Корректность задачи дирихле в многомерной области для гиперболо-параболического уравнения

DOI:

Известно, что при математическом моделировании электромагнитных полей в пространстве характер электромагнитного процесса определяется свойствам среды. Если среда непроводящая, то получаем многомерное гиперболическое уравнение. Если же среда обладает большой проводимостью, то приходим к многомерному параболическому уравнению.

Следовательно, анализ электромагнитных полей в сложных средах (например, если проводимость среды меняется) сводится к многомерному гиперболо-параболическому уравнению [10].

Известно, также что колебания упругих мембран в прстранстве моделируются уравнениями в частных производных.

Если прогиб мембраны считать функцией и(х/Ь), х = (х ₁ ,...,х _т ,), т >  2, то по принципу Гамильтона приходим к многомерному гиперболическому уравнению. Изучение процесса распространения тепла в среде, заполненной массой приводит к многомерному параболическому уравнению.

Следовательно, исследуя математическое моделирование процесса распространения тепла в колеблющихся упругих мембранах также приходим к многомерному гиперболопараболическому уравнению [4].

При изучении этих приложений, возникает необходимость получения явного препредставления решений исследуемых задач.

Теория краевых задач для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучена [9]. Многомерные аналоги этих задач в обобщенных пространствах исследованы в [5; 7].

В [1] задача Дирихле изучена для многомерных гиперболо-параболических уравнений и показано, что корректность этой задачи существенно зависит от высоты гиперболической части рассматриваемой цилиндрической области.

Естественно возникает вопрос: имеются ли другие области, где задача Дирихле является корректной?

В данной работе найдена многомерная область в которой однозначно разрешима задача Дирихле для модельного гиперболо-параболического уравнения и приводится явный вид его классического решения.

1.    Постановка задачи и результат

Пусть ^ _а — область евклидова пространства Е _{т +1} точек (х ₁ , ..., х _т , t), ограниченная при t >  0 конической поверхностью

К : t = ф(г), ф(0) = ф(1) = 0, ф(г) G С1 ([0,1]) П С2((0,1)), |ф‘(г)| < 1, а при t < 0 цилиндром Га = {(х, t) : |х| = 1}, и плоскостью t = а < 0, где г = |х| — длина вектора х = (х15..., хт).

Обозначим через Q и Q _a части области Q _a , лежащие в полупространствах t >  0 и t <  0; о" _а — нижнее основание области Q ^- .

Пусть далее S — общая часть границ областей Q + и Q ^- представляющая множество { t = 0, 0 <  | х | < 1 } в Е _т .

В области ^ _а рассмотрим многомерное гиперболо-параболическое уравнение

J^{- А} _ж ^и и^, t > О, | А _ж и - u _t , t < О,

где А _ж — оператор Лапласа по переменным ж ₁ ,..., ж _т , т >  2

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат ж ₁ ,... ,х _т , t к сферическим г, 0 1 ,..., 0 _{m - 1} , t, г >  0, 0 <  0 1 < 2 п , 0 <  0 г <  п , г = 2,3,..., т — 1, 0 = ( ⁰ 1 )...) ⁰ т - 1 ).

Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области ^а при t = 0 из класса С(Qa) П П С2(Q+ U Qa), удовлетворяющее краевым условиям и = Ф1(г, 0),

и

= W<, 0 ), Γ α

и

= Ф 2 (г, 0 ). σ _α

Пусть {1^( 0 )} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 <  к <  к _п , (т — 2)!п!к „ = (п + т — 3)!(2п + т — 2), Ж (S ), I = 0,1,... — пространства Соболева.

Имеют место утверждения (см. [8]).

Лемма 1. Пусть /(г, 0) G Ж\ (S). Если I > т — 1, то ряд га fcn

/ (г. 0 ) = ЕЖ №Е( 0 ),                  (4)

п=0 2=1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р < / — т + 1, сходятся абсолютно и равномерно, при этом ft (г) = j / (г, 0)i;2„(e)dH, н где H — единичная сфера в Ет.

Лемма 2. Для того, чтобы /(г, 0) G Ж2(S), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам га fcn

| / 1 (г) |< с      ЕЕ п ² \ / п (г) |²<  с₂,      С 1 , С 2 = const.

п=1 к=1

Через <р ^ (г), ср 2„ (г), ^ (t) обозначим коэффициенты разложения ряда (4) функций ф ₁ (г, 0 ), р ₂ (г, 0 ), ^ (t, 0 ) соответственно.

Пусть Р 1 (г, 0 ) = г ³ р 1 (г, 0 ), Р 2 (г, 0 ) = г ³ р 2 (г, 0 ), Р 1 (г, 0 ), Р 2 (г, 0 ) G W 2 (S), ^ (t, 0 ) G ■ Ж 2 I , /> ^ +4.

Тогда справедлива теорема.

Теорема 1. Задача 1 однозначно разрешима.

2.    Доказательство теоремы 1

В сферических координатах уравнение (1) в области ^ _а имеет вид

^U TT

+

т —

Г

U _T

--2 5 n — U t = О,

т-1      1 д /д \

• 5 = — V^---:-----.     —— I smm-j-107—— I ,   gi = 1,   д.; = (srn0i...srn0_i)2,

g3si^m-3-1Qj д0Д          3 д03J              3        1

Известно (см. [8]), что спектр оператора 5 состоит из собственных чисел Л _п = = п(п + т — 2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует к _п ортонормированных собственных функций У „²_т ( 0 ).

Так как искомое решение задачи 1 в области ^ _а принадлежит классу С (Q _a ) П П С ² (^ _а ), то его можно искать в виде

^ к _п

^{U ( r} , ^{0 ,t )} = ^^ ^и П ^{( r,t}W tm ^{( 0 )                      (6)}

п=0 2=1

где u | ( г, t) — функции, подлежащие определению.

Подставляя (6) в (5) и используя ортогональность сферических функций Y^m(0) (см. [8]), будем иметь и„„„ +        u„„ — u„ 1 — -u„ = 0, к = 1, кп,   п = 0,1,...,(7)

I t t                             IIIIL / при этом краевое условие (3), с учетом леммы 1, соответственно запишется в виде ^(кЖ ^2n(t), ^ a) = ф 2n(r), к =1,к«, п = 0, 1,...

В (7), (8), произведя замену к П (r,t) = u | (r, t) — ^ _n (t) получим

^Птт '         Utr — к3 nt     2Ut = f n(r,t),

Г

UI (1,t)=0,   UI(r, a) = Ф2п(г),   к =1,кп,   п = 0, I,---,

/ I ^(r,t) = ^ It + ^ ^Г^ ^ ” ^(t),      Ф 2” ^{( г )} = ^{ф 2}” ^{( г ) — ф} ! ^{( а )}.

Произведя замену переменной и ^ ( г, t) = г ⁽ 2 ^} и | ( г, t) задачу (9), (10) приведем к следующей задаче

L^2 = иПгг — UIt + ^п = fI(г,к), и2(1,t) = 0, и2(г, a) = Ф2п(г),(12)

К = ^((т— ¹⁾⁽³ 4 ^{т )} —4^, ^f I ^(r,t) = ^Г^ ^{f k} _ri ⁽.r,^t), ^ф 2„ ^{( г )} = ^Г ^Ф^И.

Решение задачи (11), (12) ищем в виде иП (Г, t) = и1п(г, t) + и2п (Г, ^

где v ^k _n (r,t) — решение задачи

L^in = f П (r,t)(13)

^In(1,t) = о, ^in(r, о.) = 0;

а ^ 2n (r,t) — решение задачи

^2n(1,t) = 0, V2n(r, а) = (2„(r).

Решение задач (13),(14) и (15),(16) рассмотрим в виде

^ (r,t) = V Rs (Ш(17)

s=1

при этом пусть ft(r,t) = 2 a.,.(t)R,(r),    (‘„(r)= 22 b.Mr).(18)

S=1

Подставляя (17) в (13), (14), с учетом (18), получим

Rsrr + ^Rs + pRs = 0,    0 < r < 1,(19)

Rs(1) = 0,      |RS(0)| < to,(20)

Tt + ^Ts(t) = -as,„(t),     а < t < 0,(21)

Ts(a) = 0.(22)

Ограниченным решением задачи (19), (20) является (см. [6])

Rs (r) = yrJv(^s,«r),(23)

где v = ^{п +}( 2 2) , ^ $n — положительные нули функции Бесселя первого рода J _v (z ), ^ = ^ 2,п -

Решением задачи (21), (22) является

α

Ts,„(t) = (exp (-р2^)) У t as,„(t) (exp р2„^) d^.

Подставляя (23) в (22) получим

∞∞ r-2 f^ (r,t) = ^ as,n(t)Jv(^s,»r),   r-2 (2„(r) = ^ ^s,nJv(^s,»r),   0

S=1

Ряды (25) являются разложениями в ряды Фурье — Бесселя (см. [3]), если as,„(t) = 2[Jv+1(ps,„)]-21 Vl^fn (MPvKnfM,(26)

bs, = 2[Jv+i(^_s^-2 I VEvL(E) Jv(^s,nE)dE,                 (27)

где p_s,_n, s = 1, 2,... — положительные нули функций Бесселя J_V(z), расположенные в порядке возрастания их величины.

Из (17), (23), (24) получим решение задачи (13), (14)

^Ж ^t)

∞

E ^V((exp (-Р2,^)) s=1

α

I a_s,_n(E) (exp p.2,_nE) dE)Jv(^_s,nr), t

где a_s,_n(t) определяются из (26).

Далее, подставляя (17) в (15), (16), с учетом (18), будем иметь уравнение

Tst + К2,Ts = 0,     a < t < 0,     Ts(a) = bs,, решением которого является

Ts,(t) = bs, exp ^2,_n(a — t).                            (29)

Из (23), (29) получим

∞

^Ж ^t) = 52 ^bs,^ V^r (^exP ^2,n^{(a — t)}) ^Jv ⁽^s,n^r),                ⁽³⁰⁾

s=1

где b_s,, находятся из (27).

Следовательно, из (6) вытекает, что единственным решением задачи (1), (3) в области Q- является функция оо kn                         га kn

*, e, t) = EE e$(r, t) K„«,_m(e) = E ^E[<(t) + e^r, t^Y/je) = ,=0 k=1                   n=0 k=1

о k_H

= EE[*k„(t)+r11-211 ek (r,t)!Y,k„(e) = n=0 k=1 о kn

= EE {^k.(t) + r^11-2=1[ek,.(r,t) + «Kr.t)]} Yiye)         (31)

n=0 k=1

где e^k„(r, t), e^k„(r, t) определяются из (28) и (30).

Учитывая формулы (см. [3; 10])

^2JV⁽^) = ^Jv-1⁽^) ^{— J}v+1⁽z'⁾,

^Jv^(z) = V^ ^cos(^{Z — nv — П}) + ⁰(4/2 ) ’ V nz V 2     4        23/2 /

V > 0,

а также оценки [8]

|^n| < С1П^т 2,

а 9 k de*2 ,,m( )

≤

С2П

²= -1+9

j = 1, m — 1, q = 0,1,...,

а также леммы, ограничения на заданные функции ^(t, 0), ср₂(г, 6), как в [6], можно доказать, что полученное решение (31) принадлежит классу С (А^-) П С²(Q-).

Далее, из (28), (30), (31) при t > 0 имеем

^ fc_n

"(г, 0,0) = т(г, 0) = £ £ Т;(г)У‘т(0),                    (32)

п=0 2=1

где го

^ТпИ = ^2п⁽⁰⁾ + £^г"

S=1

j a_s,_n⁽^) (exp р^) d^ + Ь₈Дехр р2_1Па) 0

^ ^(m-2i (^s,™^)-

Из (26)–(30),а также из лемм и граничных условий вытекает, что

3m, т(г, 0) = г³т (г, 0), т (г, 0) G W^S), I > — + 4.

Таким образом, учитывая краевые условия (2) и (32), приходим в области Q⁺к задаче Дирихле для многомерного волнового уравнения

Д_ж^ — H^t — 0

с данными

H — ^1(г, 0)

и = ^т(г ⁰⁾,

которое имеет единственное решение ([2]).

Так как в ([2]) получен явный вид решения задачи (33), (34), то можно записать явное представление решения и для задачи 1.

Теорема доказана.