Комплексы в трехмерном квазигиперболическом пространстве

Дифференциальная геометрия трехмерного квазигиперболического пространства была изучена В.И. Слободским. Так, им изучены кривые и поверхности [1], регулюсы и конгруэнции [2]. В данной работе рассмотрены комплексы прямых.

• §1 . Канонический репер комплекса в квазигиперболическом пространстве ¹⁰ S 1

Рассмотрим трехмерное проективное пространство ¹⁰ S 3 , абсолют которого состоит из двух действительных плоскостей и двух мнимых точек на прямой их пересечения.

Наиболее общий репер пространства ¹⁰ S 3 можно выбрать так, чтобы абсолютные плоскости Q ₀ определялись уравнением: ( x ⁰ ) + 2 x ⁰ x ¹ = 0, прямая T их пересечения уравнениями: x ⁰ = x ¹ = 0, а квадрика Q 1 (две мнимо-сопряженные точки) уравнением: ( x ² ) + ( x ³ ) = 0.

Тогда деривационные формулы подвижного репера пространства ¹⁰ S 3 записываются в виде:

dA0 = «00 (A - A1) + «0A + «3A3, dA1 = -«0 A1 + «/A + «3 A3, dA2 = «2 A3, dA 3=-«2A2.

Рассмотрим в этом пространстве комплекс, т.е. трехпараметрическое семейство прямых. Включим элемент в репер, то есть точки A ₀ и A ₁ репера совместим с какими-либо двумя точками образующей комплекса, тогда получим п ^ = п 0 = п 1 = п 1 ³ = 0, т.е. формы « 2 , « 3 , «v , « 3 становятся главными формами и между ними существует основное соотношение, которое можно записать как

Q2 = ^10 +n^0 + Z^3.

Далее, пользуясь алгоритмом Картана, канонизируем репер полностью. Деривационные формулы канонического репера комплекса получим в виде:

dA 0 = «0 (A 0 - A 1 ) + « 0 A + « 3 A ₃, dA = -« 0 A 1 + n« 0 A 2 + « 3 A₃, dA 2 = « 2 A₃, dA₃ = -« 2 A 2 .

(1.1)

где

« 00 = Z« + n« 3 + Z« 3 , « 3 = Z ₂ « 0 + n ₂ « 0 + Z ₂ « 1 .

Цыренова В.Б., Проскурякова И.В . Комплексы в трехмерном квазигиперболиче-ском пространстве

Инвариант п назовем кривизной комплекса.

Затем нами доказана теорема существования о том, что комплексы в трехмерном квазигиперболическом пространстве существуют с произволом одной функции трех аргументов.

• §2 . Геометрическая характеристика канонического репера

Рассмотрим произвольную точку образующей комплекса

M = A 0 + tA_i                             (2.1)

Продифференцируем соотношение (3.1), применяя деривационные формулы (1.1) канонического репера комплекса. Получим:

dM = dA0 + dtA + tdAi = «,(A0 - Ai) + «,A2 + «,A3 +

dtA +1 (-«0 Ai + n«3 A2 + «3 A3) = «,(M - Ai)

-«0 Ai + «2 A 2 + «3 A3 + dtAi - t«, A + tn«3 A2 +t« A3 = (-«01 - « + dt + t«0) A + («0 + tn«0) A 2 + («0 +t«) A3 + «0 M.

dM || M тогда и только тогда, когда

-«0t - «0 + dt +t«, = 0,

‘ «0 + t« = o, «3 +1« = o.

Последние равенства являются условиями неподвижности точки M .

Рассмотрим плоскость П , соответствующую в нормальной корреляции точке M :

П = ( A,, Ai, dAo) = (A,, Ai, «2 A2 + «0 A3) = «2 (A, Ai A2) + «0 (A, Ai A3)

При « 0 = - t n« 0 получим:

П = - tn( A, Ai A2) + (A, Ai A3).

Отсюда следует, что в нормальной корреляции точке A ₀ соответствует плоскость ( A 0 A _i A ₃ ) точке A _i соответствует плоскость ( A 0 A _i A ₂ ) ,а точки A 2 и A ₃ суть точки пересечения абсолютной прямой с плоскостями ( A 0 A _i A 2 ) и ( A 0 A _i A ₃ ) .

• §3. Геометрическая характеристика инвариантов комплекса

Деривационные формулы канонического репера торса « 0 = « 0 = 0, « i ^ 0, при « 3 = ds , принадлежащего комплексу, имеют вид:

• dA = Z, (A - A,), dA = -М + A3, dsds

dAdA

• -=- = ^Z 2 ^A 3- / = ^Z ' A 2 .

dsds или, если ds = Z,^, A* = A0, A* = A,, A 2 = A3, A* = - A 2, вид:

dA*  J*   J* dAi - _ J* X J* dA2    £2 J* dA3  £2J*

A0   A,, A, + A2, 7 S' A3, 7

ds              ds           Z,      ds      Z,

Так, инварианты Z и Z суть радиус кривизны — и произведение 1        2

кручения k₂ и радиуса кривизны — ребра возврата торса У 2 = m 3 = 0.

• 2 k ₁ 0 0

Аналогично получаем, что инварианты п , , п , п ₂ являются соответственно инвариантами a , p и b гиперболического регулюса У 2 = У = 0, У , * 0, принадлежащего комплексу, а инварианты Z , § 2 являются соответственно инвариантами a и b гиперболического регулюса, принадлежащего комплексу, определяемого уравнениями У ₀ ³ = m 3 = 0, m ₀ ² * 0 [2, с. 57].

Таким образом, рассмотрение трех простейших регулюсов комплекса дает возможность получить геометрические характеристики для всех инвариантов комплекса, входящих в деривационные формулы канонического репера.