К теореме о неявной функции для отображений классов Липшица

DOI:

Символом В ^п обозначим единичный шар пространства R ” с центром в начале координат, через В^(т) или а + тВ ^п условимся обозначать шар в R ” с центром а радиуса г >  0 . Обозначим через M ^m,n линейное пространство m х n -матриц с вещественными элементами. Для произвольной матрицы С Е M ^m,n ее норму | С | определим равенством | С | = sup | СД | .

| h | =1 , he R ™

Рассмотрим U — область в R ” и локально липшицеву вектор-функцию F : U ^ ^ R ^fc . Для множества К , содержащегося в U, символом Lip(F, К ) обозначим точную нижнюю границу тех чисел L , для которых выполняется неравенство | F(ж ₂ ) — F (^ 1 ) | <  <   L | ж ₂ — ж 1 | , ж ₂ ,ж 1 Е К. Если ж — точка дифференцируемости функции F (ж), ж Е U , то матрица Якоби функции F (ж) в точке ж обозначается F ' (ж).

Пусть U' — множество всех точек дифференцируемости функции F(ж). Для точки ж* Е U символом dF(ж*) обозначим производную Кларка [1; 4] функции F(ж) в точке ж* — выпуклую оболочку множества всех матриц М Е Mfc,n, для которых найдется такая сходящаяся к х* последовательность хр Е U‘, р Е N, что F‘(хр) ^ М при р ^ то.

Пусть W — область в R ⁿ х R ^m и F : W ^ R ^fc — липшицева функция переменных х Е R ⁿ и -у Е R ^m . Если (х, у) — точка дифференцируемости функции F(х,у) , то F x (х,у) — матрица Якоби функции F(х,у) относительно дифференцирования по переменной х при фиксированной переменной у и F y (х,у) — ее матрица Якоби относительно дифференцирования по переменной у при фиксированной переменной х .

Для каждой матрицы D , принадлежащей производной Кларка dF(х, у) , символом D _x обозначим к х п -матрицу, у которой столбец с номером г , 1 <  г <  п , совпадает со столбцом с номером г матрицы D , а символом D _y обозначим к х m -матрицу, у которой столбец с номером j , 1 <  j <  m , совпадает со столбцом с номером п + j матрицы D . Полагаем d x F(х, у) = { D x : D Е dF(х, у) } , d y F(х, у) = { D y : D Е dF(х, у) } .

Сформулируем и докажем основной результат работы. Эта теорема представляет собой теорему о неявной функции Ф. Кларка [1] и при этом получены новые оценки постоянной Липшица ее решений.

Теорема. Пусть U = В X ₀ (r i ) с R ⁿ , V = В ™ (Г 2 ) с R ^m и F : U х V ^ R ^m - отображение, удовлетворяющее условию Липшица в некоторой окрестности точки (х ₀ ,у ₀ ) и такое, что d _y F (х ₀ , у ₀ ) имеет максимальный ранг. Полагаем А = max    I D ^{- 1} • D _x\ ,

DedF ( x o ,y o )

Q = 8V1 + А 2 . Тогда для каждого А * , А < А * , существует R, 0 <  R <  min { r 1 ,r ₂ } , и единственное удовлетворяющее условию Липшица отображение G : /В (R) ^ ^ В ™ (QR) , для которого выполняются равенства

G(х o ) = у о , F(х,G(х)) = F(х о ,у о ), х Е В _х 0 (R),

и

| G(х 2 ) — G(х 1 ) | <   А * | х 2 — х 1 | , х 2 , х 1 Е В Х 0 (R).

При этом lim Lгр(G,В" ₀ (r)) <  А.

Доказательство. Для каждого 0 < е < 1 рассмотрим отображение Ф _е : U х V ^ R ⁿ х х R ™ , определенное соотношением

(х,у) ^ (X,Y ) = (х, у о + е 1 (F(х,у) — F (х о ,у о ))).

Производная Кларка д Ф _е (х ₀ ,у ₀ ) отображения Ф _е (х,у) — выпуклое компактное множество матриц

T       7 n

^n     Zm e-1Dx e-1Dy

,

где Z ™ — нулевая п х m -матрица, 1 _п — единичная п х п -матрица и D Е dF (х ₀ ,у ₀ ) .

В дальнейшем нам понадобится оценка сверху для

Отметим, что для матрицы М = ^

ная матрица

М ¹ имеет вид

—

I n

D y^T D _x

I n ^^-1Dx 7,^{п z} m e ^D —

Z ^{п Z} m ^-^Dy

max | M 1 | .

M G д Ф _E ( x o ,y o )

^, где D Е dF(х о ,у о ), ее обрат-

^ . В самом деле,

I n ^^-1D x

у п

^Z m e - 1 D y

х—

T7

1 nm

-1

^D y ^D x ^eD y

) = ( е- i D x

T7

^n

— е 1Dx

^   ^I n l m ^.

Пусть (u,y) G R ” x R ^m . Тогда

|M - 1 (u_/U) \ ² < | u | ² + \ D y ¹ • D_x \ ² | u | ² + e ² | D ^{— 1} 1 ² H²

и

\м - 1 \ <    1 +Д 2 + e ² i d- 1 | ² < У 1 ■ A ² ■ A/. ² ,

где L = max    \ D - \ — некоторая постоянная. Для дальнейшего существенно лишь

DE8F Ь,у о ) ^{1 у 1}

то, что L <  то . Это можно доказать, например, воспользовавшись известным неравенством [3, с. 157]

\ ^D -i

—

^D 0 y 11 <  1

^{| D} 1 y

—

D o - |

^\ ^D \ ² , ^D 0 y |

которое выполняется при условии | D _{1 y} — D _{0 y} | < \ D _{0 y} ¹ \

¹ , где D i ,D 2 G dF (х о ,у о ), и по-

казывает, что функция \ D - ¹ \ непрерывна, а значит и ограничена на компакте dF(х ₀ ,у ₀ ).

Полагаем 5 ( e ) =

V 1+A ² + e ² L 2 .

Пользуясь (1) при выполнении условия

0 <  e <  e ₀ = min

V1+A ²

4V1 + A ² ,    L

,

имеем

\ M ^{- 1} \ ¹

>^; А ■ A ² ■ A L ²

= 5(e)

>

> 5(e) —

e = -

—

e V 1 +A ² + e ² ! ²

V 1 + A ² + e ² ! ²

>

> 1 — e ^/2(1 +A ² )

-   ^2(1 +A ² )

1      1

> 4 VI+a²

= 2k.

Всюду в дальнейшем мы считаем, что

0 <  e <  e ₀ = min

\ 1 ■ A ²

4V1 + A ² ,   L

и

k =     ; ¹      .

8V1 + A ²

Покажем, что для любого единичного вектора u G R ” ^{+ m} найдется такой единичный вектор w G R ” ^{+ m} , что для всех M G д Ф _Е (х ₀ ,у ₀ ) выполняется

( w, Mu' ) >  5 ( e ) .

Для этого заметим, что min I min | Mu | I >  5 ( e ) . В самом деле, функция м е д Ф _Е ( ж о ,у о ) \|и | =1 )

| Mu | непрерывна на компакте дФ _Е (х ₀ ,у ₀ ) x S , где S — единичная сфера с центром в начале координат в R ” ^{+ m} . По теореме Вейерштрасса найдется такой (M ₀ ,u ₀ ) G G д Ф _Е (х ₀ ,у ₀ ) x S , что | Mu | > | M ₀ u ₀ | для всех (M, u) G д Ф _Е (х ₀ ,у ₀ ) x S . Тогда, пользуясь (2), имеем

5 ( e ) <     min \ M ¹

м е д Ф _Е ( ж о ,у о )

1 <| M - \

1 _<

< М - ¹ • тгг-^Ц   = | М₀«₀ | = min     f min | Ми |^ .

“   °   | М ° Ы ° |      ^{1 u U|} м es-M^ ) \M=1'     7

Пусть v eS. Выпуклое множество {Mv : М Е дФе(х°,у°)} и шар В°+т(5(е)) не пересекаются, поскольку из неравенства (4) следует |Mv| > 5(е). По первой теореме отделимости выпуклых множеств [2] найдется такой вектор W Е R”, что sup    (W, v) < inf    (W, Му).                     (5)

-_U£B 0; ^+m ( 5 ( e ))              ^м е д Ф _Е ( ^ 0 ,У 0 ⁾

Полагая w = Жт, поделив (5) на | W | , получаем 5(е) = sup ( w,v ) < ( w, Mv ) для ^ e B "^+m ( 5 ( e ))

всех M Е д Ф _е (х ° ,у ° ), что и доказывает (3).

Производная Кларка произвольного липшицева в некоторой окрестности точки а Е Е R ^p отображения G : R ^p ^ R ^p обладает следующим замечательным свойством [1]: для каждого е * > 0 найдется такое г * >  0 , что условие х Е В ^р (г*) влечет включение дG(x) С дG(а) + е*В^у,р, где В ^у,р — единичный шар в пространстве q х р матриц. Пользуясь этим, для каждого е, 0 < е < е ° , выберем такое г(е) > 0 , что из соотношения (х,у) Е В^ + т ) (г(е)) следует дФ е (х,у) С дФ _Е (х ° , у ° ) + ^^ВМ ^п+т (здесь ВМ ^п+т — единичный шар в пространстве (п + т) х (п + т) матриц).

Для любого единичного вектора v Е R ⁿ + ^m найдется такой единичный вектор w Е R ⁿ + ^m , что для всех и М Е д Ф _е (х ° ,у ° ) выполняется неравенство (3) ( w, Mv ) >  5(e). Выбирая для произвольной матрицы М 1 Е д Ф _е (х,у) , (х,у) Е В^ ^ ) (г(е)), такую матрицу М ° Е д Ф _е (х ° ,у ° ) , что | М 1 — М ° | <  ^т и пользуясь следствием неравенства Коши — Буняковского | ( w, (М ° — М 1 ) v ) | <  Vп + т | М ° — М 1 | , имеем на основании (3),

( w, M ₁ v ) >  ( w, M ° v ) — ( w, (М ° — М 1 ) v ) >  5(е) — е.                (6)

Покажем, что если (х 2 , У 2 ) и (х 1 ,^ 1 ) лежат в В (” + т ₀ ) (г(е)) , то

^{| Ф} е ^(х 2 ,У 2 ) ^{— ф} е ^(х 1 ^,У 1 ^{) |} >  ^{( 5 ( е ) — е )}К^х 2 ,Ы ^{— (х} 1 ,У 1 ) | .

Пусть b = (х ₂ ,у ₂ ), а = (х 1 ,^ 1 ) и v = -—д , I = | b — а | . Пусть П — гиперплоскость, перпендикулярная v и проходящая через а и пусть п(х, у) — проекция R ” х R ^m на П . Множество всех тех точек из гВ , в которых F(х,у) не дифференцируема, имеет меру 0 и по теореме Фубини для почти всех а* из П \ п(М П гВ) отрезок [а * , а * +vZ] пересекается с М на множестве линейной меры 0 . Выберем последовательность а*. Е П \ п(М П гВ ) , сходящуюся к а . Тогда каждая из функций

Ф е (а * + tv), t Е [0,Z]

имеет на [0, Z] производную Фе‘(а* + tv)v и i

Ф е (b * ) — Ф е (а * ) = W Ф е ‘ (а * + tv)vdt, где b * = а * + vZ.

°

Выберем согласно (6) такой единичный вектор w , что для всех М Е д Ф _е (х ° ,у ° ) + + V n+т ВМ ^п+т выполняется неравенство ( w, Mv ) >  5(е) — е.

Тогда

( w, Ф _Е (b_k ) — Ф _Е (а £ ) } = W ( w, Ф/ (a*_k + ty)y ) dt >  (5(e) — e)Z = (5(e) — e) | b — a | . 0

Пользуясь неравенством Коши — Буняковского и переходя к пределу при к ^ то , приходим к соотношению

| Ф е (Ь) — Ф е (а) | >  (5(e) — e) | b — а | >  2k | b — а | .                        (7)

Лемма 1. Справедливы включения

^ ^в г +^(£))                 (8)

^ф £ (^ (^ 0 ) ^(£ 0 ))

⁰<  ^£< ^£ 0 , ^к = 8^ .

Доказательство. Покажем справедливость первого соотношения из (8). Пусть (ж * , у * ) — некоторая фиксированная точка из В^ ^ ) (кг(е)) и пусть (ж _ц ,у ^ ) — точка минимума функции | (ж * , у * ) — Ф _£ (ж,у) | ² на В^ ^ ) ( ^ ( е )) - Предположим, что минимум достигается на 95^0 ) (г(е)) — границе шара В^^ ) (г(е)). Тогда | (ж _ц ,у _ц ) — (ж о ,У о ) | = = г ( е ) . Далее, в силу (7),

| Ф е (ж _ц ,у _ц ) — Ф е (ж о ,У о ) | >  2кт(е)

I (ж * , у * ) — Ф^уЛ < | (ж * ,у * ) — ф . (ж о ,у о ) | = | (ж * , у * ) — (ж о , у о ) | < г(£)к.

Отсюда кт(£) > |(ж*,у*) — (жо,уо)| = |(ж*,у*) — Фе(жо,уо) | >

>^{| ф} £ ^(ж ц ^,у _ц ^{) — ф} £ ^(ж о ^,у о ^{) | —} к^у * ) ^{— ф} £ ^(ж ц ^,у _ц ^{) |} >

> 2кт(е) — т(е)к >  г(е)к.

Полученное противоречие означает, что минимум функции | (ж * ,у * ) — Ф _£ (ж,у) | ² достигается внутри шара В^ ^ ) ^ж ( е ) - По теореме 2.6.6 из [1] это означает, что 0 содержится в множестве 2((ж * ,у * ) — Ф _£ (ж _ц ,у _ц ))ЭФ _£ (ж _ц , уД но каждый элемент множества дФ _£ (ж,у) — невырожденная матрица и поэтому (ж * ,у * ) = Ф _£ (ж ц_ ,у _ц ). Итак, выполняется первое из утверждений (8).

Покажем, что

^Ф £ (^В(Х :?0 ) ^(£ о )) Э ⁵^ ) (^кг(£ о ))

для ε

< £ _о . Пусть Ф _£ : R ⁿ х R ^m

I n

Z m n

7 n ^ m

^ R ⁿ х R ^m — линейное отображение с матрицей

⁽ ^ 0 ^)I m

. Из соотношения

Ф е (ж, у) = (ж о ,у о ) + ^ф £ о (Ф е о (ж, у) — (ж о ,у о )),                      (9)

учитывая неравенство £ ⁰ > 1, имеем

Ф^^ВМ^ = (х о , У о ) + Ф _£ (Ф _£ 0 (В& - _{О )} г( _£ о )) - (х о ,У о )) Э

Э (х о , У о ) + Ф _£ (г (£ о )кВ э (х о , У о ) + г(. о )кВ

Лемма 1 доказана.

В дальнейшем полагаем

,      1          V 1 + А ² + £ ² L ²

L(£) =           =.

5(£) - £   1 - £ V 1 + А ² + £ ² L ²

Для каждого £, 0 < £ <  £ _о на шаре В^ ^ ) (кг(£_о}) определены функции

Ф-1 ^о^о)

удовлетворяющие на В ^^ ) (кт(£У), согласно (7), условию Липшица

|Ф-1(%2,У2) - Ф-1 (X1, Y1)| < L(£)I(X2,Y2) - (X1, Y1)|.

Из (9) следует, что некоторому условию Липшица Ф-1(X,Y) удовлетворяют и на В(L+m0)(г(£о)). Отображения ФЕ(х,у) были определены так, что обратные к ним имеют вид х = X, у = 0£(X,Y).

Уточним свойства функций 0_£(X, Y) .

Лемма 2. Справедливы неравенства:

• 1)    | 0_£(X 2 ,Y > ) - 0_£(X 1 ,Y 1 ) | <  L £ ²     1 V: X 2 . Y 2 Y ² , (X 1 ,Y 1 ),

(X 2 ^,Y 2^ Е^В (+₀ ^т _у0 ) ( ^к г(£))-^;

• 2)    | ©_£(X 2 ,Y > ) - 0_£(X 1 ,Y 1 ) | <

  ≤

  
  

  ^{(L( £} 0 ^{) 2 -} 1) ^{| X} 2 ^{- X} 1 | ² +

  
  

  ( ££ о ) ² L ² (£ о ) | Y 2 - Y 1 | ² ,

  
  

(X 2 ,Y 2 ), (X 1 ,Y 1 ) _е В (_ж- 0 т о ) (кг(£ о )).

Доказательство. Как следует из (10),

| Ф - ¹ (X 2 , Y > ) - Ф - ¹ (X 1 , Y 1 ) | ² = | (X 2 , 0_£(X 2 , Y > )) - (X 1 , 0_£(X 1 , Y 1 )) | ² =

= | X 2 - X 1 | ² + | 0_£(X 2 , Y > ) - 0_£(X 1 , Y 1 ) | ² <  L(£) ² ( | X 2 - X 1 | ² + | Y > - Y 1 | ² ). Отсюда

| 0_£(X 2 , Y 2 ) - 0_£(X 1 , Y 1 ) | < V (L(£) ² - 1)( | X 2 - X 1 | ² + | Y 2 - Y 1 | ² ,

(X 2 ,Y 2 ), (X 1 ,Y 1 ) _е В (_ж- 0 т о ) (кг(£)).

Докажем утверждение 2). Согласно (7)

или

^{| Ф} £ 0 ^{( x} 2 ,y 2 )

—

^Ф £ о 'Gr., ^ 1 ) ² >  ^{L 2} ( ^£ ° ,) (^x 2 • y 2 ) ^— (Gr , , ^ l | ²

^£”^ ^{| F(r} 2 ^,y 2 ) ^{— F (r} 1 ^,y 1 ^{) | 2} + ^{| r} 2 ^{— r} 1 | ² >^{L 2 ( £} 0 ^{)( | r} 2 ^{— r} 1 | ² + ^{| y} 2 ^{— y} 1 ^{| 2 )}.

Умножая последнее неравенство на ( £ 0 ) ² и прибавляя справа и слева (1 — ( £ 0 )²) х х | x ₂ — x 1 | ² , получим

| Ф_£(Ж 2 ,^ 2 ) — Ф_£(Ж 1 ,^ 1 ) | ² = ^ £ ^ | F (Х 2 ,У 2 ) — F (Х 1 ,У 1 ) \ ² + | r 2 —

Ж 1 | ² >

> (( "£ ° ) L 2 (£ ° ) + 1 — ( £ ) ) | r 2 — r i l ² + ( "£ ° ) L ² (£ ° ) | У 2 — У 1 | ² .

Сделаем в этом неравенстве замену переменных ( x,y) = Ф ^{- 1} (X, Y) = (X, H_£(X, Y)). Получим

^{| X} 2

—

X + Y — Y >

Отсюда

и

>

( ( ££ ° ) ² l ^{- 2}( £ o ) +1 — ( £ 0 )²) ( | X 2 — X i | ² + + ( £ 0 ) 2 L ^{- 2} (£ o ) | H £ (X 2 , Y 2 ) — H _£ (X 1 , Y 1 ) | ² .

( 1° ) ^{(1 — L 2 ( £} 0 ^{)) | X} 2 ^{— X} 1 | ^{2 + | Y} 2 ^{— Y} 1 | 2 > > ( £ ° ) ² L ^{- 2}( £ o )|H_£( X 2 ,Y > ) — H(X 1 ,Y 1 ) | ²

^(L 2 ( ^£ c ) ^{— 1) | X} 2 ^{— X} 1 | 2 + ^£~^ ^L 2 ( ^£ 0 ^{) | Y} 2 ^{— Y} 1 | 2 >

> Н X,Y 2 )

—

Н (X i ,Y . ) | ² .

Лемма 2 доказана.

Из соотношения

(X,Y) = Ф^Ф; 1(X,Y)) = (X,y° + £-1(F (X, Н (X,Y)) — F(x°,y°))), (X,Y) G B^o )(t(£o )), следует, что

F (X, Н (X,Y )) = F(x o ,y o ) + £(Y — y ° ), (X,Y ) G B^ /r^)).

Полагаем G^) = 0 ₆ (х у о ). Так как Ф _£ (В ”+ ^(фо ))) содержит шар В ^+^ кфо )) , то функция G _£ (х) определена на В ”_о (кг(£ ₀ )) и принимает значения в В ™ (г(£ ₀ )). Из равенства F (X, 0 _£ (X, Y)) = F (х ₀ ,у ₀ ) + £(Y — у ₀ ) следует, что

F (х,^ £ (х)) = F(х о ,у о ), х G В ” 0 (кг(£ о )),                       (11)

и так как (х ₀ ,у ₀ ) — неподвижная точка отображений Ф _£ (х,у) , то

G^ o ) = 0 £ (х о ,У о ) = У о .

По лемме 2 функция G _£ (х) удовлетворяет условиям Липшица:

| G _e^ 2 ) — G _e (^x 1 ) |< У L(£) ² — 1 | х 2 — х 1 | , х 2 ,х 1 G В " 0 (кг(г)),          (12)

| ^ £ ^(х 2 ) ^— С £ ^(х 1 ) | <  А^ ^{i( £} 0 ^{) 2}

-

1 | х 2 — х 1 | , х 2 ,х 1 G В " 0 (кт(£ о )),

где

а/ ОД² — 1 =

J А ² + 2c V 1 + А ² + £ ² L ² + £ 2 (1 + А ² + L ² + £ ² L ² )

1 — £ V 1 + А ² + £ ² L ²

.

Покажем, что G _£ (х) не зависит от £, 0 < £ <  £ 0 . Если в некоторой точке х G G В ” 0 (кг(£ ₀ )) выполняется G _{£ 1} (х) = G _{£ 0} (х) , то поскольку все Ф _£ (х,у), 0 < £ <  £ 0 взаимно однозначны, то Ф _{£ 0} (х, G _{£ 1} (х)) = Ф _{£ 0} (х,G _{£ 0} (х)). Но в силу (11) Ф _{£ 1} (х, G _{£ 1} (х)) = = (х, 0 _т ) и Ф _{6 1} (х,G £ o (х)) = (х, £ - 1 (F(х,G £ o (х, у о )) — F(х о ,у о )) = (х, 0 _т ). Полагаем G(х) = G _£ 0 (х). Отображение G : В ” 0 (кг(£ ₀ )) ^ В ™ (г(£ ₀ )) удовлетворяет равенству F(х, G(х)) = F(х ₀ ,у ₀ ), х G В ” 0 (кг(£ ₀ )), и единственно. В самом деле, если (х,у) G ^{G В}” (И^)) х ^в ™ ⁽r⁽£ o )) С В ^+Х/Фо )) и ^F(х,у) = ^{F(х,G(х)) ,} то ^ф £ о ^(х,у) = = Ф _{£ 0} (х,G(х)) , то есть у = G(х) .

Для завершения доказательства отметим, что пользуясь (12) для каждого А * , А < < А * , мы можем выбрать такое £ 0 , £ 0 <  min { ₄^ 1+д 2 , ^ 1+^А 2 }, что // L(£) ² — 1 < А * , для всех £, 0 < £ < £ 0 . Затем, полагаем R = кг(£ ₀ ), QR = г(£ ₀ ) = R/к. Функция G : В ”_о (R) ^ В ™ (QR) удовлетворяет всем заключениям теоремы и, как следует из (12), lim Lip(G, В " (г)) <  А. Теорема доказана. г ^ 0+            ⁰

Из этой теоремы получаем следствие.

Следствие. Пусть U — область в R " и отображение F : U ^ R " — липшицево. Если dF (а) , a G U , имеет максимальный ранг, то существует такая окрестность V точки а, что F гомеоморфно на V, а отображение F ^{- 1} : F(V) ^ R " липшицево на F(V). При этом lirn^Lzp(F ^{- 1} ,В р ( _а ) (г)) <  max | В ^{- 1} | .