Краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием

В работах [4] и [5] проведено исследование возможностей преобразования начальных задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма и Вольтерра с запаздывающим аргументом с помощью функции гибкой структуры к интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом. Доказано, что задача Коши для всех интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма и Вольтерра с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающему интегральному уравнению с обыкновенным аргументом, решение которых существует (и притом единственное) при выполнении условий ограниченности функций, входящих в уравнение. Рассмотрены возможности решения в замкнутом виде и вариант приближенного решения, если точное решение найти затруднительно. Определение типов в этой работе, как и в следующих, осуществлялось в соответствии с классификацией, приведенной в работе [1].

В данной работе исследуем вопрос о возможности аналогичных преобразований линейной краевой задачи для интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом.

Постановка краевой задачи

Выпишем общий вид линейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом ln

ЕЁ[ fj (x) y(')(uj(x)) + Af Ku(x, n) y(') (uj (n)) dn] = f (x), j=0 '=0

где u ₀ ( x ) = x , u_j ( x ) <  x , u_j ( x ) 76 x , j = 1, l , f_tj ( x ), f ( x ) и u_j ( x ) - непрерывны, ядра K_lj ( x , n ) — регулярны в квадрате a <  x , n <  b с начальными функциями

У(')(uj(x)) = У(')(xс)ф(')(uj(x)), i = 0,n - 1, x e Ex0, (2) l где Exo = ^jEx , Ex — множество точек, для которых соответствующие j=0

u_j ( x ) <  x при x >  x ₀ V j = 1, l , а E 0 = [ a , x ₀ ] , функции ф ( x ) - заданы и

Ф ' (x 0 ) = 1,     V i = 0, n - 1.

Рассмотрим уравнение (1) с линейными билокальными краевыми условиями

E j a „ y ^w( x 0 ) + в т У ^w( x j] = Y t , т = 0, n - 1, a <  x 0 <  x , < b . (3) i = 0

Решение краевой задачи

Предполагая, что решение задачи (1), (2), (3) существует и единственно, решение на отрезке x e [ x ₀, b ] будем искать, применив для преобразований модификацию функции гибкой структуры, полученную в работе [4] для решения краевых задач

n y (')(Uj( x)) = D-1{E s =1

^d ' A _$ ⁽ u j ⁽ x ) — x 0 )

∂ x

Е   [ Yt t=0 to

-

n - 1         ^x 1

- D "-E p.t f

d k A n ( x 1 - 1 )

k=0     x x0

jx) dn An (Uj( x) -1) ∫∂xn x0

d x k

-^ ( t ) dt ] +

-ц( t ) dt } + Y U j' ( x ) ^ ( U j ( x )). j = 0, l ,

(4*)

где г = 0, n , Y _n = 1, Y ' = 0 V г = 0, n - 1. j = 0, l , x e [ c_j , b ].

При этом начальные функции примут вид n-1    x1 д k Л ( x - t)

y⁽¹⁾(U j (x)) = ф i ⁽ u_J ⁽ x)) E^ [ у_т - D " ^{1 E в к т J}     d x k     ^ ⁽ t ) dt ],

(2*)

т=0 to                       xо i = 0, n -1, j = 0, l, x e Er . xо

Полученные выше формулы начальных функций и функции гибкой структуры с ее производными для краевой задачи в случаях 2 и 3 помечены теми же номерами, что и в работе [4], но со звездочкой.

Подставив выражения функции гибкой структуры и ее производных (4*) в уравнение (1), учитывая при этом форму начальных функций (2*), перенесем все известные выражения, получившиеся при этом, в правую часть равенства и проведем преобразования выражений под знаками интегралов, содержащих неизвестную функцию ^(x), суммировав интегралы, имеющие одинаковые пределы интегрирования. В общем случае получим для краевой задачи (1), (2), (3) разрешающее интегральное уравнение смешанного типа Вольтерра-Фредгольма с запаздывающим аргументом l                                                    x,                                    u, (x)

E f ( x ) u 7 ( n ) ц (U j ( x )) + J G , ( x , t)ц)dt + 2 J H,(x,t)^(t)dt}= F(x), (6) j = 0                                         у                                у

J                                                x о                                   x 0

где ядра G , ( x , t ), H , ( x , t ) и функция F ( x ) вычисляются по формулам

G , ( x , t ) = G * ( x , t ) + G “( x , t ) + G ***( x , t ), H , ( x , t ) = H* ( x , t ) + H** ( x , t ) + H*** ( x , t ),

n

n

G * ( x , t ) = - D ^{- 2} Е 7 , ( x ) - E

d i ^Л s ⁽ u , ^{( x} ) ^{- x} 0 )

i = 0 n - 1              n - 1 ^x 1

-E'   E e„f

f : 0 to k = 0

^x 0

s = 1

д k Л n ( x , - 1 ) д x k

dx ⁱ

⋅

-^ ( t ) dt ,

G “( x , t )=-D^-1

c

3 n                                n - 1 to     n - 1

JE Ki,-(x, n )^( u,-(n))E    E e a i=0                            т=0 to к=0

n - 1

n - 1

, д k л ( x - 1 ), ⁽кт —n Tr—^ d n д x ,            ,

d i ^Л s ⁽ u ,, ⁽ n ) - ^x 0 ) d η ⁱ

xn                  n

G***(x,t) = -D^2 2JEK„(x,n) E r i=0                   s=1

c n-1 to n-1 о дkЛ„ (x -1), •E—E вкт —n^1—dn т=0 to к=0 дx1

h ; ( x , t ) = K n, (x , u /-( t )) u 7( u /-( t )( u /-( t )) ‘ .

n

H" ( x , t ) = E f.Ax ) D

I = 0

^д ‘ ^Л n ⁽ u ,J ^{( x} ) ^- t )

д x i         ,

H j *** ( x , t )

x _n

J E Ku ⁽ x, n )

u /'( t ) i = ⁰

d i A n ( U j ( n ) - 1 ) 9n‘

-dn ,

f ( x ) = f ( x ) - E E

J = 0 i = 0

f        X^{-1 dA s ( U}j ⁽ x ) x 0 ) V¹ to

+

fjx)D E---b---E t!       dx       T=0 to

4                        n - 1 to

+Л J Kj(x, n )^(uj (n ))E s Yd + a                          т=0 to xn

+A J K₄( x , n ) D ^{- 1} E

d 1A s(u (n)- t) 9n‘

V¹ tor J

E- / T Y T d n ■

Заключение

В периодической литературе имеются работы, которые затрагивают некоторые вопросы решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с отклоняющимся аргументом, но мало работ, которые бы решали проблему преобразования начальных и краевых задач для таких уравнений к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

В данной статье с помощью функции гибкой структуры построено разрешающее уравнение первоначально поставленной краевой задачи. Затем, рассматривая различные типы разрешающих интегральных уравнений, предполагается решить вопрос о возможности преобразования краевых задач к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом. В дальнейшем планируется рассмотреть возможности оптимизации нахождения ее точного или приближенного решений за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры и разработать программу решения поставленных задач на ЭВМ. Этому будут посвящены дальнейшие исследования и разработки программ.