает дополнительные основания для побудительных мотивов в дальнейшем тополого-алгебраическом изу -чении БДР-реализации (в рамках КТДР в контексте разработки тензорного основания функционально-геометрической теории нестационарных билинейных векторных полей [23]), в частности, для нелинейных динамических систем, траектории которых суть аналитические функции [27], что a priori обеспечивает условие (4) теоремы 2 в силу принципа изолированности нулей.

Заключение

Можно констатировать, что как самостоятельная область теории обратных задач математической физики качественная теория дифференциальной реализации в сепарабельном гильбертовом пространстве превратилась в сильно развитую экспансивную науку, представляя собой трудно обозримый конгломерат большого количества разнообразных идей и методов, в высшей степени полезный для задач структурнопараметрической идентификации эволюционных уравнений. К мощным и часто применяемым методам КТДР относится аппарат нелинейных функциональных операторов Релея — Ритца. В данном контексте в работе исследована непрерывность оператора Релея — Ритца относительно сходимости по мере. В целом это позволило качественно продвинуться в изучении тополого-алгебраической структуры образа данного оператора, в частности, в терминах фундаментальной группы Пуанкаре. Подобные изыскания предполагают глубокое проникновение в физическое содержание предмета, руководствуясь идеей, что сам предмет нестационарной полилинейной дифференциальной реализации исходит из аподиктической простоты какого-то высшего рода, по крайней мере если придерживаться точки зрения Поппера⁵.