Квантовое рождение вселенной с метрикой типа VIII по Бьянки с вращением

Нами построена нестационарная космологическая модель типа VIII по Бьянки с вращением. Метрика модели имеет вид

12 C ' ²( к² - a ²) + 3 к²a² - 3 a⁴ п =---------^------- ,

4 C ² a ²

условия a >  п и s >0 будут обеспечены при

ds ² =

= -( dt + kCш1)2 + (aCo1 )2 + C2 ((о2 )2 + (о3 )2), где C = C(t), к,a = const, о1,а2,со3- есть 1-формы, удовлетворяющие структурным отношениям типа VIII по Бьянки. Модель заполнена вращающейся анизотропной жидкостью с тензором энергии-импульса (ТЭИ)

T = ^{( s + п} ) ^uU к + ⁽ ° ^{- п} ) X i X k ⁺ n g к , ,   ⁽²⁾

где u _v u ^v =- 1, х ^ Х = 1, Х * и * = 0, ^ >  п .

a ² >  к ².

3C' Расширение модели в = -^-,

k жидкости ш =   , ускорение сдвиг отсутствует.

Для нашего решения a + s = 0 (a = -s).

У нас

s = 3( a ² - к ²) H + a²

4 { - 1 - ( a ² -

ch ² Ht

вращение

kC ‘ a =      ,

aC

a2

.

Примем, что c = 1, к = 1, 8 n G = 1, где G -ньютоновская гравитационная постоянная. Из уравнений Эйнштейна получено

Исключим из последнего выражения t, учитывая, что C = О— ch ( Ht ), тогда будем

иметь

C =     ch ( Ht ), H = const,

2 H

H – характеризует темп раздувания,

s = 3( a ²

-

2 H ²

^к )— ⁺ a

{ - ^{1 - ( a 2 -} к ^2)}

C ²

- 12 C ^,2( к ² - a ²) + к² a ² - 4 a ² - a ⁴ 4 C ² a ²

Классическая модель заполнена вращающейся анизотропной жидкостью. При этом параметром, характеризующим враще-

a =

12 C' ²( к ² - a ²) - к² a ² + 4 a ² + a ⁴ 4 C² a²

k

ние, является k , а скаляр вращения о =

.

В работе [1] исследуется квантовое рождение рассматриваемой модели вселенной

Квантовое рождение вселенной с метрикой типа VIII по Бьянки с вращением

из C = 0, найдена волновая функция вселенной, вычислен коэффициент туннелирования вселенной. На этапе квантования анизотропная жидкость предполагается классической.

Получение уравнения Уиллера–ДеВитта

Пространство-время с метрикой (1) можно расщепить на пространство и время согласно стандартной процедуре [2]. Для этого метрику (1) можно представить в виде

ds2 =

= -N2dt2 + ga(ddxa + Nadt)(dx + N dt), а нормальный базис на гиперповерхностях постоянного параметра t = const определяется триадой касательных векторов e^ (a -реперный индекс, a - координатный индекс); e0 = 0, eb = ^а (a,b = 1,2,3); единичный времениподобный нормальный вектор к трехмерной пространственноподобной гиперповерхности постоянного параметра t = const имеет вид na = (-N ,0,0,0), a = 0,1,2,3.

Как известно, Y - волновая функция вселенной удовлетворяет уравнению Уиллера-ДеВитта

T = 4 C ⁴ ак ( о + а ) = 0,

¹                                            (12)

T = 4 C 4ак (x2 (о + а) + £ + а) = 0,

Т =

= -4 C ⁴ак ( x ² x₂ (£ + а ) - x_{ ( £ + а ) + (13)

+ x ₂ ( £ + а )) = 0.

Учитывая, что для нашего решения а = -£ , то (12, 13) удовлетворяются тождественно.

Подставим (5) в (11) и получим

t,=

3 C ( a ² - k ² ) ^3/2 [4 H ² C ² - 4 C '² - a ²]

а2

= 0. (14)

Будем квантовать уравнение связи (14) по аналогии с работой [3] c помощью замены t конформным временем р : dt = Cd n и заме-

dC

1 d

ной производной--- оператором--, где i dn           i dC

- мнимая единица.

В итоге уравнение Уиллера–ДеВитта имеет вид

d2 dC2

-

U ( C ) Y ( C ) = 0 ,

где

T_l y = 0

и уравнениям суперимпульсов T _a Y = 0.

Согласно литературе [3] уравнения связей можно записать в виде

Ti =

L                                              ,              (9)

= -а0GabcdnV - g1/2 -3R - 2а0g1/2 • T^ = 0,

T =-2g П - 2g1/2 • TLa = 0.

Здесь

_ab        1/2/ a^ab    ~bb

П =- g  ( K - g K ),

Kab = -na;b ,

° 0

т =Т папв Т =сгпаерТ Tn Tapn n , TaL а0 n ea T pa,

1, T _ap — ТЭИ анизотропной жидкости.

В итоге для метрики (1) получено

T L =

—

W’2ff2r-I?r2(ff2-Pu? +4/T2 -ff2Pl к [4 C a О 12 C (U к ) + a + 4a a k ]

а2

= 0,

a 2C2

U ( C ) = — (1

—

4 H² a ²

C ²) .

Обозначим для дальнейшего

~ . 4H2   2_ aa2 ’  0   4 H2

~

.

Отметим, что квантование можно

про-

водить и по-другому. Если осуществить квантование в канонических импульсах n ab , заменив t конформным временем р : dt = Cd n и

dC

1 d

заменой производной--- оператором-- dn           i dC

.

Коэффициент туннелирования

Используя решение (14)-(17) или опираясь на известную формулу квантовой механики, можно получить коэффициент туннелирования вселенной (ВКБ коэффициент прохождения через потенциальный барьер) в виде

(    C 0

\

D = exp - 2 J 7 U ( C ) dC =

У     0

( C 0

= exp

—

J a C 1

—

У ^{0 У}

9     \ 1/2

H ^{c 2} )

dC .

Коэффициент туннелирования дает вероятность рождения вселенной. В итоге имеем

D = exp

— a

[ 1H)

.

k

Вращение жидкости a =    ,

ускоре-

_ „  kC'  c ние a = —— . Если эволюция скорости остается неизменной, а изменяется 4-х ускорение за счет изменения параметра а, то можно сделать вывод, что увеличение 4-х ускорения вселенной увеличивает вероятность квантового рождения вселенной.