Краевая задача одного вида интегродифференциальных уравнений Вольтерра нейтрального типа

В работе [2] проведено исследование возможностей преобразования начальных задач интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра к разрешающему интегральному уравнению с обыкновенным аргументом. С помощью функции гибкой структуры доказано, что задача Коши для рассмотренных типов уравнений преобразуется к интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкн овенным аргументом, решение которого существует и притом единственное при выполнении условий ограниченности функций, входящих в уравнение. Рассмотрены возможности решения в замкнутом виде и вариант приближенного решения, если точное решение найти затруднительно.

Постановка краевой задачи и ее решение

Рассмотрим уравнение нейтрального типа следующего вида

l

n - 1

x _n

nn

y ⁽ n ^{) ( x} ) + E E f j ^{( x} ) y ⁽ i ^{) ( u} j ^{( x} )) ^{+ Л} |Е K u ^{( x}, n ) y ⁽ i ^{) (} u j ⁽ П )) d n = f ( x ),

j = 0 L i = 0

a i = ⁰

_(1)

где  u0(x) = x, uj (x) < x, uj (x) 7 x Vj = 1, l, fj (x), f (x)  и  uj (x)- непре рывны, ядра Kij (x, n) — регулярны в квадрате a < x, n < b.

Пусть дано уравнение (1), начальные функции

y(i)(uj (x)) = y(i)(x0^ф(i)(uj(xD, i = 0,n -1» x G Ex0,

l где E = I IEJ , Ej - начальное множество и линейные билокальные x 0    W x0

j = 0

краевые условия

E[«iTy(i)(x0) + Pty(i)(x1)] = Yt, T=0,n -1, a < x0 < x!

i=0

Предполагая, что решение задачи (1), (2), (3) существует и единственно, будем искать ее решение на отрезке x е[x₀,b] с помощью новой модификации функции гибкой структуры, полученной для решения краевых задач в работе [3] (случаи 2 и 3)

n y (x) = D-1{E s=1

di A _s (x - x₀)

dxⁱ

■ E [ Yt -T~0 to

- D - 1 вт j ^dkAn^x^ k=0     x₀      ^dx1

^Uj(x) di A _n (u_j (x) -1)

• -^(t)dt]+ J --------------Ц(t)dt}. (4)

1         dxi x0

Обозначим через c_j наименьшие из корней u_j (x) = x₀ на отрезке x е[x₀,b], если же таковых нет, то полагаем соответствующие c_j = b. Далее разобьем интегралы в уравнении (1) на суммы от известных и неизвестных частей в выражениях от запаздываний в соответствии с начальными функциями (2).

Подставив выражения функции гибкой структуры (4) и ее производных y⁽n)(x) и y⁽‘)(u_j (x)) в исходное уравнение (1) и проделав необходимые преобразования, получим разрешающее интегральное уравнение Вольтерра-Фредгольма с обыкновенным аргументом

l

^x1

^uj⁽x )

ц(x)+ E j G_j (x, t)^(t)dt + ^ j H_j (x, t^Hkt) dt] = F(x)•

J=0

L x0

^x0

ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2/2014

Пример. Найти решение краевой задачи уравнения нейтрального типа:

x                                   _.2

y'^(х)+ ²f^(x-П)У'^(П)dn =¹+—, У^(x) = У(0)-, y(-) = y⁽⁰⁾Д, ³y(0) + y(1) = 1. “22     2 2   4

Решение. В данной краевой задаче x0 = 0, x1 = 1,     u0(x) ^ x, u1(x) = x, c0 = 0, c1 = 0, EXo =[0]. Далее можно воспользоваться форму лой (4), выведенной для общего случая, но проще повторить на примере ее вывод. Выпишем функцию гибкой структуры для начальных задач, формулу (4) работы [3] и ее значение для y(x1)

X1

y(x) = y(0)er + jer^(x-t)ц(t)dt, y(1) = y(0)er + jer^(1-t)ц(t)dt.

Подставив полученное выражение для y(x₁) при x₁= 1 в краевые условия задачи, найдем:

1              1

y⁽⁰⁾ = "------"----7 fe⁽ ) Ц⁽t) dt.

3 + e 3 + e^J₀

Затем, подставив это выражение для y(0) в функцию гибкой структуры и с целью сокращения объема выкладок положив г = 0 для функции гибкой структуры и ее производных, получим выражения в соответствии с условиями краевой задачи:

x

y(x) = —- —|ц(t)dt + |ц(t)dt и y(^x) = —- —|ц(t)dt + Jц(t)dt,

4  -        0            2   4  4“        0

y^,(x) = ц^{( x}), y^,(|) = ;2 ц⁽|).

Подставив полученные выражения функции гибкой структуры и ее производных для данной краевой задачи в исходное уравнение, получим x.            t.            x разрешающее интегральное уравнение ц(х) + (x-1)ц(—)dt = 1 + —, ре-0

шение которого ц(x) = 1.

Используя это решение, найдем решение краевой задачи y(x) = x. Не трудно проверить, что условия краевой задачи выполняются.

Заключение

В журнальной литературе имеются труды, которые затрагивают многие вопросы решения интегродифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом, но мало работ, которые бы поднимали и решали проблему преобразования начальных и краевых задач для таких уравнений к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

В статье исследованы возможности построения модели с обыкновенным аргументом для краевой задачи одного вида интегродифференциаль-ных уравнений Вольтерра нейтрального типа. Для всех уравнений запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры этот вопрос решен положительно. Для уравнений нейтрального и опережающего типов такое преобразование возможно только для некоторых классов уравнений. Полученные аналитически е выражения модели начальной задачи дают возможность оптимизировать нахождение ее точного или приближённого решений за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры и разработать программу решения поставленных задач на ЭВМ. Этому и будут посвящены дальнейшие исследования и разработки программ.