К вопросу о стабильных элементах свободной нильпотентной группы F3, 12

Элемент g группы G называется стабильным, если для любого автоморфизма ф е Aut ( G ) выполняется условие ф (g ) = g .

Вопрос о существовании нетривиальных стабильных элементов в свободных нильпотентных группах взаимосвязан с вопросом о существовании инвариантов Ли свободных колец Ли. Изучением последнего вопроса занимались Ф. Вефер (1949 г.) и М. Барроу (1958 г.), были найдены условия, при которых инварианты Ли существуют [6, 7, 11]. В работе [11] представлен явный вид одного из таких элементов.

В          электронном          проекте          MAGNUS

А. Мясников поставил вопрос: Пусть G – свободная нильпотентная группа конечного ранга г. Пусть элемент g е G неподвижен относительно всех автоморфизмов группы G. Верно ли, что g = 1 ?

Примеры нетривиальных стабильных элементов свободных нильпотентных групп впервые привел В.В. Блудов [1]. В 2001 году A. Папистас [10] и E. Форманек [8], на основании работ Ф. Вефера и М. Барроу доказали существование стабильных элементов в свободных нильпотентных группах, ступень и ранг которых удовлетворяют определенному условию. В 2010 году автором [2] был разработан метод нахождения нетривиальных стабильных элементов группы F_{r , c} - свободной нильпотентной группы ранга r и ступени c . Результатом применения данного метода является полное описание стабильных элементов в группах F _2,8 [3] и F _2,12 [4].

Отметим, что в группе F _2,12 данный метод был обобщен на случай базисных коммутаторов с неоднородным вхождением образующих. Настоящая работа посвящена группе F _3,12 . Изучается подгруппа, порожденная базисными коммутаторами одного определенного вида. Рассматриваются как базисные коммутаторы с однородным вхождением образующих, так и с неоднородным. Доказано, что в разложении любого нетривиального стабильного элемента, принадлежащего этой подгруппе, не участвует ни один базисный коммутатор с неоднородным вхождением образующих.

• 1.    Вспомогательные сведения

В соответствии с методом нахождения стабильных элементов, непосредственно сам элемент должен быть разложен по базисным. В работе мы будем использовать базис Холла, определение которого представлено в [9]. Для более наглядного восприятия формул для умножения элементов используем знак + и квадратные скобки заменяем на круглые.

Введем обозначения для следующих автоморфизмов группы F3,12 со свободными образующими a , b и c : ϕ12 : a → a +b, b → b, c → c;

ϕ ₂₃ : a → a , b → b + c , c → c ; α ₁ : a ↔ - a , b → b ; c → c ;

α ₃ : c ↔ - c , a → a , c → c ;

• ϕ ₃₁ : a → a , b → b , c → c + a ;

• α ₂ : b ↔ - b , a → a , c → c ;

• 2.    Основной результат

В соответствии с необходимым и достаточным условием неподвижности элемента g, равному линейной комбинации базисных коммутаторов, число вхождений каждого из образующих a, b, c в эти коммутаторы должно быть четным. Для доказательства стабильности элемента g, мы будем проверять выполнение равенств ϕ12(g) =ϕ23(g) =ϕ31(g) = g .

В группе F _3,12 обозначим через G - подгруппу, порождающие элементы которой имеют вид ((( ∗ ∗∗ )( ∗ ∗∗ ))(( ∗ ∗∗ )( ∗ ∗ ∗ ))) . Известно, что G содержит нетривиальный стабильный элемент, равный линейной комбинации ее базисных коммутаторов с однородным вхождением образующих

• [5] . Вопрос о существовании в этой подгруппе стабильных элементов с неоднородным вхождением образующих закрывает следующая теорема.

Теорема: Пусть G - подгруппа группы F₃₁₂, порождающие элементы которой имеют вид ((( *** )( *** ))(( *** )( *** ))). Всякая линейная комбинация базисных коммутаторов из G с неоднородным вхождением образующих является нестабильным элементом.

Доказательство: Рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию базисных коммутаторов вида ((( *** )( *** ))(( *** )( *** ))) с неоднородным числом вхождений образующих. Возможны следующие случаи.

Случай 1. Пусть образующий a входит 4 раза, b -2 раза, c - 6 раз в базисные коммутаторы. Все базисные коммутаторы обозначим следую- щим образом:

u 2 = ((( acb )( acc ))(( aca )( bcc ))), u 4 = ((( aba )( acc ))(( acc )( bcc ))), u 6 = ((( aca )( bca ))(( acc )( bcc ))), u 8 = ((( aca )( acc ))(( bcb )( acc ))),

u 1 = ((( bca )( acc ))(( aca )( bcc ))), u 3 = ((( aca )( acc ))(( acb )( bcc ))), u 5 = ((( aca )( acb ))(( acc )( bcc ))), u 7 = ((( aca )( acc ))(( bca )( bcc ))), u 9 = ((( bca )( acc ))(( acb )( acc ))).

Составим нетривиальную линейную комбинацию коммутаторов u_i , 1 <  г <  9, с целыми коэффициентами m^ . Подействуем на эле- 9

мент g 1 = ^ m i u i автоморфизмом ф₁₂ и запишем линейную комбинацию i = 1

базисных коммутаторов, полученных из u_; , 1 <  i < 9 , заменой одного вхождения образующего a на b :

(m1 + m2 - m8)(((bcb)(acc))((aca)(bcc))) + (-m1 + m7) x x (((aca)(bcc))((bca)(bcc))) + (m1 + m 7)((( bca)(acc))((bca)(bcc))) +

+ (-m2 + m3)(((aca)(bcc))((acb)(bcc))) + (m2 + m7 - m9) x x (((acb)(acc))((bca)(bcc))) + (m 2 + m 3)((( acb)(acc))((acb)(bcc))) +

+ m ₄((( abb )( acc ))(( acc )( bcc ))) + ( m 5 - m ₆)((( bca )( acb ))(( acc )( bcc ))) +

+ (m 5 + m 6)((( aca)(bcb))((acc)(bcc))) + (m1 + m 3 + m 9) x x (((bca)(acc))((acb)(bcc))) + (m 3 + m 7 + m8) x x (((aca)(acc))((bcb)(bcc))) + (m8 + m 9)((( bca)(acc))((bcb)(acc))) + - m 9 (((acb)(acc))((bcb)(acc))).

Подействуем на элемент g ₁ автоморфизмом ϕ ₂₃ , тогда автоморфный образ ϕ ₂₃( g ₁) содержит единственный элемент ( m ₃ + m ₄ + m 5 - m ₈)((( aca )( acc ))(( acc )( bcc ))).

Для стабильности элемента g ₁ относительно ϕ ₁₂ и ϕ ₂₃ коэффициенты полученных комбинаций должны быть равны нулю, а значит m_i , 1 <  i <  9 , удовлетворяют системе уравнений:

m1 + m2 - m8 = 0, - m1 + m 7 = 0, m1 + m 7 = 0, - m 2 + m3 = 0, m 2 + m7 - m9 = 0, m 2 + m3 = 0, m4 = 0, m5 - m 6 = 0, m5 + m 6 = 0, m1 + m3 + m9 = 0, m3 + m7 + m8 = 0, m8 + m9 = 0, m9 = 0.

Система имеет единственное нулевое решение. Поэтому действие автоморфизма ϕ ₃₁ на элемент g ₁ проверять не надо.

Случай 2. В подгруппе G так же содержатся элементы, в которые образующий a входит 2 раза, b - 4 раза, c - 6 раз. Данный случай закрывается предыдущим, так как все базисные коммутаторы с таким распределением числа образующих могут быть получены из базисных коммутаторов, в которые образующий а входит 4 раза, b -2 раза, c - 6 раз, путем f а ^^ b применения к ним автоморфизма т : <      . Таким образом, и среди не-

[ c ^ c тривиальных линейных комбинаций коммутаторов с таким распределением числа образующих нет стабильных.

Случай 3. Пусть образующий а входит 4 раза, b - 6 раз, c - 2 раза в базисные элементы. Все базисные коммутаторы обозначим следующим образом:

v1 = (((bca)(abb))((aba)(bcb))), v2 = (((abb)(acb))((aba)(bcb))), v3 = (((aba)(abb))((abb)(bcc))), v4 = (((aca)(abb))((abb)(bcb))), v5 = (((aba)(acb))((abb)(bcb))), v6 = (((aba)(abb))((acb)(bcb))), v7 = (((aba)(bca))((abb)(bcb))), v8 = (((aba)(abb))((bca)(bcb))).

Составим нетривиальную линейную комбинацию коммутаторов v_i ,

1 < i < 8 , с целыми коэффициентами n. Подействуем на элемент g2 = ^ nivi автоморфизмом ф23. Опустив промежуточные коммутаторные i=1

вычисления, коэффициенты линейной комбинации базисных коммутаторов, полученных из vi, 1 < i < 8 , заменой одного вхождения образующего b на c приравняем к нулю. Полученная система уравнений относительно ni, 1 < i < 8 , имеет вид:

2 n 1 - n ₂ = 0, n ₃ + n ₄ = 0, n ₂ = 0, 2 n ₃ + n ₆ = 0, - n ₃ + n 7 = 0,

2 n 1 + n 5 = 0, n 5 = 0, 2 n 5 + 2 n ₆ = 0, - n 5 + 2 n ₈ = 0, n ₆ + 2 n ₄ = 0, - n ₄ + n 7 = 0.

- n ₄ + n ₈ = 0, - n ₆ + 2 n 7 = 0, - n ₆ = 0.

Система имеет единственное нулевое решение. Действие автоморфизмов

ϕ ₁₂ , ϕ ₃₁ на элемент g ₂ проверять не надо.

Случай 4. Для всех коммутаторов, в которые образующий a входит 6 раз, b - 4 раза, c - 2 раза, проводим рассуждения подобные рассуждениям в случае 2, путем применения к коммутаторам, входящим в разложение элемента g ₂ автоморфизма τ .

Случай 5. При помощи рассмотрений, аналогичных проведенным выше, получаем, что и среди элементов, в которые образующий a входит 6 раз, b - 2 раза, c - 4 раза, нет нетривиальных стабильных. В результате действия автоморфизма τ на эти элементы получаем коммутаторы, содержащие образующий a два раза, b - 6 раз, c - 4 раза. Следовательно, среди нетривиальных линейных комбинаций коммутаторов с таким распределением числа образующих нет стабильных элементов. Теорема доказана.

Заключение

Показано применение метода нахождения стабильных элементов для поиска стабильных элементов с неоднородным вхождением образующих на примере одной из подгрупп свободной нильпотентной группы ранга 3 ступени 12.