Количественная оценка риска неурожайности при страховании посевов

Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск

В настоящей работе на примере риска неурожайности зерновых культур рассмотрены различные методы измерения статистического риска. Под статистическим риском понимается риск, связанный с колеблемостью получаемого результата, поведение которого в течение определённого промежутка времени известно. К статистическим рискам (далее -рискам) относится большое число экономических, предпринимательских, финансовых, страховых, сельскохозяйственных и других рисков.

В качестве исследуемого был выбран риск неурожайности сельскохозяйственных культур по следующим причинам:

• 1)    риск неурожайности обусловлен, главным образом, множеством случайных, независимых агроклиматических факторов: суммой активных температур, суммой выпавших осадков, плодородием почвы и т.д. По этой причине в качестве математической модели урожайности может быть выбран случайный процесс с нормальным законом распределения [1], что сильно упрощает статистический анализ;

• 2)    количественная оценка риска неурожайности играет первостепенную роль при страховании сельскохозяйственных посевов.

Под риском неурожайности будем понимать возможность наступления одного или нескольких случайных событий, являющихся причиной отклонения урожайности от ожидаемого значения. Такими событиями могут засуха, затяжные дожди, поздние весенние и ранние осенние заморозки и др.

Исследование статистического риска вообще и неурожайности в частности может быть сведено к изучению сигнала риска [2]. Под сигналом риска для урожайности понимается отклонение урожайности от ожидаемого значения под воздействием риска (рискового события).

Сигнал риска s(t) для урожайности математически можно описать следующим образом:

^) = x(/)-xo(0,          (1)

где x(t) и х_о (t) - соответственно фактически полученная и ожидаемая урожайность (реализация урожайности).

В качестве ожидаемого значения урожайности можно принять её математическое ожидание:

х_о^ = _т^_         (2)

Тогда величина сигнала риска для конкретного момента времени /, будет иметь вид:

• 8,    = s^ = xQ^ - m(t) = x_t - m^f) . (3)

На рис. 1 представлены линейные диаграммы сигнала риска, построенные на основе данных об урожайности зерновых культур для Челябинской области и шести её районов. От линейных диаграмм урожайности они отличаются смещением по оси ординат на величину математического ожидания т^.

В качестве оценки математического ожидания можно взять среднюю арифметическую величину урожайности х за период наблюдения Т : m(Z) = х . Такое возможно, когда m(t) = т = const.

Если математическое ожидание урожайности имеет существенные изменения в пределах наблюдаемого периода (0; Г), то последний следует разбить на отдельные интервалы АГ6 (^Мк =Т), в пределах которых к математическое ожидание можно считать неизменным. За оценку математического ожидания внутри каждого такого интервала может быть принято среднее значение урожайности: mk = хк = const.

В результате сигнал риска для урожайности станет центрированной случайной величиной, а совокупность таких величин в тече-

ние наблюдаемого периода (0; Г) - центрированным случайным процессом. Корреляционная функция (коэффициент корреляции) урожайности и сигнала риска в этом случае совпадают и имеют вид, показанный на рис. 2 [1]. Таким образом, сигнал риска, как и урожайность, обладает свойством эргодичности как по отношению к математическому ожиданию, так и по отношению к корреляционной функции [1].

Односторонний энергетический спектр F_s (to) сигнала риска для урожайности связан с его корреляционной функцией k_s (г) преобразованием Фурье [3]:

Fs(to) = —   (т) cos tOTtZr=^^x

,    2(7 2

х I —— cos (OTdT = —— J p_s (т) cos сот ат, (4) о ^_s (0)                тс •

, МГ)

где ps (г) = ^^ - нормированная корреляционная функция сигнала риска для урожайности (коэффициент корреляции); ^(0) = сг/ - дис персия сигнала риска, равная дисперсии уро-           2     2     2

жаиности ст : o_s -а .

Для оценки нормированной корреляционной функции сигнала риска для урожайности        воспользуемся        функцией р5(т) = е"ат cos Рт cos сот [1] и подставим её в выражение (4):

Fs(co) =—- \ps^coscoTdT -

71 о

2<т2 00

= —-     cos^rcostortZr =

71 о

2 “2

= — fe~“^r[cos(to + Р)т + cos(to - P)T]dT = —х

71 о

х[ je ат cos(co +P)TdT * je ат cos(co - P)TdT], оо т > 0.

Воспользуемся табличным интегралом [4]

[е рх cos qxdx = .^ ■, .

о

Тогда интегралы в формуле (5) будут равны:

je ^ат cos(to + pydT = о

а .

а2 + (со + Р)2 ’

U ат cos(co-P)TdT = —r----- .

о                a²+(co-pf

С учётом полученного преобразуем выражение в квадратных скобках формулы (5):

]V“T cos(to + P^TdT + fe~ar cos(to - P)Tdc = о0

_ aa _ a2 + (to + pY a2+(co-P)2

= 2 ________to2 + y2________ to4 +2(ct2 ~p2)co2 + yA ’ где у2 = a2 + p2.(7)

В результате выражение (5) с учётом ра-22

венства a_s = о , примет вид:

2                  27

Fs (со) = -^-2а —-----=--—---- = тс соА + 2(а2 - р2 )со2 + уА

Заа2 со2^у2

тс со⁴ + 2(а² - р²)со² + у^А

Энергетические спектры сигнала риска для урожайности, вычисленные по формуле (8), представлены на рис. 3. Все спектры имеют ярко выраженную низкочастотную составляющую <у₀ = р . В то же время другие гармоники, в том числе и постоянная составляющая (®₀ = 0) сильно ослаблены. Заметим, энергетический спектр сигнала риска характеризует распределение дисперсии урожайности по частоте, а сумма дисперсий всех гармонических составляющих равна дисперсии урожайности ст² [5].

Вид энергетического спектра сигнала риска определяет поведение реализации урожайности во временной области. Наличие периодической составляющей в энергетическом спектре обусловлено повторяющимися на Южном Урале через определённое количество лет неблагоприятными погодными условиями в виде засухи или длительных дождей. В то же время влияние погодных условий в разных районах области сказывается по-разному. Так, судя по величине гармонической составляющей в энергетическом спектре сигнала риска это влияние сильнее в Соснов-ском районе и менее заметно в Нагайбакском и Карталинском районах.

Отметим, что периодическая составляющая, вокруг которой сосредоточена большая часть дисперсии урожайности, является основным источником риска неурожайности

Рис. 2. Нормированные корреляционные функции урожайности (сигнала риска) зерновых культур

Рис. 3. Энергетические спектры сигнала риска урожайности зерновых культур в регионе. Даже не проводя соответствующих измерений по виду энергетических спектров, можно предположить, что риск неурожайно-сти будет самым высоким для Сосновского района и самым низким - для Челябинской области и Варненского района.

Измерение риска неурожайности (далее риска) проведём двумя методами: спектральным и традиционным. Спектральный метод будет представлен коэффициентами риска, для расчёта которых воспользуемся выражениями, полученными в [6].

Традиционный метод оценки риска основан на измерении одного из показателей вариации. Пусть это будет дисперсия

п

r = 62=^------,         (9)

п где R - уровень риска; х и ст2 - соответственно выборочная средняя и выборочная дисперсия урожайности; х, - фактическая урожайность z-ro года; п - период наблюдения, лет.

В основе спектрального подхода к измерению риска лежит сравнение формы энергетического спектра сигнала риска и белого шума [6]. В зависимости от рассматриваемой области частот Ла и используемых показате лей формы спектра могут быть предложены различные методы оценки риска.

При измерении риска на основе эффективной полосы частот его уровень оценивается с помощью коэффициента R_p [6]

^= —------f^Wz», (10)

где F_s (су) - энергетический спектр сигнала риска; F_m - максимальное значение в энергетическом спектре сигнала риска; со_рХ и су_р2 -граничные частоты энергетического спектра сигнала риска, которые находятся из условия F_p = pF_m (рис. 4); р - заданный уровень энергетического спектра сигнала риска.

Под эффективной полосой энергетического спектра сигнала риска \со_а понимается полоса частот, найденная из условия равенства площади под кривой энергетического спектра сигнала риска в полосе частот \ю_р =со_р2 -ю_р1 и площади под кривой энергетического спектра полосового белого шума ^(®) = Л«(Р^ИС- 4)-

Из формулы (10) следует, что величина коэффициента риска зависит от уровня р. Чтобы не потерять сравнимость результатов измерения рисков у разных объектов исследо-

Рис. 4. К определению эффективной полосы энергетического спектра сигнала риска А<УЙ

вания, необходимо придерживаться выбранного однажды значения р.

В табл. 1 приведены рассчитанные по формуле (10) значения коэффициента риска R_p .

Ещё одна проблема рассматриваемого способа измерения риска заключается в его низкой чувствительности. На самом деле, значения коэффициента риска для разных территорий Челябинской области при р <0,05 и /9 >0,2 практически не отличаются между собой. Поэтому уровень р при расчёте риска данным способом мы рекомендуем выбирать в диапазоне значений от 0,05 до 0,2.

Таким образом, применение рассматриваемого метода для измерения и сравнения различных рисков (риск доходности ценных бумаг, риск убыточности в страховании, риск снижения прибыли и др.) связано с выбором единого для всех случаев уровня р . В этом нам видится основная проблема количественной оценки риска на основе эффективной полосы частот.

Для сравнения традиционного и спектрального методов оценки риска в табл. 2 приведены значения дисперсии и коэффициента риска, рассчитанные по формулам (9) и (10) соответственно.

Таблица 1

Оценка риска неурожайности зерновых культур с помощью коэффициента риска R_p ,%

Территория	Коэффициент риска Rp при уровне р, равном
	0,01	0.05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
1. Челябинская область	19,28	28,87	40,14	54,87	64,65	72,22	78,47	83,82	88,52	96,52	96,52
2. Сосновский район	19,52	34,54	41,07	53,42	64,13	71,97	78,35	83,76	88,50	92,71	96,52
3. Чебаркуль-ский район	19,44	31,11	40,40	53,70	64,21	72,01	78,36	83,77	88,50	92,71	96,52
4. Агаповский район	19,39	3T83	39,96	53,85	64,26	72,03	78,37	83,78	88,50	92,71	96,52
5. Нагайбак-ский район	19,07	32.36	37,71	54,35	64,43	72,11	78,41	83,80	88,51	92,72	96,52
6. Варненский район	18,16	28,92	40,12	54,86	64,64	72,22	78,47	83,82	88,52	92,72	96,52
7. Карталин-ский район	18,28	29.33	39,94	54,86	64,64	72,22	78,47	83,82	88,52	92,72	96,52

Сравнительная оценка риска неурожайности зерновых культур

Таблица 2

Территория	Спектральный метод оценка риска	Традиционный метод оценки риска
	Коэффициент риска Rp , (%) при р = 0,05	Дисперсия „        -2 урожайности, ст
1. Челябинская область	28,87	14,25
2. Сосновский район	34,54	19,69
3. Чебаркульский район	34,11	28,46
4. Агаповский район	33,83	20,47
5. Нагайбакский район	32,36	17,62
6. Варненский район	28,92	12,94
7. Карталинский район	29,33	10,84

Как видим, спектральный и традиционный методы оценки риска дают разные количественные и, что особенно плохо, качественные результаты.

Согласно спектральному методу наибольший риск неурожайности в Сосновском районе, а наименьший - для Челябинской области, Варненского и Карталинского районов.

При традиционном способе измерения наибольшим риском обладает Чебаркульский район, а наименьшим - Карталинский район.

При измерении риска на основе дисперсии частоты в эффективной полосе частот его уровень оценивается с помощью коэффициента R_aa [6]:

12F2

RBa—f J (®-msefF>W, (11) °" mю-^a>a|г где Fs(co) - энергетический спектр сигнала риска; Fm - максимальное значение в энерге-2     2

тическом спектре сигнала риска; сг -a_s - дисперсия урожайности; \®_а - эффективная полоса энергетического спектра сигнала риска; т,_е - математическое ожидание частоты для сигнала риска.

Математическое ожидание частоты для сигнала риска определяется по формуле [6]

^mse = = = 0 0 ^s

= ^^®F»d®, (12) о

Fs(m) „ где фдсо) = 7 - нормированный энерге тический спектр сигнала риска, условно принимаемый за плотность распределения случайной величины а ; ®е - значение частоты, совпадающее с полосой частот А®е для заданной доли е средней мощности сигнала риска(рис. 5)

P_se=eP_s=eo^, (13) где P_se - принимаемая в расчётах средняя мощность сигнала риска; е - доля средней мощности сигнала риска P_s = а^.

Уровень е вводится для исключения влияния «хвоста» энергетического спектра сигнала риска на величину математического ожидания частоты m_se . В результате рассматривается область частот Ащ_е (см. рис. 5), содержащая основную часть средней мощности сигнала риска, которая и учитывается в расчётах. Такая процедура не приводит к сущест-

Рис. 5. Энергетические спектры сигнала риска F_s^ и белого шума F^co') в заданной полосе АбУ_е

венному росту ошибки в оценке риска, но позволяет ускорить процесс вычислений.

При измерении риска данным способом энергетический спектр белого шума рассматривается в эффективной полосе Асо_а, середина которой находится в точке со = m_se.

В табл. 3 приведены значения коэффициента риска, рассчитанные по формуле (11), а также оценки того же риска с помощью коэффициента (10) и дисперсии (9).

Отметим, что оценки риска, полученные с помощью спектрального метода на основе коэффициентов риска R_p и R_ma, на качественном уровне совпадают. Максимальный риск имеет Сосновский район, минимальный - Челябинская область.

Определение риска через показатель ва--2 - ~ риации а дает противоположный, максимальный для Челябинской области, результат.

При измерении риска на основе дисперсии частоты в заданной полосе частот его уровень оценивается с помощью коэффициента R^ [6]:

V

В табл. 4 приведены рассчитанные по формуле (14) значения коэффициента риска

С ростом величины е повышается точность вычисления математического ожидания m_se, но одновременно увеличивается время, необходимое для расчёта. Поэтому мы рекомендуем выбирать е = 0,95 .

Чтобы сравнить все рассмотренные нами методы измерения риска составим сводную табл. 5.

Приведённые результаты свидетельствуют о том, что все методы спектральной оценки рисков дают одинаковые оценки риска. Самый низкий уровень риска получен для Челябинской области. Этому есть простое объ яснение - урожайность для Челябинской области является усреднением урожайности отдельных регионов. Колеблемость урожайности относительно среднего в этом случае снижается, её предсказуемость становится выше, а риск - меньше. Несколько ниже риск неурожайности - в Варненском и Карталин-ском районах.

Полученные результаты хорошо согласуются с многолетними наблюдениями. Степная зона Южного Урала, к которой относятся Варненский и Карталинский районы, считаются менее рискованными для земледелия, чем остальные.

Исследование показало, что уровень риска коррелирует с типом агроклиматической зоны. Риск снижается при переходе от северной степной зоны (Чебаркульский и Сосновский районы) к южной лесостепной (Агаповский и Нагайбакский районы) и далее к степной зоне (Варненский и Карталинский районы).

Из трёх рассмотренных методов спектральной оценки риска предпочтение, на наш взгляд, следует отдать методу на основе дисперсии частоты в заданной полосе частот, то есть измерению риска с помощью коэффициента R_Me. В отличие от измерения коэффициента R_p он не требует предварительного выбора уровня р в энергетическом спектре сигнала риска. А по сравнению с расчётом коэффициента R_ma данный способ позволяет сравнивать энергетические спектры сигнала риска и белого шума в более широкой полосе, а значит - точнее измерить риск.

С учётом прогнозируемой урожайности [7] можно определить значение риска на следующий за рассматриваемым периодом год. В табл. 6 приведены фактически полученные (-К^) и прогнозные (^„^^значения риска, а также средняя ошибка прогноза. Относительная погрешность прогнозирования 5 оценивалась по формуле

Id _ d

₅Л^--^.₁₀₀о_/о.  ₍₁₅₎

^■<ое.ф

По всем рассмотренным вариантам средняя ошибка прогнозирования риска не превышает 2,17% (Агаповский район) от её фактического значения. Наиболее точный результат получен для Челябинской области. Здесь средняя ошибка составила 0,44%.

Таблица 3

Территория	Спектральный метод оценка риска		Традиционный метод оценки риска
	Коэффициент риска, %		Дисперсия урожайности
	D (е = 0,95)	RP С? = 0,05)	<т2
1. Челябинская область	45.14	28 87	14,25
2. Сосновский район	46,62	^4.54	19,69
3. Чебаркульский район	46,34	34,11	28,46
4. Агаповский район	46,16	33,83	20,47
5. Нагайбакский район	45,49	32,36	17,62
6. Варненский район	45.14	28,92	12,94
7. Карталинский район	45,11	29.33	10.84

Таблица 4

Территория	Коэффициент риска R^, (%) при значении е, равном
	0,85	0,90	().*^5	0,97
1. Челябинская область	47,90	37,80	2x18	18,07
2. Сосновский район	51,48	41,05	27.20	19,51
3. Чебаркульский район	51,22	40,81	27.02	19,36
4. Агаповский район	51,07	40,67	26.94	19,24
5. Нагайбакский район	50,22	39,91		19,02
6. Варненский район	47,93	37,83	,_,25J8._.	18,06
7. Карталинский район	48,24	38,13	25.3»	18,24

Таблица 5

Территория	Спектральный метод оценка риска			Традиционный метод оценки риска
	Коэффициент риска, %			Дисперсия урожайности
	Rp (72 = 0,05)	п ^саа	R(е = 0,95)	а
1. Челябинская область	28.87	45.14	25.18	14,25
2. Сосновский район	8®Й	46.62	27,20	19,69
3. Чебаркульский район	34,11	46.34	27,02	28.46
4. Агаповский район	33,83	46,16	26,94	20,47
5. Нагайбакский район	32.36	45,49	26,47	17,62
6. Варненский район	28.92	45,14	25.18	12,94
7. Карталинский район	2433	45.11	25.39	10.84

Таблица 6

Результаты прогнозирования риска неурожайности зерновых культур, %

Территория	Год						Средняя ошибка прогноза, %
	2001		2003		2005
	^ГОе.ф	л 1Хсое.пр	^•сое.ф	^сое.пр	п ^сое.ф	R -‘'•гое.пр
1. Челябинская область	24,90	24.96	25,20	24.98	25,18	25,23	0,44
2. Сосновский район	26,28	25,57	26,67	26,67	27,21	26.93	1.24
3. Чебаркульский район	26,83	1ь.П	27,12	27,00	27,02	27,73	1,10
4. Агаповский район	25,81	25.80	25,60	25.15	26,94	- 25.67	2,17
5. Нагайбакский район	25,95	25.8(1	26,07	2(.J)I	26,47	' 26,07	0,74
6. Варненский район	25,19	25,78	25,36	25,26	25,18	25,16	0,94
7. Карталинский район	25,39	25.05	25,55	25.49	25,39	25,28	0,67

Оценка риска неурожайное™ зерновых культур

Оценка риска неурожайности зерновых культур с помощью коэффициента риска R_me

Сравнение методов оценки риска неурожайности зерновых культур

Анализ показывает, что ошибки в прогнозировании урожайности и риска коррелируют между собой: чем точнее прогноз урожайности, тем меньше ошибка в прогнозировании риска.

Проведённые исследования свидетельствуют о том, что показатели вариации, характеризующие риск в среднем, имеют низкую точность оценки. Традиционный подход не позволяет измерять риски в реальном масштабе времени и, тем более, заниматься их прогнозированием. Дисперсия в рассмотренном примере даёт искажённую картину распределения риска по агроклиматическим зонам Южного Урала, поскольку не учитывают его «внутреннюю» структуру, его поведение во времени.

Проблема может быть решена, если обратиться к «энергетическому спектру риска» -разложить сигнал риска на отдельные спектральные составляющие, каждая из которых характеризуется своей «средней мощностью». Уровень риска в этом случае будет определяться составом спектра. Чтобы получить относительную оценку риска, необходимо сравнить «его» энергетический спектр со спектром белого шума.

С точки зрения спектральной теории дисперсия является средней мощностью всех спектральных составляющих сигнала риска. Вот почему дисперсия, также как и другие производные от неё показатели вариации, не может использоваться для измерения риска. Ведь она характеризует лишь среднюю мощность сигнала риска и не учитывает её распределение по частотным составляющим. А это -существенно для правильной оценки риска.

В заключение отметим, что проведённые на примере урожайности зерновых культур исследования подтверждают основные положения спектральной теории рисков.