Критерии устранимых множеств для гармонических функций из соболевских пространств l1 p,w

DOI:

В [16] Л. Альфорс и А. Бейрлинг заложили основы теории устранимых множеств для конформных отображений в комплексной плоскости.

В этом направлении, как на плоскости, так и в пространстве, были проведены многочисленные исследования. Не претендуя на полноту, упомянем здесь работы Б. Шабата [15], В. Миклюкова [13], Ю. Вяйсяля [23], А. Копылова [11], В. Асеева и А. Сычева [1], С. Водопьянова и В. Гольдштейна [3], Ю. Дымченко и В. Шлыка [6].

Особо отметим статью Л. Хедберга [19], в которой он, используя распределения по Л. Шварцу, получил точные функциональные и емкостные характеристики устранимых особенностей для классов гармонических функций HD^P(G) , FD^P(G) .

Ниже, применяя построения Л. Хедберга, мы находим аналогичные характеристики устранимых множеств в классе H D^{P, W} (G) гармонических функций. Кроме того, ° 1 устанавливаем достаточные условия плотности класса C0°(G) в классе L _7W (R ⁿ ) .

Отметим, что для класса FD^{P, W} , являющегося обобщением класса FD^P, критерии устранимых множеств получены в [5].

1.    Терминология и обозначения

Далее G — открытое множество в п -мерном евклидовом пространстве Rⁿ, п >  2 , С _к — к -мерная мера Лебега; A _P — класс локально интегрируемых функций w : R ⁿ ^ ^ (0, + то ) , удовлетворяющих условию Макенхаупта [20]

р - 1

^sup i Q i

j wdx

Q

< то ,

Q

где супремум берется по всем координатным кубам Q С Rⁿ , | Q | = G _n (Q) , p,q E ^{E (1 ,} + ^{то )} , р + ¹ = 1 .

Вес w ¹- обозначим через w и заметим, что ввиду (1) w E А _ч . Для весовой функции w E А _р обозначим через L p_w (G) класс функций и : G ^ ( -то , + то ) , локально интегрируемых в G , имеющих в G обобщенные частные производные и таких, что

У |V u | ^P wdx <  то .

G

В L p, _w (G) введем норму

1Ы1Ч™ (G) =

^P wdx

р

в котором функции из L p_w (G) , отличающиеся друг от друга на постоянную на каждой компоненте связности множества G С _п -почти везде, отождествляются. Как известно (см. [21, Theorems 4.4.4, 4.4.6], где класс L p, _w (G) имеет обозначение BL ^"¹ (G) ), пространство L p _w (G) в норме || • ll^ i ^( g ) является полным и C “ (G) является плотным в указанной норме для L p _w (G) .

Через HD^P,W (G) , следуя Л. Хедбергу, обозначим класс всех гармонических в G функций из L p, _w (G) .

Компакт Е С G назовем устранимым для HD^P,W (G) , если каждую функцию и E E HD^P,W (G \ Е ) можно продолжить до функции из HD^P,W (G) .

Через Е^р _к (G) обозначим класс всех вектор-функций и = (и 1 ,... ,и _к ) , для которых

^{| u |} £ P ( G ) =

< то .

В случае к = 1 положим C P (G) = С^р (G) .

Запись F обозначает замыкание множества F С Rⁿ в топологии К^п.

Положим для г >  0 B(x,r) = { у E Rⁿ : | у - x | < г } . Носителем supp/ непрерывной в G функции /(x) назовем замыкание в G множества тех x , для которых / (x) = 0 . C 0 ” (R ⁿ ) и C ” (G) — совокупность бесконечно дифференцируемых функций в Rⁿ с компактными носителями соответственно в Rⁿ и G .

.                                               о 1

Замыкание C ” (G) по норме L^ (G) обозначим через L _pw (G) . В дальнейшем мы будем использовать один результат Фейбса, Кенига, Серапиони [12, теорема 1.3]:

Если Q — ограниченное открытое множество в Rn, то существует положительная постоянная C такая, что для всех п Е C0°(Q) верна оценка j [ulqwdx < C j |Vn|qwdx.

Q

Q

Для компакта К С Rⁿ его (q, w) -емкость относительно Q определим как

Cq,w(К) = inf j |Vg|qWdx, Q где инфимум берется по всем функциям д Е C0°(Q) таким, что д = 1 в окрестности компакта К, где Q — фиксированное ограниченное открытое множество и К С Q. Ниже такие функции назовем допустимыми для Cq<„ (К).

о 1

Функцию п ₀ Е L_{qi b} (Q) назовем экстремальной для Cq ^ (К ) , если она является о 1

пределом в L_qt y (Q) последовательности допустимых функций для Cq^ (К ) и C _q ,„ (К) = = J |V u o | ^q Wdx (o существовании п ₀ см. лемму 2).

Q о1                                                                                         о1

Функцию К Е Lo„(Q) назовем пробной для Cq.6(К), если К = lim пт в Lo„(Q), q,                                     ,                     т^”         q, где пт Е C”(Q) и пт = 0 в окрестности компакта К.

о 1

Замечание 1. Если п Е Lqty (G), то, положив п = 0 на Rn \ G, нетрудно заметить, что о1, п Е Lq,^ (R").

Замечание 2. Равенство C _q< „ (К) = 0 не зависит от выбора ограниченного открытого множества Q D К . Действительно, пусть C _qvw (К ) = 0 относительно Q D К и пусть Q ₁ — еще одно открытое ограниченное множество в Rⁿ, К С Q ₁ . Рассмотрим неотрицательную функцию К Е C ” (Q П Q ₁ ) П C ” (R ⁿ ) , где К = 1 в окрестности К и К = 0 на R ⁿ \ Q ₂ , Q ₂ С Q П Q ₁ , К С Q ₂ (построение такой функции К можно найти в [4, тео- о 1

рема 2.6]). Если пт Е Lqqi(Q) — допустимая для Cq,.„(К) и J |Vnm|qwdx ^ Cq

при т ^ то, то К • п_тЕ L_q,_tD(Q П Q₁) — допустимая функция для C_q,_lb(К) в Q П Q₁. В силу (2)

j |V(Кn_m)|^qwdx = j lhVn_m + п^К^wdx<

QnQ1

QnQ1

< 2^qmax |К|^q• o(1) + 2^qmax |V^^qj |п_т|^qWdx< const • o(1),m ^ to.

QnQ1

Следовательно, Cq^(К) = 0 относительно Q П Q₁. В силу монотонности Cq^(К) = 0 относительно Q₁.

Для произвольного множества F C Rⁿ положим C_q<w (F) = 0, если для каждого компакта К C F найдется открытое ограниченное множество Q D К такое, что C_qvw (К) = 0 относительно Q.

Пусть T : / ^ К * / — сингулярный интегральный оператор свертки с ядром К, удовлетворяющим следующим стандартным условиям:

• 1.    для преобразования Фурье К ядра К имеем оценку \\К||_го< C;

• 2.    |К(х)| < ^;

• 3.    |К(х) - К(х - y)|< ^у для |y| < |2.

Здесь C — некоторая постоянная.

Известен результат Р. Койфмана и К. Феффермана [18, theorem 3], более подробно см. [21, theorem 5.2.5]: если W Е А_ч и /W 1 Е Т?(R¹), то

I ITf (х)|^чгДх< C_qj* |/(х)|^чwdx,

R"

R"

где C_q — положительная постоянная, которая зависит только от q,n,w.

Если /(х)гч е С^ч(G) то в качестве / в (3) нужно рассмотреть функцию, продолженную нулем на Rⁿ \ G.

Неравенство (3) при w = 1 было первоначально установлено Кальдероном и Зиг мундом в [17] для ядер К = К^

д²

п> 2; для п = 2 К = К'; = —z— dxidxj

д²   /   1

= дх^дх; VITF²/, ^{где |х|}= ^1(Х1,'"^,Хп)|> ^{0 и} (-log |х|), где |х| = I(х1, х2)| > 0.

Из определения К'; следует, что

К ■ =

^К'з

F (х) |х|^п

где F(х) — ограниченная однородная функция степени 0, то есть F(кх) = F(х) для всех к > 0 и |х| > 0. Доказательство условия 1 для ядер К вида (4) приведено в [14, п. 4.3 гл. II, с. 53]. Очевидно, что (4) влечет условие 2. Условие 3 для К^; следует непосредственно из применения формулы Тейлора в точке х.

2.    Вспомогательные утверждения

° 1

Лемма 1. Любой непрерывный линейный функционал на Ь_ч,,_Й(G) можно представить в виде

^F(“) = /(Ё Ч' tl^ Дс

где w ч g е F^G) и g = (gi,..., g_n). Кроме того, \\F | < ||ги ч g\_C"(G) ■

Доказательство. Очевидно, что правая часть (5) является линейным функционалом ° 1

на Lq,™ ^(G)и

1 ^p

I f C«)l < I |g| • |Vu| dx = I |g|w чwч |Vu| dx< I j IgI^Pwdx j   ||u|_Li -(g).

G              G                   Gg        /

° 1

Отсюда (5) — ограниченный линейный функционал на L_q™ (G).

°1

Обратно, пусть F(и) — некоторый ограниченный линейный функционал на L_q™(G).

° 1/\              1

Сопоставим вектору Vu, где и Е L_q,™(G), набор х = w^чVu из G^q(G). Так как простран-°1

ство L_q™(G) полно (как замкнутое подпространство полного пространства L^™(G)), то °1

область значений оператора V : L_q™(G) ^ ^(G) является замкнутым подпространством пространства C^(G). Определим функционал Ф(х) = F(и) для любого вектора х Е Cn(G), представимого в виде W^чVu. Тогда ||Ф| = IF|| и по теореме Хана-Банаха

Ф может быть распространен до линейного функционала на ^^(G) с сохранением нор-п мы. В силу линейности Ф(х) можно записать в виде ^2 Фг(хг), где Фг(хг) — линейный г=1

функционал на G^q(G) и х = (х1,..., х_п). Отсюда по теореме Рисса

Ф(х) =

dx,

где g = (g1,...,gn) — некоторая функция из Gp,(G). Это дает представление F(и) в виде

^F(u) =

- _ I ^du g^^wf~ ^дхг

dx,

где g = (g1,...,gn) = (g1,..., gn)iu ч, и, значит, w ч g е Gp,(G). Тем самым лемма доказана.

Обозначим через {-, •) скалярное произведение в Rⁿ.

Лемма 2. Если К — компакт в ограниченном открытом множестве G С Rⁿ, то °1

C_q™ (К) < то и существует экстремальная функция и₀Е L_q^ (G) для Gj,™ (К) (относительно G), удовлетворяющая следующему вариационному условию:

J |Vuo|^q-2(Vuq, Vh^ xudx = 0,                            (6)

G где h — произвольная пробная функция для Cq^.™ (К).

Доказательство. Известно (см. [8, лемма 1], где все w,p нужно заменить на гх,д), что (q, г)-емкость конденсатора (F₀,F1,G) удовлетворяет неравенству C_q<a(F₀,F1,G) < < то. Положим F_o= dG, F1 = К. Из определения C_q,™(К) следует, что C_q,™(К) < < C_q™(F₀,F1,G). Это дает нужную оценку C_q,™(К) < то.

Существование экстремальной функции и соотношение, аналогичное (6), для емкости C_qy(F₀,F1,G), получено в [8, теоремы 1,2] (см. также [24]). Для C_q,₁i₎(К) доказательство повторяет доказательства теорем 1 и 2 из [8] и поэтому его здесь опускаем.

Замечание 3. Применяя срезки вида min(1,h) и max(G,h) к допустимым функциям h в определении С q^ (К) и затем аппроксимируя эти срезки гладкими функциями, можно показать, что экстремальная функция uq в лемме 2 удовлетворяет условию G < uq< 1 на G.

Лемма 3. Пусть К₁и К₂— компакты в ограниченном открытом множестве Q и такие, что С q^(К₁) = С^(К₂) = G. Тогда С q^(К₁U К₂) = G.

Доказательство. Пусть - > G, и_г — допустимая функция для Су^(К_г) относительно Q и

У |Vuj|⁹tudx < -, г = 1, 2. Q

Тогда и1 + и2 > 1 на К1 U К2 и u1 + u2 G Су0 (Q). Как известно [21, theorem 4.1.4], срезка v = min(1,u1 + u2) G LX(Q) и J |Vv|qwdx < J|V(u1 + u2)|qwdx, v = 1 в ’           Q                   Q окрестности К1 иК2, supp v лежит в Q. Проводя стандартное усреднение с переменным шагом относительно Q [6, теорема 5], найдем допустимую функцию v1 для Сч<ш(К1 иК2) относительно Q, такую, что J |Vv1|qtud^ = J |Vv|7xbdx + о(1), где о(1) ^ G при - ^ G. Q             Q

Тогда

С_ч<й (К1U К2

) < У |Vvi|^yLdx< 2^q Q

+ о(Ц

что и завершает доказательство леммы.

3.    Критерии устранимых множеств для HDp,w(G)

Теорема 1. Пусть Е — компакт в ограниченном открытом множестве G С Rn. Для того чтобы компакт Е был устранимым множеством для III)"-"' (G), необходимо и ° i достаточно, чтобы СQ0(G \Е) было плотным в L^ (G).

Доказательство. Необходимость. Пусть Е — устранимое множество для НВ^Р<Ш (G) °1

и пусть С^^ \ Е) не является плотным в L^(G). Если £„(Е) > G, то С^^ \ Е) °1

заведомо не является плотным в Lq^(G) (см. доказательство условия достаточности в теореме). Это позволяет считать Е всюду разрывным компактом в G.

Действительно, пусть Х1 — семейство всех (п—1)-мерных гиперплоскостей, ортогональных координатной ж1-оси. Индексируем каждую гиперплоскость Н G Х1 индексом а1, где а1 — точка пересечения этой гиперплоскости с ж1-осью.

Положим т = {а1 : Еп-1(На1 П Е) > G}. В силу Еп(Е) > G имеем по теореме Фу-бини оценку ^1(т) > G. Пусть т‘ — компакт в т такой, что ^1(т‘) > G. Если т‘ — всюду разрывный компакт, то положим т1 = т‘. В противном случае т‘ содержит невырожденный отрезок [с, d] и положим тогда в качестве т1 С [с, d] канторово всюду разрывное множество положительной длины.

Положим Е₁

= ( и н_аХ

\ атетт /

П Е. Тогда ^„(Е1) > G.

Пусть теперь (п — 1)-мерная гиперплоскость ортогональна координатной ж₂-оси и

а₂ — точка пересечения этой гиперплоскости с осью ж₂. Положим Н_а2 = Н. Заменяя в

приведенных выше рассуждениях Е на Е1, координатную ось х1 на х₂-ось, гиперплоскости Н_а1 на Н_а2, получим всюду разрывный компакт т₂такой, что т₂С {а₂ : E_n-1(H_a2 П П Е1) > 0}.

Положим Е₂= I U H_a2 I П Е1. По построению £_П(Е₂) > 0. \а2ЕТ2     /

Продолжая этот процесс дальше, получим последовательность Е1 D Е₂D ... D D Е_п, где £_П(Е_П) > 0 и ортогональная проекция компакта Е_п на каждую х^-ось, г = = 1, 2,..., п, есть всюду разрывный компакт положительной длины. Компакт Е_п также ° 1

будет устранимым для Н D^p,w (G) и С“ (G \ Е_п) не является плотным в L_7t5(G).

Поэтому ниже считаем, что Е — всюду разрывный компакт в случае Е_п(Е) > 0.

°1                                                                            °1

Тогда существует элемент х₀ £ L_q^ (G \ Е) такой, что расстояние между х₀ и L₇^ (G) положительно. В силу известной леммы об аннуляторе [10, с. 180] существует ненулевое °1

распределение Т на C“(G) с supp Т С Е, непрерывное на L_q,^ (G).

Введем распределение S = Т * |x|^2-n.

Тогда для ф £ C0^(G) справедливо равенство (см. [2, с. 82]) (AS, ф) = С(Т, ф), где постоянная С = 0. Поскольку (Т, ф) = 0 для всех ф £ Cq°(G \ Е), то по одной из теорем Л. Шварца [22, с. 136] обобщенная гармоническая функция S в G \ Е будет гармонической на G\Е в обычном смысле. С другой стороны, поскольку Т — ненулевое распределение на C0°(G), S не является гармонической функцией на G.

„            dS _i „                             „

Покажем, что ——го ч £ £^P(G) для всех з = 1, 2,... ,п. В силу леммы 1 ^9xj

Т как

в виде

° 1 линейный непрерывный функционал на L^ (G) можно записать для ф £ Q^G)

(Т, ф) = J dx.

G

Это дает равенство

В силу (3)

Отсюда

(и

, ф

)=-S^

-1 д 2   / г ч  ;—(ф *

UXj их г

(и • ф)

-

G

|x|^2-n)

д²

^^г3x<j Зхг

(ф * |х|^{2 n})^ dx.

< С||w ¹ф|_£ч(G). £ч (G)

< С||w ⁵y^£P(G)^W⁵ ф||_£ч^).

Введем линейный ограниченный функционал на G0°(G)

Ф(у) =

/ dS \ = Г (^   д²

(ф * |х|^{2 n})^ dx,

V 3xj, ф)   7 ^^ 9г 3xj dxi где х = w ч ф £ Eq(G), ф £ G^(G'). По теореме Хана-Банаха в силу (7) продолжим Ф(у) на Cq(G) до линейного ограниченного функционала с сохранением нормы.

Из общего вида линейного ограниченного функционала на С1 (G) [9, теорема 6.2.1] dS -1   „ получим аналогично доказательству леммы 1, что ——w ч Е CP(GY Иначе говоря, 0Жj г ;- i = 1, 2,... ,п.

—— wdж < то, J джj

G

Это влечет S Е L^,_w (G). Выше было отмечено, что S Е HD^P,W (G \ Е).

Покажем, что S не продолжается до функции S Е HD^P,W(G).

Действительно, пусть S Е HD^P,W(G) — продолжение S и Е_п(Е) > 0. Напомним, что Е — всюду разрывный компакт. Как известно [21, Theorem 4.1.3, Corollary 4.3.3], LP,_W(G) = ACL_P,_W(G), где ACL_P,_W(G) — класс функций u, абсолютно непрерывных в G на С_п-1-почти всех отрезках, параллельных координатной ж^-оси, г = 1, 2, ...,п, ¹

wрVu Е E^G). Отсюда для С„-почти всех ж0 Е Е S(ж0) = S(ж0) = lim S(ж), где х^хо ж Е G \ Е, ж ^ ж0 вдоль прямой, проходящей через точку ж0 параллельно ж^-оси, г = 1, 2,..., п. Это влечет S = S Еп-почти везде на G, и, значит, 0 = (AS, ф) = (AS, ф) на C^ (G).

Тем самым, S — гармоническая функция на G, что противоречит определению распределения Т.

В случае С_П(Е) = 0 те же рассуждения дают противоречие с определением Т. Значит, Е не является устранимым для HD^P,W (G). Из полученного противоречия следует, ° 1

что C0”(G \ Е) является плотным в L_1W(G).

° 1

Достаточность. Пусть C0”(G\Е) плотно в L_1W(G). Покажем сначала, что E_n(Е) = = 0. Действительно, предположим, что Е_П(Е) > 0. Выберем открытые множества Q1, Q₂ такими, что Е С Q1 С Q1 С Q₂С Q₂С G. Пусть v(ж) Е C0^(Rⁿ), v = 1 на Q1 и °1

supp v С Q₂. Тогда v Е C“(G). В силу плотности C“ (G \Е) в L_1W(G) найдется по° 1

следовательность vk Е C“(G \Е), для которой lim vk = v в L„ W (G). Положив в (2) k^^           11

u = vk — v, Q = G, получим vwч I1 ^ж = 0.

lim    |vk — vl1 wdж = lim    |vk гоч — k^^

GG

В силу известного свойства С¹(G) найдется подпоследовательность v_kl такая, что v_klioч ^ 1

^ v_klioч С„-почти везде на Е. Это противоречит тому, что v = 1 на Е, v_kl = 0 на Е для всех I > 1. Следовательно, С_П(Е) = 0.

Пусть теперь u — произвольная функция из HD^P<W(G \ Е) и ф Е C0^(G \ Е). Из формулы Грина имеем

J(Vu, Vф) dж

G j фAu dж = 0.

G\E

°1

Поскольку Е_П(Е) = 0 и C0”(G \ Е) плотно в L_1ilk(G), то

У uAф dж =

G

J(Vu, Vф) dж = 0.

G

По одной из теорем Л. Шварца [22, с. 136] п — гармоническая функция в G и поэтому принадлежит Н D^p,w (G), что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2. Пусть G — открытое ограниченное множество в Rⁿ и Е — компакт в G.

Е — устранимое множество для HD'^P<W(G) тогда и только тогда, когда C _q,_W(Е) = 0 относительно G.

Доказательство. Необходимость. Пусть Е — устранимое множество для HD^1P,'^W (G) и предположим, что C_q,_W (Е) > 0 относительно G. Пусть п₀ — экстремальная функция для ° 1

C_q,_W(Е) из леммы 2. Рассмотрим соответствующий линейный функционал на L_q,_W(G):

L(u) = I |Vu₀|^q-2(Vu₀, Vm) wdx.

G

В силу леммы 2 L(m₀) = C_q,_W(Е) > 0, L(m) = 0 на C0^(G \ Е),

1 p

|L(m)| < I I |Vu₀|^qwdx \ G

° 1

Другими словами, L(m) — ограниченный ненулевой линейный функционал на L_qiW(G). Тем самым функционал L(n) порождает ненулевое распределение Т с носителем на Е. Проводя дальше рассуждения, аналогичные доказательству условия необходимости в теореме 1, построим гармоническую функцию v, которая не продолжается до гармонической функции на G. Следовательно, C_q,_W(Е) = 0.

Достаточность. В силу теоремы 1 достаточно показать, что каждую функцию °1

Ф G C“(G) можно аппроксимировать в L_q,_W(G) функциями из C0°(G \Е).

Зададим е > 0 и найдем допустимую функцию v₀ G C0^(G) такую, что v₀ = 1 в окрестности Е и J |Vv₀|^qtudx < е. Тогда м₀= ф(1 — v₀) G C0°(G \ Е) и

G j |V(^v0)|quodx = I |фVv0 + v0V^|quodx <

G

G

<2^q max |ф|^q• е + 2^qmax

|Vф|^qI |v₀|^qtudx< const • E. G

в силу оценки (2).

Следовательно, J |V(v — u₀)|^qtudx< const • е, что влечет плотность C0°(G \ Е) в

G

°1

классе L_{q W}(G). По теореме 1 компакт Е — устранимое множество для HD^P,W (G).

Следствие 1. Пусть G — ограниченное открытое множество в Rⁿ и Е — компакт в G. Если Е — устранимое множество для HD^P,W (G), то Е — устранимое множество для НП^Р,-Ш (G1), где G1 — произвольное открытое множество в Rⁿ.

Из леммы 3 получим еще одно утверждение.

Следствие 2. Пусть G — ограниченное открытое множество в Rⁿ и Е — компакт в G. Е — устранимое множество для H D^p,w(G) тогда и только тогда, когда для каждой точки х Е Е существует замкнутая окрестность В (х,г) такая, что В(х, г) П Е — устранимое множество для HD^P,W(G).

Ниже каждую функцию и Е C0°(G) положим равной 0 вне G.

Теорема 3. Пусть G — открытое множество в Rⁿ. Если C^(Rⁿ\G) = 0, то C^(G) °¹

плотно в L_yjt5(R .

Доказательство. Пусть C^ (Rⁿ \G) = 0. Тогда достаточно установить аппроксимацию °1

каждой функции ф Е C^(Rⁿ) функциями из ф Е C0^(G) в Ly,^(Rⁿ).

Для заданной функции ф Е C0°(Rⁿ) и е > 0 найдем ограниченное открытое множество Q, для которого supp ф С Q. Положим Е = (supp ф) П (Rⁿ \ G).

Из равенства C_yvw (Rⁿ \ G) = 0 следует, что C_yvw (Е) = 0.

Тогда найдется допустимая функция т0 для Cy

У |V(ф — u₀)|^ytudx = У |V(ф — uo)|^yixdx< const • е.

R"

Q

Тем самым теорема доказана.