Квазисоболевы пространства l pm
Бесплатный доступ
Впервые рассмотрены понятия квазbбанаховых пространств последовательностей l m p, т ∈ R, р ∈ (0, +∞). Доказаны аналоги теоремы вложения Соболева. Также рассмотрен квазиоператор Лапласа.
Квазинормы, квазибанахово пространство, квазисоболевы пространства, квазиоператор лапласа, квазиоператор грина
Короткий адрес: https://sciup.org/147158746
IDR: 147158746
Текст краткого сообщения Квазисоболевы пространства l pm
Ω⊂Rn – C∞ .-
Wpm (Ω), m ∈ {0} ∪ N , p ∈ [1,+∞) ;
Wpm (Ω) = L2 (Ω) – [1]. [1]-
1 m -t 1
лева: при всех me N, t = 0,1,...,m-1, p,qe [1, +^) таких, что —I--< — < 1, имеют место pnq плотные и непрерывные вложения wpm (Q) с Wq (Q)(1)
Нашей задачей является распространение данного результата на квазисоболевы пространства последовательностей k}: Я^Ы k=1^> p∈(0,+∞) , m∈ R, {λk} –-
, lim λk =+∞., k→∞
, [2],-
..

t mp = ^ X = { X
1..
℘ – ( ).
(℘, p ⋅ ), p ⋅ : ℘→ R -
:
(iii) ∀ x , y ∈ ℘ px + y ≤const
x + y pp
, const ≥ 1 x ,
y .
(℘, p ⋅ ) -
℘ . { xk } ⊂ ℘ x ∈ ℘,
Краткие сообщения
1 1П V _ V -- ЧТЛТ /TAQL'T Д^Х/ТТОЛГ ООТГТЛТ'Т-ТТЗ'Д'Т'Т- 'T'OTZ* Inn V — Y l/'li"' ГТГХ ТТ/Л R‘ЛТД2'TTR T T/XR'm UOОТТГХ! ^ТР(Г lim p Xk X — 0 . CzlUl фс1К1 иуд CM odllHCblodlb IdK. lim xk — X . 110UJlCД0.DdiCJlbгЮUib ildlblbdClOi k ^~ p k ^~ фундаментальной, если lim (xk - xr) — 0. k, r ^~
Пространство p называется квазибанаховым, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к некоторой точке этого пространства. Отметим сразу, что любое банахово пространство является квазибанаховым, а обратное, вообще говоря, неверно.
Пример 1. Пространства £ m - квазибанаховы при всех p е (0, +~), однако они банаховы только при p е [1, +^ ).
Теорема 1. Квазисоболевьi пространства £ m p , т е R , p е R + , являются квазибанаховыми.
Приведем набросок доказательства. На, очевидно, линейном пространстве £тр построим функцию p || • 11: £ т ^ R по формуле
у
( т \Р ) p ти — z[ATiXki) k k,k 7 7
Эта функция, очевидно, удовлетворяет аксиомам (i) и (ii) квазинормы. Рассмотрим вектор y — { ^k 2 xk }е £ p , поэтому p • || удовлетворяет и аксиоме (iii), причем const — 2/ p при p е (0,1), и const — 1 пр и p е [1, +^) [2].
Рассмотрим фундаментальную в £ т р последовательность { x£ }. Ее координатные последовательности { xk } k—1, k е N , фундаментальны и в силу полноты R сходятся к xk . Полученный предел x — { xk } и будет искомым [2].
Аль -Делфи Д. К.
Квазисоболевы пространства £ mm
Теорема 3. При всех p е R + и m е R квазиоператор Лапласа Л: £ mp +2 ^ £ mp - топлинейный .
Доказательство . Непрерывноеть оператора Л очевидна в силу
m.,-1 kpVpl ^x II = ZI 2+1kkil = m+>11.
k k = 1 k 7 )
Построим обратный оператор Л-1 x = { 2 - xk } ( квазиоператор Грина) . Очевидно, Л-1Л x = x при всех x е £ *p+2 и ЛЛ-1 x = x при всех x е £ *p . Далее,
, - ” f m+2 , kp p m+pl^x II = ZI v "'ixkil = mp\\x\\.
k k=1k^ 7
.Соболевых пространств £ m p очевидно.
свою
.
Список литературы Квазисоболевы пространства l pm
- Трибель, X. Теория интерполяций, функциональные пространства, дифференциальные операторы/X. Трибель. -М: Мир, 1980. -664 с.
- Al-Delfi, J.K. Quasi-Banach space for the sequence space Ip, where 0 J.K. Al-Delfi//Journal of college of Education (Iraq -Baghdad). Mathematics. -2007. -№ 3. -P. 285-295.