Комплексы в трехмерном квазигиперболическом пространстве 01S3

Ранее нами были изучены комплексы прямых в квазиэллиптическом пространстве S ₃ ¹ [2], а также в квазигиперболическом пространстве ¹⁰ S ₃ ¹ [3]. В данной работе рассмотрены комплексы прямых в квазигиперболи-ческом пространстве ⁰¹ S ₃ ¹ .

1. Канонический репер комплекса в квазигиперболическом пространстве 01 S31 . Теорема существования.

Рассмотрим трехмерное проективное пространство ⁰¹ S ₃ ¹ , абсолют которого состоит из двух мнимых плоскостей и двух вещественных точек на прямой их пересечения.

Наиболее общий репер пространства 01 S31 можно выбрать так, чтобы абсолютные плоскости Q0 определялись уравнением: (x0) +(x1) = 0, прямая T их пересечения уравнениями: x0 = x1 = 0, а квадрика Q1 уравнением: (x2) -(x3) = 0. Тогда деривационные формулы подвижного репера пространства 01 S31 записываются в виде:

dA 0 = го0 A1 + ю0 A 2 + го 0 A 3, dA1 = -го 0A 0 + го12 A 2 + го^ A 3,dA 2 = го 2 A 3, dA 3 = го 2 A 2.

Рассмотрим в этом пространстве комплекс, т.е. трехпараметрическое семейство прямых. Включим элемент в репер, то есть точки A ₀ и A ₁ репера совместим с какими-либо двумя точками образующей комплекса, 2  3  2  3          2323

тогда получим п0 = п0 = п1 = п1 = 0, т.е. формы го0, го0, го1 , го1 становятся главными формами. Так как формы ωij линейно зависят от трех дифференциалов du1,du2,du3, то исключение последних приведет к следующему основному соотношению аго0 + вго3 + Yгo1 + бго^ = 0[1]. По- требуем, чтобы [ω02,ω03,ω13 ] 0 и запишем основное соотношение в виде 2233

to1 — ^to 0 + nto 0 + Zto1 .

Далее, пользуясь алгоритмом Картана, канонизируем репер полностью. Деривационные формулы канонического репера комплекса получены в виде:

dA 0 — to0 A1 + to02 A 2 + to 03 A 3, dA1 —-to 0A 0 + nto 03 A 2 + to13 A 3,dA 2 — to 2 A 3, dA 3 — to 2 A 2, где

1       2       3       33       2       3       3

to 0 — 5 to о + nito о + Z i®i , to 2 — ^2^0 + n 2® о + Z 2^1 .

Инвариант n назовем кривизной комплекса ( 1 + n ² ^ 0 )

Построенный канонический репер геометрически характеризуется тем, что в нормальной корреляции точкам A ₀ и A ₁ (центрам луча комплекса) соответствуют плоскости ( A ₀ A ₁ A ₂ ) и ( A ₀ A ₁ A ₃ ), полярно сопряженные относительно абсолюта, точки A ₂ и A ₃ суть точки пересечения абсолютной прямой с плоскостями ( A ₀ A ₁ A ₂ ) и ( A ₀ A ₁ A ₃ ).

Условия вполнеинтегрируемости системы (1.1) дают следующую основную систему дифференциальных уравнений

dn A to0 — (П1 -ПП2)to02 A to0 +zi - ^2 -п^1 -П^2)toо2 A to3-

(п 2+ПП1)to03 A to13, d51 a to02 + dn1 a to0 + dZ1 a to^ =

( - 512 П + 5152 — П1П2 + Z151 + ^2Z1n ) to02 a to03 +

(1.2)

^{( -} П 1 ^ 1 ^- n 1 ^Z 2 ) ^to 02 ^{a to} 3 ⁺

(- 51^2 - П12 - Z12 - Z1nZ2 + 51nZ2) to03 a to3,d5 2 a to0 + dnг A to03 + dZг a to3=( - 5 2 n 51 + 522 - П22 + Z2 51 + 5 2Z2П )

^to 0 ^{A to} 0 ^{+ ( - n} 2 ⁵ 1 ^{- n} 2 ^Z 2 ) ^to 0 ^{A to} 1 ⁺

⁽ n⁵ 2 ^Z 1 - ⁵ 2 ^Z 2 - П 1 П 2 ^{+ Z} 1 ^Z 2 - n^Z 2 ^{2) to} 03 ^{A to} 13 .

Из первого уравнения получаем конечное соотношение

Z 1 — 5 2 + n5 1 + n5 2 ,                            (1.3)

а само уравнение принимает вид

⁽ dn ^{- (} П 1 ^- nn 2 ) ^to 0 ^{2 -} ( n 2 + ПП 1 ) ^to 1 ^{3 ) A to} 0 ³=^{0.                   (1.4)}

В силу (1.3) второе уравнение будет содержать только два независимых дифференциала, а третье уравнение основной системы (1.2) останется общего вида. Так, система имеет стандартный вид [1] и произвол ее решения равен одной функции трех аргументов. Теорема существования доказана.

Полная система инвариантов комплекса состоит из семи коэффициентов деривационных формул η,ξ1,η1,ζ1,ξ2,η2,ζ2 , связанных одним конечным соотношением (1.3). Из (1.2) и (1.4) следует, что dn = ( П1 -ПП2)®02 + n3®03 +(n2+ПП1)«L (1.5) где n3 - новая функция первичных параметров, также являющаяся инвариантом комплекса.

• 2 . Геометрическая характеристика инвариантов комплекса

Геометрическое значение кривизны η получаем аналогично [2] в виде

cos 5 =

1 — n3

1 + n ² ,

где 5 - расстояние между псевдоцентрами M i и M 2

образующей комплекса.

Геометрические характеристики всех остальных инвариантов комплекса, входящих в деривационные формулы канонического репера, получим, рассматривая три простейших регулюса (центральный регулюс и два центральных торса) (см. [2]). Так инварианты ζ ₁ и ζ ₂ суть радиус 11 кривизны и произведение кручения k и радиуса кривизны ребра k 1                                        ²                               k 1

возврата центрального торса ю ₀ ² = го 0 = 0 .

Аналогично получаем, что инварианты η ₁ , η , η ₂ являются соответственно инвариантами p , ρ , q центрального эллиптического регулюса го 02 = ® 3 = 0, ® 0 ^ 0 , принадлежащего комплексу, а инварианты §₁ , § 2 являются соответственно радиусом кривизны и произведением круче- k 1

ния k и радиуса кривизны ребра возврата центрального торса, ²                                    k 1

принадлежащего     комплексу, определяемого уравнениями

ю0 = ю2 = 0, ®2 * 0 [2, с. 94].

• 3 .Касательный и соприкасающийся линейный комплексы. Две основные квадратичные формы комплекса

Найдем уравнение касательного линейного комплекса. Условие того, что линейный комплекс ^ p i q^ = 0 ( p j - плюккеровы координаты прямой) содержит луч A ₀ A ₁ в терминах «плюккерова произведения»

Q *⁽ A 0 A i ) =⁰; Q { q 0i , q 02 , q 03 , q i2 , q 23 , q 31 }.                  ^(3.1)

• В.    Б. Цыренова. Комплексы в трехмерном квазигиперболическом пространст-

• 01   1

ве S ₃

Откуда следует, что q 23 = 0. Чтобы получить остальные условия на коэффициенты q_ij , продифференцируем (3.1):

Q * { « ( A 2 A , ) + « ( A 3 A 1 ) + п« ( A o A 2 ) + «U A A 3 )} = 0.

Отсюда получаем q03 = q12 = q02 + nq31 = 0. Один коэффициент q01 остается произвольным. Следовательно, получился пучок линейных комплексов. Уравнение его в каноническом репере имеет вид q 01 p 23- nq 31 p 31 + q 31 p 02 = 0

или, если обозначить q ₃₁ : q ₀₁ = Х : ц;

(3.2)

^Х Р 23 ^- цпР 31 ⁺ ЦР 02 = ^0.

Теперь будем искать линейный комплекс, касательный с комплексом в данном луче и соприкасающийся с некоторым регулюсом ω ₀ ² : ω ₀ ³ : ω ₁ ³ , т.е. соприкасающийся линейный комплекс для регулюса комплекса. Для этого к условиям (3.1) и (3.2) присоединим условие

Q *{( d ² A , A , ) + 2( dA 0 , A + ( A 0 , d ² A 1 )} = 0.

В терминах канонического репера получаем

^Ф Х : ц ^{= 2 Х} { « 2 « 3 — n ( « 0 ³ ) ² } ⁺

(3.3)

ц { п« 2 « 2 + п« 0 « 1 + dn« o + ®o® 0 + « 13 « 2 } = 0.

Отсюда следует, что для каждого регулюса ω ₀ ² : ω ₀ ³ : ω ₁ ³ можно найти единственное значение λ : µ из (3.3), т.е. в пучке (3.2) единственный соприкасающийся с ним линейный комплекс.

При ц = 0 получаем торсы

Ф 1 - « 2 « 3 - п ( « 0 ) 2 = 0

а при Х = 0 получаем регулюсы ф 2 = пю0ю2 + п«0«1 + dn«0 + «2 «0 + «i«2 = 0, или в каноническом репере

Ф 2 - (§ 1 - n^ 2 )( « 0 ² ) ² + п >0³ ) ² + ( nZ 1 - Z 2 )( « 1 ³ ) ² + +2 ( П 1 - пп 2 ) ® 0 ² ® 0 ³ + ( п§ 1 - § 2 ) ® 0 ² ® 1 ³ + ( пП 1 - п 2 ) « 0 ³ ® 1 ³ .

Таким образом, мы ввели в рассмотрение две основные квадратичные формы Ф 1 и Ф₂ теории комплексов. Геометрическое значение сопряженности регулюсов относительно второй квадратичной формы Ф ₂ такое же, как и в S ₃ ¹ , т.е. она характеризуется гармонической сопряженностью точек прикосновения одного из них с точками симметрии другого [2, с.96].

• 4.    Инфлекционные центры

Найдем инфлекционные центры образующей. Пусть M=A 0 +tA 1 – некоторая точка образующей, тогда условия неподвижности точки М будут иметь вид:

to 1 + t²to 1 + dt = 0, m ₀2 + tn® о = 0 , to 3 + 1® 3 = 0.        (А)

Точке М в нормальной корреляции соответствует плоскость П = - tn( A 0 A1 A 2) + ( A 0 A1 A 3).Отсюда dn = — tnto 3П + (—d (tn ) + to 2 — t П]2 co 2 )(A о Ai A 2) +

( to 3 + tnto 3 )( A 0 A 2 A 3 ) — ( to o ² + tnto о ³ ) (А , А₂А з ).

Условия неподвижности плоскости П получаются в виде to2 — d(tn) — 12n 2to3=0, to02 + tnto03=0, to03 + tto3 = 0.           (В)

Вычитая из первого равенства (А) первое равенство (В) и учитывая второе и третье равенства (В), получаем следующее уравнение четвертой степени, определяющее инфлекционные центры образующей

14n(n 2^2 — §1) +13(П1(1 + n ) — 2n 2n 2) +12(n 2Z 2 — Z1 — n 3 — n(^i + О + t (ni(1 + n ) + 2n 2) — Z1 — Z 2 = 0.

В общем случае этим уравнением определяется на каждой образующей четыре инфлекционных центра.

Условия

n(n 2^2 — §1) = ni(1 + n) — 2n 2n 2 = n 2Z 2 — Z1 — n 3 — n(zi + Z2) = ni(1 + n) + 2n 2 = Z1 + Z 2 = 0

характеризуют линейный комплекс.

• 5.    Некоторые частные классы комплексов

• 1.    Специальный комплекс, т.е. комплекс нулевой кривизны η =0. Для этого комплекса главная корреляция вырождается и все связанные с ней понятия теряют смысл. Аналитическими следствиями уравнения η =0 являются соотношения Z 1 — § 2 = 0, n 1 = 0, n 2 = 0 , получающиеся из (1.2) и (1.3). Геометрически это означает, что центральный регулюс to ₀2 = to 1 ³ = 0 вырождается в пучок прямых, лежащих в плоскости A ₀ A ₁ A ₃ с центром в точке A ₁ . Широта класса равна одной функции двух аргументов.

• 2.    Класс dn = 0 , т.е. комплекс постоянной кривизны. Этот класс характеризуется тем, что точки симметрии гармонически делят центры луча [2]. Доказана теорема существования для этого класса. Так, комплексы постоянной кривизны существуют с произволом одной функции двух аргументов.

Далее можно провести классификацию комплексов по инфлекционным центрам.

Заключение

Таким образом, нами рассмотрены комплексы прямых в трех неевклидовых пространствах S ₃ ¹ , ¹⁰ S ₃ ¹ , ⁰¹ S ₃ ¹ с проективной метрикой, комплексы прямых в пространстве ¹¹ S ₃ ¹ еще не изучены.