К теории гамильтоновых систем со связями

Теория гамильтоновых систем (ГС) со связями, обобщающая классическую гамильтонову теорию, была создана и развита П. Дираком [1]. Исходным началом обобщенной гамильтоновой теории явилось фундаментальное понятие гамильтониана с сингулярным лагранжианом или, иначе, обобщенного гамильтониана [2, с. 258].

Здесь сингулярность функции Лагранжа L (q, q) понимается в том смысле, что ранг его гессиана относительно обобщенных скоростей есть rang

д ² L ( q , q ) ^д q у ^д q a

= m <  n

^{( m} >  1),   ⁽¹⁾

где 0 <  ( у , a ) <  n , n - размерность пространства обобщенных координат ( q 1 , ... , q_n ), m -заданное фиксированное натуральное число.

Согласно условию (1) только m уравнений, определяющих обобщенные импульсы (p i, ... , pn), являются независимыми относительно обобщенных скоростей (с^,..., qn ). Эти независимые уравнения определяют обобщен- ные скорости (qx,..., qm ) как функции обобщенных координат (q1, . , qn), обобщенных импульсов (рх,..., рт ) и остальных оставшихся обобщенных скоростей (qm+1, ..., qn).

Соотношения, не зависящие от обобщенных скоростей ( q_x ,..., q_n ) в силу условия (1), имеют вид [2, с. 259]

P m + r = P m + r ⁽ q i ,..., q n ; P 1 ,..., P m ) ⁽²⁾ ( r = 1,..., l ).

Таким образом, для ГС с сингулярным лагранжианом имеют место зависимости (2), которые представим в виде

Ф r ( q , Р ) = 0 ( r = 1,..., l ) (3) и назовем уравнениями связей [2, с. 259], где обозначено q = {q_} }, p = { p_} } ( j' = 1, ... , n ). Здесь Ф_г - заданные функции класса C²( q , p ), определенные на гладком многообразии их допустимых значений; { … } -символ множества заданных функций.

Каждой заданной связи из множества (3) с выбранным уравнением поставим в определенное однозначное соответствие постоянный множитель Л г ( множитель связи ).

В дальнейшем всюду рассматривается только случай ГС с одной наложенной связью (при значениях r = l = 1, Л = Л ).

Динамические системы с наложенными связями вида (3) называют связанными системами [1; 2, c. 259] или системами со связями. Канонические уравнения этих систем следуют из принципа стационарного действия по Гамильтону (с учетом зависимостей между вариациями 8 qj и 8 p ■ ( j = 1,..., n )) и имеют вид [2, c. 260]

Выражение (6) является кососкалярным произведением векторов скоростей фазовых потоков с функциями H , Ф и однозначно определяет билинейную кососимметрическую операцию [3, c. 276].

Матричное выражение соотношения (6) представимо в виде

[ H , Ф ] = JIJ T ,

I =

E

- E

дH , ЭФ q ; =--+ л —, дPj    дPj

P j

д H   . дФ

Л-- ^д q j     ^д q j

( j = 1,..., n ),

где H = H ( q , p ) - функция Гамильтона; q j , p j - локальные симплектические координаты - все функции класса C² ( q , p ), определенные в пространстве R ^{2 n} ; 2 - множитель связи.

Вводя приведенную функцию Гамильтона

H * = H ( q , p ) + Л Ф ( q , p ),

представим ГС (4) в классической форме:

q j

H ^д р_} ’

p j

d H ^д q j

( j = 1, ..., n ).

В дальнейшем пространство K динамических состояний ГС (5), относящееся к полной совокупности упорядоченных пар канонических переменных ( q , P ) , понимается как тензорное произведение всех подпространств K j , соответствующих каждой отдельной упорядоченной паре канонических переменных

K = K 1 ® ... ® K _n .

Для дальнейшего введем скобку Пуассона функций H ( q , p ), Ф ( q , p ), определен-

ных в координатном симплектическом пространстве R ^{2 n} ( q , p ) :

[H, Ф] =t      '  = j=1 д( qj, Pj)

n

= E j=1

( дH дФ дH дФ ^

—

^д qj д Pj   д Pj д qj

.

где J - симплектическая матрица Якоби формата (2 n х 2 n ) канонического преобразования; I - единичная симплектическая матрица формата (2 n х 2 n ) в базисе ( q , p ); E , 0 - единичная и нулевая матрицы формата ( n × n ), соответственно [4, c. 15].

2. Свойства движениягамильтоновой системы со связью

Установим некоторые свойства движения ГС (4), находящейся на одной фиксированной связи с уравнением типа (3).

Для ГС (4) имеет место следующее

Утверждение 1 . Для того чтобы ГС (4) имела первый интеграл

H ( q , p ) = h   ( h = const),        (7)

необходимо и достаточно, чтобы при произвольных значениях множителя связи λ ≠ 0 выполнялось условие

[ H , Ф ] = 0,              (А)

где [ … ] - символ скобки Пуассона (6).

Доказательство проводится стандартно на основе системы уравнений (4) в силу равенств (6), (7).

Следствие. Производная от функции Ф по направлению фазового потока с гамильтонианом H при условии (А) равна нулю. □

Установим аналитическую взаимосвязь между элементарным действием по Гамильтону и функцией Пуанкаре для ГС, находящейся на связи и подчиняющейся динамической системе (4).

Введем билинейную форму W от 2 n канонических переменных

n w (q, p) = (q • p) = E qjPj, j = 1

определенную в действительном пространстве R ^{2 n} , для которой в силу уравнений системы (4) имеем

n w (q, p) = E Wj (q, p) - af (q, p).   (8)

j = i

В равенстве (8) обозначено

n

F (q, p) = E fj (q, p), j=i wj

—

д H    д H

—qi + — Pi , ^d q j     ^d Pj

дФ    дФ f j = г qj r   pq дqj     д Pj

( j = 1, ..., n ).

В равенствах (9) F ( q , p ) - присоединенная функция первого рода - характерная функция, обусловленная наложенной связью типа (3):

Ф ( q , p ) = 0. (В)

Введем функцию Пуанкаре [5, c. 26-28] V такую, что дH

V ⁽ q , p ) = H ^— E ^q j . j ^i^д q j

Согласно представлению (10), функция V определяется с точностью до аддитивной постоянной, значение которой зависит от величин параметров начального состояния ГС.

Исключая из равенств (8), (10) величину

EE ( д H/ д q ,) q j j = 1

в результате получаем

д H

W = V — H + E —Pj — AF (q ,p), (11) j^1 дPj где функция F определяется равенством (9).

Поскольку, как известно [6, c. 60], h (q, p) =iPjq j — l , j = 1

где L - лагранжиан системы, то для ГС имеем

n

H dt = E Pjdqj — Ldt • j=i

Отсюда, согласно соотношениям (9), (11), находим d (W — V) =EPjdqj — (H + AF) dt. (12) j = i

Из равенства (12) следует

Ldt = d (W — V ) + A F ( q , p ) dt .     (13)

Последнее слагаемое правой части уравнения (13) является элементарным варьируемым остатком с коэффициентом (множителем связи) λ .

Пусть фазовая точка ( q , p ) ГС (7) с приведенной функцией H находится в действительном фазовом пространстве R ^{2 n} . Тогда в силу соотношения (13) имеет место следующее предложение.

Утверждение 2. В действительном движении по прямому пути элементарное действие по Гамильтону L dt для ГС со связью (В) выражается полным дифференциалом разности между билинейной формой W канонических переменных и функцией Пуанкаре V , сложенным с элементарным варьируемым остатком λF . □

Введем расширенное пространство конфигураций ГС R ^{n +1} и рассмотрим движение изображающей точки M ( t , q. ( t )) по прямому пути из конфигурации M_x ( t j, qj ( t )) в конфигурацию M ₂ ( t₂ , qj ( t₂ )) ( j = 1, ... , n ). Здесь имеет место следующее положение.

Утверждение 3. Условие для вариации з (W — V )| M2 = 0           (14)

на прямом пути из конфигурации M 1 в конфигурацию M 2 , совершаемом ГС, является необходимым условием.

Доказательство производится с применением известного стандартного приема на основе соотношения (13). □

Рассмотрим предложение, обратное утверждению 3.

Утверждение 4. Если в пространстве конфигураций R ^{n +1} при движении изображающей точки M ( t , q. ( t )) по некоторому пути M 1 M 2 из конфигурации M j ( t j , q_} ( t_x )) в конфигурацию M ₂ ( t ₂, q_} ( t₂ )) ( j = 1, .•., n ) выполняется условие (14), то этот путь ГС является прямым, а данное условие - достаточным.

Доказательство. Пусть дана вариация

A= S ( W — V ) M ²           (15)

и выполняется условие (14).

Тогда, учитывая свойство изохронности варьирования и условий равенства нулю значений всех вариаций δq j в граничных точках траектории M 1 M 2 (условий закрепления граничных точек траектории [3]), в результате вычисления вариации (15) получим

t 2

эквивалентной динамической системе (5). Здесь […] - символ скобки Пуассона (6)

(коммутатора двух векторных полей на заданном многообразии).

Из системы уравнений (18) следует qj = [qj, H*],  Pj = [Pj, H*]      (19)

n

W Z( U j S P j

^“

t 1

_ J = 1

V.5q_}) dt = 0.    (16)

Функции Uj, Vj , ствами

определяемые равен-

^uj ( q , p ) = q i j

—

dH d Pj

—

a F • ^d P j

V j ⁽ q , p ) = P j

+

d H  , дФ

---+ A ----, ^d q j     ^d q j

( J = 1,..., n ).

Получим условия, налагаемые на функции H , Ф , при выполнении которых консервативная ГС, находящаяся на связи (В), достигает нормальной конфигурации (17) без применения преобразования регуляризации натурального времени t [7; 8, c. 57, 58]. Для этого из заданного многообразия гамильтонианов H ( q , p ) выберем класс функций, подчиненных условию

где j = 1, ... , n , принадлежат классу C⁰( q , p ).

Из соотношения (16) непосредственно следует система уравнений (4), что и устанавливает достаточность условия (14).

n

^{H (} q , p ) = Z Hi ⁽ q j , P j ).

j = 1

3. Нормализация динамической системы

Рассмотрим консервативную механическую систему с n степенями свободы. Положим, что эта система в пространстве динамических состояний R2n образует нормальную конфигурацию M (q, p), если существует преобразование приведения системы ее уравнений движения к нормальной форме (нормализация) - каноническому виду qj — °j qj = 0, pj — ajPj = 0 (17) (J = 1,...,n), где Qy, №j - заданные характерные постоянные, в общем (некритическом) случае, отличные от нуля.

Каноническая ГС (17) отвечает нормальной конфигурации как по всем обобщенным координатам q j , так и по всем обобщенным импульсам p j .

Состояние консервативной ГС, находящейся на связи (В), характеризуется, согласно [6, c. 111], канонической по H системой уравнений qj =[qj,H* I, pj =[Pj ,H*] (18)

( J = 1,..., n ),

Это условие определяет гамильтониан как суперпозицию функций-представитилей одного и того же класса, каждая из которых зависит только от одной определенной пары канонических переменных.

Пусть F ( q , p ) ( i = 1,2) - заданные функции класса C²( q , p ), определенные в области возможных значений евклидова координатного пространства R ² n . Введем дифференциальные операторы D_} , Ej от функций F , F по симплектическим переменным

q j , p j такие, что

^Dj ( F F 2 ) =  -

|_^d P j

E j ( F 1 , F 2 ) =

( J = 1,

F ,

F 2

dF dqj

.., n ).

Согласно уравнениям (17)-(19), условия, которым должны подчиняться функции H , Ф для существования полной (по всем каноническим переменным) нормальной конфигурации ГС (17), определяются равенствами

D j ( H , H ) + A [ D j ( H , Ф ) + D j ( Ф , H )] +

+ A² D j ( Ф , Ф ) = ° j q j ,         (20)

E j ( H , H ) + A [ E j ( H , Ф ) + E j ( Ф , H )] + + A ²^( Ф , Ф ) = _а^ ( j = 1,..., n ).

В некоторых частных случаях формы выражений (20) могут быть упрощены.

Рассмотрим случай динамической системы (17), при котором для ненулевых значений постоянных параметров имеются условия

^ j = 1 j   ( j = 1,..., n ).          (21)

Для линейной системы условия (21), являющиеся частотными ограничениями, соответствуют случаю 2 n -мерного изотропного линейного осциллятора.

Введем дифференциальный оператор Z j такой, что

₇      л  ⁵ X    8X

Z j ⁽ X ; q , p ) = —q j + —P j д Qj     дPj

(j = 1,..., n), где X (q, p) - функция класса C2 (q, p).

Докажем следующее предложение.

Утверждение 5. Пусть ГС (4) при условиях (21) допускает нормальную конфигурацию вида (17) по всем каноническим переменным. Тогда для данной системы имеют место первые интегралы вида

Zj( H; q, p) + AZj^; q, p) = hj (23) (j = 1,..., n), где hj - постоянные интегрирования; Zj (X) -характерные функции (22), обусловленные наложенной связью (В).

Доказательство. Если переменные qj, pj удовлетворяют уравнениям системы (17) при условиях (21), то при произвольных значениях параметра λ ≠ 0 имеют место соотношения qjpj-pjqj = 0   (J = 1,...,n), в результате интегрирования которых находим первые интегралы qjPj - pjQj = hj (j = 1,-..>n).    (24)

Здесь h j - постоянные интегрирования.

Из интегралов (24) в силу уравнений системы (4) получаем интегралы вида (23). □

Величины Zj ( Ф ; q , p ) называются присоединенными функциями второго рода (по аналогии с функциями f j (9)).

Следствие. К интегралам (23) системы (17) следует присоединить первые интегралы

N j ²( q , p ) = 1 j q j + a ²,

M j ² ( q , p ) = j + в , где обозначено

д H   . дФ  „ N =--+ A --, M, = j   д P j      д P j       j	д H   дФ + A д q j      д q j
( j = 1,..., n ).

Эти интегралы, справедливые в общем случае, при ty ^ Q_y■, следуют непосредственно из уравнений системы (17) в результате их прямого интегрирования, а также в силу системы уравнений (4). Здесь a , в -произвольные постоянные интегрирования. □

Введем неособое интегральное преобразование, относящееся к регуляризующей переменной τ = τ (t), имеющее вид т = fu-1 ds (t е [0, +®)). (25) 0

В равенстве (25) u = u ( q ( t ), p ( t ) ) ^ 0 -функция класса C⁰( q , p ), определенная в той области фазового пространства R ^{2 n} , в которой задана ГС (4).

Далее предполагается, что данная система, в отличие от системы (17), определяется при условии (21) каноническими уравнениями

q'j - 1 jQj = PPj, P'j - 1 jPj = PQj (26) (j = 1,..., n).

В уравнениях (26) p ( т ), Qj ( т ) - функции класса C⁰( q , p ) , определенные для переменной т е [0, + » ), заданной равенством (25); μ - постоянный размерный параметр; штрих обозначает дифференцирование по переменной τ (приведенному времени).

Динамическая система (26) отвечает 2 n -мерному линейному осциллятору, траектории которого на фазовой 2 n -плоскости для малых значений параметра μ и каждого фиксированного значения индекса j , 1j >  0 - незамкнутые гладкие кривые, асимптотически при τ → + ∞ удаляющиеся в бесконечность и в пределе при ( Pj , Qj ) ^ 0 асимптотически приближающиеся к ветвям семейства гипербол.

Докажем следующее положение.

Утверждение 6. Если ГС (4) в силу регуляризующего преобразования (25) принимает нормальную конфигурацию по q, p в форме канонической системы уравнений (26), то существуют первые интегралы системы u (q, p) [ Zj ( h ; q, p) + л Zj (Ф; q, p)] =

= p J G j ( t ; q , p ) dt + k j

( j = 1,..., n), где Gj = Pj Pj — q. Q.; kj - постоянные интегрирования.

Доказательство. Составляя комбинации функций G j , из уравнений системы (26) в результате интегрирования получаем

P j q j - q j P ' j = p J G j ( т q , p ) ^{ud T} + k j ⁽²⁸⁾ ( j = 1,..., n ).

Из соотношений (28) в силу преобразования (25) и системы уравнений (4) непосредственно следуют равенства (27). □

4. Пример: двумерная натуральная консервативная система со связью

Рассмотрим натуральную консервативную механическую систему, определяемую для ( q , p ) G R ² гамильтонианом

H(q, p) =1( p2 — ^ q2), (29)

где Q > 0 - заданная постоянная. Это выражение можно трактовать как гамильтониан классической частицы при ее движении в консервативном силовом поле с потенциалом U = Q q ² [9, c. 410]. Фазовое пространство данной системы - двумерное, а множеством ее траекторий H = const в общем случае (при Q ^ 1) является семейство неравнобочных гипербол.

Согласно утверждению 5, первый интеграл вида (23) для системы с гамильтонианом (29) имеет вид p2 — Q q2 + AZ (H; q, p) = h, (30) где h - постоянная интегрирования.

Выражение (30) для λ ≠ 0 может совпадать по форме с первым интегралом свободной от связи (при λ = 0) данной системы в частном случае, при котором связь вида (В) задана, например, уравнением ф (q, p) = in(bi q|a 1 b2 p|a 2).

Здесь pq ^ 0; a_t , b_t ( i = 1,2) - заданные ненулевые постоянные. В этом случае, согласно равенству (22), имеем Z = const, откуда, согласно соотношению (29), следует H = const.

Настоящий пример может быть тривиально обобщен на случай системы с 2 n независимыми каноническими переменными.

Комментарии

Установлены характерные отличительные свойства движения ГС со связями, отличные от соответствующих свойств систем, свободных от связей.

В качестве функции Гамильтона для ГС со связями П. Дираком [1] был предложен тот же по форме гамильтониан, что и в динамике систем, свободных от связей, но с доказательством его явной независимости от обобщенных скоростей. При этом было показано, что существует принципиальная возможность независимости такого рода [2, c. 259].

Связи вида (3) обусловлены характером структуры механической системы и не зависят от вида уравнений основной динамической системы (4). В силу этого необходимо установление свойства непротиворечивости уравнений наложенных связей системе уравнений движения (4). Это свойство может быть представлено в виде формализованных условий, при которых канонические переменные, содержащиеся в уравнениях связей (3), удовлетворяют системе уравнений (4) [2, c. 260].

В настоящей работе все эти структурноконструктивные условия не рассматривались.

Соотношения, полученные для ГС со связью (В), можно обобщить и на случай, соответствующий системе l связей вида (3).

При этом установленные свойства движения ГС, относящиеся к данному частному случаю, сохраняются и для общего случая.

Модельная динамическая система (26) при специальных условиях может быть реализована в технических устройствах. Так, например, режим состояния этой системы асимптотически при μ → 0 приближается к режимам состояния некоторых стационарных маятниковых приборов. К ним, в частности, относится виброграф Гейгера (маятник с закрепленной спиральной пружиной, совершающий колебания в вертикальной плоскости), а также астатический маятник , применяемый в сейсмографах (обращенный маятник с двухсторонней пружинной связью).

Для этих устройств приведенные коэффициенты жесткости маятников при определенных конструкционных условиях принимают отрицательные значения, что соответствует типу уравнений динамической системы (26) и в качественном отношении приводит к потере устойчивости режимов их состояния [10, c. 47-49].

Вопросы нормализации динамических систем и нахождения соответствующих им нормальных конфигураций рассматривались в монографиях [11, c. 208; 12, c. 142-143].