Классификация преобразований неравенств и их систем

Тема «Неравенства» занимает одно из важных мест в курсе алгебры. Она является богатой по способам и приемам решения неравенств, а также решения задач более высокого содержания. Это связано с тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Анализ дипломных и диссертационных работ, посвященных методике изучению данной темы, показал, что в настоящий момент имеется ряд исследований, раскрывающих ее различные аспекты. Исходя из этого, можно констатировать тот факт, что отдельные вопросы методики обучения понятию неравенства и решению конкретных неравенств в школьном курсе математики освещены достаточно полно.

В данной статье будет рассматриваться классификация преобразований неравенств и их систем.

Можно выделить три типа таких преобразований:

• •    преобразование одной из частей неравенства;

• •    согласованное преобразование обеих частей неравенства;

• •    преобразование логической структуры.

Преобразования первого вида применяется для упрощения выражения, которое входит в запись решаемого неравенства. Данное преобразование используют раньше всех других преобразований, оно осуществляется еще в начальном курсе математики. Умение владения навыком преобразований этого вида имеет большое значение для изучения других видов преобразований, потому что применяются очень часто.

Преобразования второго вида состоят в согласованном изменении обеих частей неравенства в результате применения к ним элементарных функций или арифметических действий. Преобразования второго вида являются многочисленными. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии неравенств.

Приведем примеры преобразований этого вида:

• •    прибавление к обеим частям неравенства одного и того же выражения;

• • умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение,

принимающее только положительные значения;

• • умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение,

принимающее только отрицательные значения и изменение знака неравенства на противоположный;

• •    переход от неравенства а > b к неравенству f(a) >  f(b\ где f — возрастающая функция или обратный переход;

• •    переход от неравенства а < b к неравенству f(a) <  f(b),, где f — убывающая функция или обратный переход.

Среди преобразований второго вида преобразования неравенств образуют сложную, обширную систему в изучении. Этим в значительной степени объясняется то, что навыки решения неравенств формируются медленнее навыков решения уравнений и не достигают у большинства учащихся такого же уровня.

К третьему виду преобразований относятся преобразования неравенств и их систем, изменяющие логическую структуру заданий.

Использование и изучение преобразований неравенств и их систем, предполагают значительно высокую логическую культуру учащихся, а также в процессе изучения, применения таких преобразований имеются большие возможности для формирования логической культуры.

В итоге хочется сказать, что при изучении материала линии неравенств учащиеся должны не только овладеть умением решений конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.