К реализации полилинейного регулятора нестационарной гиперболической системы

Проведение точного количественного анализа сложной динамической системы, как правило, методологически разделяют на прямую и обратную задачи; даже в конечномерной постановке среди нелинейных дифференциальных уравнений лишь для немногих удается получить точное аналитическое решение первой задачи — построение интегральной кривой системы. Для обратной задачи [1] на практике подобный анализ может осложняться еще и тем, что важно определить по поведению системы не только «параметрическую модель» уравнений ее состояния [2], но и описание структуры модели в целом на качественном уровне, в том числе когда необходимо знать, допустима ли в этой структуре реализация такого позиционного закона управления, при котором режим функционирования будет содержать заданный пучок управляемых траекторий. На эти (и близкие) вопросы отвечает качественная теория нелинейной дифференциальной реализации динамических систем.

В настоящее время теория дифференциальной реализа-ции/идентификации нелинейных моделей представляет собой довольно активную область теоретико-системных исследований [3 - 7]. В данном контексте авторы продолжают изыскания [4 - 6]. Их основная цель — исследовать проблему существования специальных оператор-функций инвариантного полилинейного регулятора нестационарной гиперболической системы; впрочем, ее результаты распространимы и на стационарные случаи [1; 6]. Инвариантность регулятора предполагает, что моделируемая гиперболическая система должна содержать в классе допустимых решений фиксированное конечное семейство нелинейных динамических пучков-процессов, при этом каждый пучок неограничен по мощности (конечный/счетный/континуальный) и индуцирован своим (индивидуальным) полилинейным регулятором.

• 1    Постановка задачи

Далее ( X ,||-|| X ), ( У ,||-|| _у ), ( Z_t ,||-|| Z ), i = 1, k , n — вещественные сепа-рабельные гильбертовы пространства (предгильбертовость [8] определяют нормы Ц| X , ||-|| _у , ||-| Z ), U := У х Z 1 х ...х Z n — гильбертово пространство-произведение с нормой

II(У,Z1,к,z.)|L := (МY + ZlBIZ)1/2, i = 1,к, П

L(Y , X ) — банахово пространство с операторной нормой -L_v , всех L ( Y , X )

линейных непрерывных операторов, действующих из пространства Y в X (аналогично ⁽ L ⁽ X , X ^)-|-| L ₍ X , X ) ) и ⁽ L ⁽ Z i , X ^)- |-| L ₍ Z , X ^Х X i ^— г -я декартова степень пространства X , L ( X i , Z i ) — пространство всех непрерывных г -линейных (полилинейных) отображений из X в Z i .

Пусть T : = [ 1 ₀ , t ₁ ] — отрезок числовой прямой R с мерой Лебега ц и р _ц — о -алгебра всех ц -измеримых подмножеств из T . Если ниже ( B ,||-||)    — некоторое банахово пространство, то через

Lp (T, p,B), p е[1, го) будем обозначать банахово фактор-пространство классов ц -эквивалентности всех интегрируемых по Бохнеру [8] отображений f: T ^ B с нормой (J|f (т)|| ц(dт))1/p, через Lro (T, p,B) — T пространство всех (эквивалентных классов) ц -измеримых и ц -существенно ограниченных функций из T в B . Кроме того, далее AC 1(T,X) — множество всех функций ф: T ^ X, первая производная которых является абсолютно непрерывной на T функцией (относительно меры ц ), сверх того, для упрощения примем обозначение

П := AC1(T, X) х L2 (T, p, Y) х L2(T, ц, Z1) х к x L2(T, ц, Zn).

Введем вспомогательные конструкции, связанные с системой обозначений. Через

H 2 : = L 2 ( T , ц , Y ) х L 2 ( T , ц , Z 1 ) х к Х L 2 ( T , ц , Z n ) обозначим пространство-произведение с топологией, индуцированной нормой

II(^0,к, wn )| |H := (J |( wo (т), к, wn (т))| 12 ц( dт))1/2, (wo , к, wn ) ^ H2 , T ясно, что H2 — гильбертово пространство (в силу [8] конструкции нормы ИH ).

Далее, рассмотрим банахово пространство-произведение

L 2 : = L 2 ( T , p, L ( Y , X )) х L 2 ( T , p, L ( Z 1 , X )) х к х L 2 ( T , p, L ( Z n , X )) классов µ -эквивалентности упорядоченных систем оператор-функций с нормой

I(Bо,к,Bn)|L = (J|Bo(T)|L(Y,X) + Z IBi(T)|L(Z,X))P(dT))1/2.

T                        i = 1, к , n

Пусть заданы оператор-функции A ₀, A 1 е L 1 ( T , ц , L ( X , X )), A ₂ е L , (T , ц , L ( X , X )), при этом ц -почти всюду в T оператор A ₀( t ), t е T самосопряженный и строго положительно определенный, а также фиксированы натуральное число n, i -линейные отображения B i е L ( X ,Z i ), i = 1, k , n и

Ni c{(x,u,B1(x),k,Bn(x,k,x)) еП}, CardN1 < exp^0,

N ₂ c {( x , u ,B 1 ( x ), k ,B _n ( x , k , x )) е П }, Card N ₂ < exp K ₀, два варианта поведения исследуемой системы с траекториями x , программным управлением u и позиционными обратными связями (формами) B 1 ( x ), к , B _n ( x , к , x ) , при этом N 1 n N ₂ = 0 ; здесь и далее K ₀ — алеф нуль, exp K ₀ — континуум, Card N j — мощность множества (пучка) Nj- . Ясно, что

Bi(x,к,x) е L„(T,p,Zz.), i = 1,...,n, (x,u,B1(x),к,Bn(x,к,x)) е Nj, j = 1,2.

Условимся далее отличать в обозначениях вектор-функцию ( x , u ,B 1 ( x ), k ,B _n ( x, . ,x )) е П как класс эквивалентности ( mod ц ) от конкретного представителя из этого класса — «индивидуальной» вектор-функции t a ( x ( t ), u ( t ),B 1 ( x ( t )), к ,B n ( x ( t ), к , x ( t ))).

Далее предполагаем, что в действительности управляемые динамические пучки N 1 , N ₂ — суть решения одной гиперболической системы с разными полилинейными регуляторами:

3(B01,к,Bn 1)е L2: V(x,u,Bj(x),...,Bn(x,.,x)) е N1,

A 2 d2 x / dt2 + A1 dx / dt + A0 x = B01u + ^ B.1B i (x ,к, x), i=1,к, n

3(B02,к,Bn2) е L2 : V(x,u,B1(x),...,Bn(x,к,x)) е N2,

A 2 d2 x / dt2 + A1 dx / dt + aqx = B02 u + ^ Bi2B i (x ,к, x), i=1,к, n

(B 01,к, Bn J ^ (B 02,к, Bn 2).

Рассмотрим задачу : определить (в терминах траекторий объединенного пучка N , и N ₂ ) аналитические условия существования упорядоченной системы оператор-функций ( B ₀ ⁺ , к , B ,+) е L ₂, для которой осуществима дифференциальная реализация динамического пучка N ₊ : = N , и N ₂ вида

A ₂ d ² x I dt ² + A 1 dx I dt + A x = B_o u + ^ B / B i ( x , k , x ),          (3)

i = 1, k , n

( x , u ,B 1 ( x ),...,B n ( x ,..., x )) 6 N + .

Постановку обратной задачи (3) можно трактовать как синтез общего (для динамических пучков N 1 , N ₂ ) векторного поля [9]; данная постановка приводит к некоторому количеству теоретических схем, правильно объясняющих физическую действительность, попутно вырабатывая новую математическую интуицию в апостериорном моделировании гиперболических систем [1; 10 - 12].

Замечание 1. Отметим, что нет структурных препятствий, чтобы распространить полученные ниже результаты на качественную теорию реализации нестационарного инвариантного регулятора гиперболической системы (3), включающего в свой состав полилинейные операторы — программно-позиционные связи из L ( X i х Y , Z_t ), и содержащие в качестве дополнительных переменных k раз ( k <  i ) производную dx I dt и 1 раз программное управление u ; ясно, что в данной постановке имеет место B( x , k , dxIdt , k , u ) 6 L₂( T ,p, Z i ) для любого отображения B 6 L ( X i х Y , Z i ). При этом если для дифференциальной реализации (3) ставить задачу разрешимости реализации полилинейных форм из L ( X¹ х Y , Z i ), i = 1, k , n , то основой математического аппарата может служить конструкция тензорного произведения [9, с. 237] гильбертовых пространств, так как его структура сводит изучение полилинейных отображений к изучению линейных отображений путем введения новой операции на категории линейных пространств.

• 2    Вспомогательный математический формализм

Обозначим через L( T , р , R ) пространство классов р -эквивалентности всех вещественных р -измеримых на T функций и пусть < _L — квазиупорядочение в L( T , ц , R ), такое, что ф 1 < _L ф ₂ , если ф 1 ( t ) < ф ₂( t ) р -почти всюду в T . Наименьшую верхнюю грань для подмножества W с L( T , р , R ) обозначим через sup_L W , если эта грань существует для подмножества W в структуре частичного упорядочения < _L .

Определение 1 [4]. Рассмотрим оператор Y : П ^ L( T , p, R ), построенный согласно правилу

|| A ₂( t ) d ² q ( t )/ dt ² + A 1 (t ) dq ( t )/ dt +

n

T ( q , w o , K , w n ⁾⁽ t ^): =

+ A o( t ) q ( t )|| x (| w o( t ) Y • £ k < ¹ )II Z )⁴'^!-

если ( w o ( t ), k , W n ( t )) # 0 е U ;

0 е R , если ( w o ( t ),..., w_n ( t )) = 0 е U ;

следуя терминологии [12; 13], оператор (4) будем называть оператором Релея — Ритца .

В конструкции оператора ¥ корректно включение d ² q / dt ² е L₁( T , ц , X ).

Пусть Nс {(x,u,B1(x),k,Bn(x,.,x)) еП}, CardN<да и Q — не которое (т. е. любое) поглощающее множество в линейной оболочке Span N; в геометрии поглощающего множества следуем [8], т. е. и {aQ}a>0 = Span N. Фиксируя терминологию (мотивации см. в теореме 2 [4]), будем говорить, что пучок управляемых динамических процессов N регулярный для тройки оператор-функций (A0, A1, A2) гиперболической системы (3) в том и только в том случае, если имеет место следующее положение:

{ t е T : || A ₂( t ) d ² q ( t )/ dt ² + A 1 ( t ) dq ( t )/ dt + A ₀( t ) q ( t ) || _X = 0} ^

^ ^{{ t е} T ^:| | w 0 ⁽ t )H Y + E ||w _z .⁽ t )|| = ^0} (mod ц ), ⁽ q , w ₀^,...^, w n ) e ^Q .

• 1, . . , П

Замечание 2

• (i)    Если при анализе динамического пучка N обнаруживается

^и / = 1, k , n suPPlI ^B t ⁽ x , K , x ) II z = suPPlI x II x ^(mod E),

(x,u,B1(x),K,Bn(x,K,x)) e N, то пучок N будет регулярным для любой тройки оператор-функций (A0, A1, A2) e L1(T, ц, L(X, X)) x L1(T, ц, L(X, X)) x I (T, ц, L(X, X));

• (ii)    в силу теоремы 2 [4] и представления (2) N 1 , N ₂ из (1) суть регулярные динамические пучки.

Приведем необременительные исходные положения, уточняющие позицию (i) замечания 2.

Лемма 1 (модификация леммы 1 [6]). Если kerB 1 - 0, то динамический пучок N будет регулярным для любых оператор-функций A ₀, A 1 е L 1 ( T , ц , L ( X , X )), A 2 е I ( T , ц , L ( X , X )).

Следствие 1. Если(x,u,B1(x),...,Bn(x,k,x))еП и kerB1 - 0, то pv с pv , где pv, pv — соответствующие лебеговски пополненные о - алгебры следующих бихевиористических мер:

v( 5*).- J (u (т)| | Y + 21B i(x (т). • к,x(t))IIz ) ц( dT).

S                 i = 1, . , n

v_(S) := J||a2(t)d2x(t)/dT2 + A^t)dx(t)/dT + A0(t)x(t)||  ^(dT),

S если S е рц. При этом если ImB1 = Z 1, то

|| A(d2x/ dt2 + A1 dx/ dt + A0x ||X

о ^й                О 1 / О е L? (T. И.R) ^^

(I|U||Y +DBi( x... x)||Z) "1/2     2

i =1,..., n

|| A,d2x/dt2 + A.dx/dt + Ax |L 2                    1               0 X е L((T, ц R),

⇔

(|K + || x||X +21| Bi( x.....x )||Z)-,/( i=2,., n для                   любых                   оператор-функций

Ao, Ai е Li(T,ц.L(X,X)). A( е I (T,ц.L(X,X)).

Из функциональной конструкции (4) следует, что оператор Релея — Ритца удовлетворяет простым (но важным) соотношениям:

0

Теперь, прежде чем идти дальше, введем дополнительную терминологию.

Определение 2 [13]. Оператор Релея — Ритца назовем полуаддитив-ным с весом а е R на множестве E ^ П, если для любой пары (ф1, ф₍) е E х E справедливо

^(ф1 + ф()

Лемма 2. Полуаддитивность (с фиксированным весом) оператора Ре-лея — Ритца есть свойство конечного характера для подмножеств множества П.

Взаимоотношение между леммой 2 и леммой Тьюки (аналог леммы Цорна [8]) приводит к важной геометрической характеристике полуаддитивности оператора Релея — Ритца, а именно: в П существуют максимальные множества, на которых оператор (4) полуаддитивен с некоторым весом a > 0, при этом данные множества не могут быть линейными в случае а е (0,1) ; чтобы убедиться, достаточно рассмотреть действие Y на паре (ф, 0) е E х E, ф ^ 0, за исключением тривиального варианта E = {0} с П, именно поэтому ниже в лемме 3 (и по умолчанию дальше) предполагается, что вес полуаддитивности оператора Y — некоторая фиксированная постоянная а е [1, да).

Лемма 3. Пусть а е [1,да), тогда в П существует (не единственное) максимальное относительно теоретико-множественного включения линейное множество E, на котором функциональный оператор Релея — Ритца полуаддитивен с весом a .

Теперь задействуем конструкцию непрерывности оператора Релея — Ритца [14]. Для этого на линейном пространстве L(T, ц, R) будем рассматривать векторную топологию, порождаемую сходимостью по мере ц. Хорошо известно [8], что эта топология порождается квазинормой вида

Р(f, f2) := [ (1+ If (Т) - f_t(T) )   f,(т) - f,(т) | ц(dт);

T в данном контексте (L(T, ц, R), р) — полное квазинормированное [8] пространство.

В дальнейшем для любой функции f е L(T, ц, R)   через supp f := {t е T: f (t) * 0} будем обозначать ее носитель, определяемый с точностью до множества меры нуль.

Теорема 1. Пусть П* — конечномерное подпространство в П, и пусть (П*, р*) — метрическое пространство с метрикой

р*⁽⁽g, w0, K, wn^),(g ^к , wn )) ^:=P ⁽ll g IIX ,11 ill X ) ⁺

+ Р⁽||⁽w о,к , wn )| |U ,|⁽ 3?о,к, wn )||U ) + р^{Ц ((}w о,к, wn^),( T^W0^,K, w n )),

P"⁽⁽w 0,K, wn^),(iw0,., w n )) :=

^:= ² ' ц^(supp ||⁽Iw0, K, wn )IU a^supp ||⁽w), K, wn )|IU ),

(g, w0,..., Wn),(g, 1^0,K,wvn) е AC‘(T,X)xL^(T,ц,Y).

Тогда справедливы следующие утверждения:

*

• (i)    метрика р* не является квазинормой, при этом порождаемая р топология не будет векторной (операции векторного пространства П не являются непрерывными в данной топологии);

  । *

  
  

• (ii)    оператор Релея — Ритца T :(П*,р*) ^ (L(T,p,R),р) является непрерывным.

Следствие 2. (i) Метрическое пространство (П*, р*) полное, при этом класс фундаментальных последовательностей из (П*, р*) содер- жится (строго) в классе последовательностей Коши (П*,T), где T — топология, индуцированная в П* из L2(T, ц, X) x H 2;

(ii) метрика р* будет квазинормой, а топология T*, р^*, векторной, если

Vg^{е П}* \ ^{х₀h^{} :su}pp^|| g¹¹U^:= ^T(modp), где h е U, || h ||U := 1, при этом T * = T, а р -квазинормированный компакт.

пространства пространства

порождаемая

Т[П*]

—

• 3 Реализация полилинейного регулятора в конструкциях оператора Релея — Ритца

Теорема 2 [6] показывает, что следующая теорема может стать основой качественного анализа разрешимости (на нелинейных траекторных пучках) задачи реализации полилинейных регуляторов дифференциальных систем высших порядков, по существу развивая качественную геометрическую теорию векторных полей [9, с. 275] на траекторных многообразиях в бесконечномерной постановке.

Теорема 2. Если выполнены условия пункта (ii) следствия 2, то справедливо утверждение

*

3sUPl Т[П ] ^ р (SUPl Wn ,SUPL Wm )   n, m — > 0, где Wn =u {Vi : i = 1,k, n}, {Vp}p=12  — счетное семейство конечных p-1 - сетей в ^[П*].

Замечание 3. Пусть Wn = {^1,к,^k}, тогда sup_LWn = §1 v... v §_k , где

^'':= 2^-1(^'+^"+| £4''|).

Доказательство теоремы 2. (Установление ... ^ ...). Ясно, что множество W^ := и {V : i = 1,2,...} всюду плотно в ^[П*], причем, очевидно (в силу исходного условия для к ^ к и предложения 1 [8, с. 507]), существует sup_LW_юgL(7, р,R). Таким образом, достаточно показать, что ^^(sUPl Wn ^,SUPl Wm ) < P ^(SUPl Wn ^,SUPl W» ) ⁺P ^(SUPl Wm ^,SUPl ^Wю ) > ⁰ при n, m > 0 .

Рассуждаем от противного: пусть в {W_n}_n=12найдется счетное подсемейство              {Wk }k_eK ,              для             которого

Vk е K : р(sup_LWk,sup_LW_ю) < const = d₊. Тогда, поскольку имеется монотонная цепь

^SUPl ^W1 <L ^SUPl ^W2 <L к <L ^SuPl ^Wn<L ^SUPl ^Wn+1 <L - <L ^SUPl ^Wю , монотонность данной цепи влечет p(sup_LW_n, х ₀)< р^(suPl Wn+1,х0), откуда приходим к

3 d^{е (0,}d + ^]: р^(suP L Wn ^,SUPl ^W™ ) —> d , что противоречит следующему равенству:

t a ^SuP^{suPl Wi⁽t)^:i = ^1,2,K^}= ^SuPl ^wю ;

данное равенство означает поточечную сходимость {sup_LW_n} к sup_LW_ю , а значит, и сходимость по мере р, что, в свою очередь, равносильно сходимости р(sup_LW_n, sup_LW^ ) —_п>_ю > 0.

Установление .. о ..). Доказательство прозрачно в силу положения

X0 ^ь f^vf^e{supL Wn} c^L(T,ц,R)

и предложения 2 [8, с. 508]. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть N₁, N₂c П — пучки динамических процессов (1), (2). Тогда задача (3) разрешима, если оператор Релея — Ритца полуад-дитивен с некоторым весом на Span N1 + Span N₂.

Следствие 3. Пусть множества N1,N₂,.,N_k c П имеют реализации (2). Тогда U Ni — семейство решений системы (3) для некоторой упорядоченной системы (B+,., Bn ) g L ₂, если T полуаддитивен с весом на линейном многообразии суммы линейных оболочек этих множеств

П# := SpanN 1 + . + SpanN_k.

При этом если dim П# < да и

^g е П# \ {х0h} :supp|| g ||и:= T(modц), где h g U, || h ||U:= 1, то образ Т[П#] — p -квазинормированный компакт в L2(T, ц, R), причем

supl т[П#] = limр Xp : Р = 1,2,.} g L2(t,Ц,RX где ^ p := £, v . v ^ m(p), {^1,., ^m (p)} — некоторая (т. е. любая) конечная p-1 - сеть в Т[П#], lim p — предел в топологии, индуцированной квазинормой p .

Следствие 3 позволяет строить алгебру множеств динамических процессов с единицей U Ni, все элементы которой обладают реализацией с фиксированной моделью (3), при этом вопрос об «индивидуальном» характеристическом признаке дифференциальной реализации (т. е. условие (2)) для каждого отдельного динамического пучка Ni (i = 1,., k) особенно просто (конструктивно) решается на k -семействе «одноэлементных» пучков :

Ni = {(x, u ,B1( x), .,B n (x,., x)) i},

T((x,u,B1(x),...,Bn(x,.,x))i) g L₂(T,ц,R), i = 1,.,k, что есть аналитический факт теоремы 1 [4].

Если данные соотношения (или некоторые из них) не выполняются, то можно ставить задачу синтеза позиционных обратных связей (форм) B i gL (X , Zi), i = 1,., n, обеспечивающих означенные условия (2), при этом методологически эту задачу можно трактовать как структурную идентификацию нелинейной компоненты уравнения (3); в данном контексте см. положения работы [15].

Заключение

Конструкция функционального оператора Релея — Ритца и ее многочисленные модификации сыграли значительную роль в становлении современной дифференциальной реализации как самостоятельной, вполне оригинальной математической теории, которая выделяется не только своей внутренней цельностью и простотой, но и новыми приложениями в нелинейных обратных задачах математической физики. С ее помощью были получены яркие результаты, при этом технический уровень исследований и их интенсивность значительно выросли. Надо отметить, что это не сопровождалось ростом разобщенности данных теоретических изысканий и потерей естественности в математических постановках их сложных теоретико-прикладных задач, напротив, глубокий результат из одной области качественных исследований влиял, как правило, на другие разделы.

В настоящей работе продолжено изучение тополого-метрических свойств нелинейного оператора Релея — Ритца. Изложение велось в свете современных представлений о геометрии бесконечномерных векторных полей. На этой базе исследованы качественные вопросы существования решения обратной задачи нелинейного бесконечномерного системного анализа в области разрешимости операторной реализации инвариантного полилинейного регулятора нестационарной гиперболической системы, содержащей в качестве допустимых решений заданные неограниченные по мощности (конечные/счетные/континуальные) нелинейные пучки бесконечномерных управляемых (программно-позиционно) динамических процессов в сепарабельном гильбертовом пространстве.

В перспективе дальнейшего развития подобных исследований отметим, что общий случай, когда семейство моделируемых пучков лежит в равномерно выпуклом банаховом пространстве [8] и мощность семейства пучков ≥ ℵ₀, значительно сложнее. В качестве подзадачи данная постановка содержит теорию дополняемых подпространств банахова пространства (в том числе сепарабельного равномерно выпуклого), которая еще недостаточно разработана. При этом необходимо учесть, что в данном контексте не продуктивно изначальное допущение, что любое замкнутое подпространство исследуемого банахова пространства дополняемо, поскольку тогда это пространство, по существу, будет изоморфно некоторому гильбертову пространству (теорема 2.0 [16]).