Квазисоболевы пространства l pm

Бесплатный доступ

Впервые рассмотрены понятия квазbбанаховых пространств последовательностей l m p, т ∈ R, р ∈ (0, +∞). Доказаны аналоги теоремы вложения Соболева. Также рассмотрен квазиоператор Лапласа.

Квазинормы, квазибанахово пространство, квазисоболевы пространства, квазиоператор лапласа, квазиоператор грина

Короткий адрес: https://sciup.org/147158746

IDR: 147158746

Текст краткого сообщения Квазисоболевы пространства l pm

Ω⊂Rn –                                    C∞ .-

Wpm (Ω), m {0} N , p [1,+∞) ;

Wpm (Ω) = L2 (Ω) –                       [1].                          [1]-

1    m -t 1

лева: при всех me N, t = 0,1,...,m-1, p,qe [1, +^) таких, что —I--< — < 1, имеют место pnq плотные и непрерывные вложения wpm (Q) с Wq (Q)(1)

Нашей задачей является распространение данного результата на квазисоболевы пространства последовательностей k}: Я^Ы k=1^> p∈(0,+∞) , m∈ R, {λk} –-

, lim λk =+∞., k→∞

,                          [2],-

..

t mp = ^ X = { X

1..

℘ –                              (                 ).

(℘, p ),                      p : ℘→ R -

:

(iii) x , y px + y ≤const

x + y pp

,                  const ≥ 1                         x ,

y .

(℘, p )                                             -

℘ .                     { xk } ℘                           x ℘,

Краткие сообщения

1 1П    V _ V -- ЧТЛТ /TAQL'T Д^Х/ТТОЛГ ООТГТЛТ'Т-ТТЗ'Д'Т'Т- 'T'OTZ*  Inn V — Y l/'li"' ГТГХ ТТ/Л R‘ЛТД2'TTR T T/XR'm UOОТТГХ! ^ТР(Г lim p Xk  X — 0 . CzlUl фс1К1 иуд CM odllHCblodlb IdK.  lim xk — X . 110UJlCД0.DdiCJlbгЮUib ildlblbdClOi k ^~ p                                           k ^~ фундаментальной, если lim (xk - xr) — 0. k, r ^~

Пространство p называется квазибанаховым, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к некоторой точке этого пространства. Отметим сразу, что любое банахово пространство является квазибанаховым, а обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 1. Пространства £ m - квазибанаховы при всех p е (0, +~), однако они банаховы только при p е [1, +^ ).

Теорема 1. Квазисоболевьi пространства £ m p , т е R , p е R + , являются квазибанаховыми.

Приведем набросок доказательства. На, очевидно, линейном пространстве £тр построим функцию p || • 11: £ т ^ R по формуле

у

( т     \Р ) p ти — z[ATiXki) k k,k 7 7

Эта функция, очевидно, удовлетворяет аксиомам (i) и (ii) квазинормы. Рассмотрим вектор y — { ^k 2 xk }е £ p , поэтому p • || удовлетворяет и аксиоме (iii), причем const — 2/ p при p е (0,1), и const — 1 пр и p е [1, +^) [2].

Рассмотрим фундаментальную в £ т р последовательность { x£ }. Ее координатные последовательности { xk } k—1, k е N , фундаментальны и в силу полноты R сходятся к xk . Полученный предел x { xk } и будет искомым [2].

Аль -Делфи Д. К.

Квазисоболевы пространства £ mm

Теорема 3. При всех p е R + и m е R квазиоператор Лапласа Л: £ mp +2 ^ £ mp - топлинейный .

Доказательство . Непрерывноеть оператора Л очевидна в силу

m.,-1     kpVpl ^x II = ZI 2+1kkil = m+>11.

k k = 1 k           7 )

Построим обратный оператор Л-1 x = { 2 - xk } ( квазиоператор Грина) . Очевидно, Л-1Л x = x при всех x е £ *p+2 и ЛЛ-1 x = x при всех x е £ *p . Далее,

, -            ” f m+2 , kp p m+pl^x II = ZI v "'ixkil     = mp\\x\\.

k k=1k^ 7

.Соболевых пространств £ m p очевидно.

свою

.

Список литературы Квазисоболевы пространства l pm

  • Трибель, X. Теория интерполяций, функциональные пространства, дифференциальные операторы/X. Трибель. -М: Мир, 1980. -664 с.
  • Al-Delfi, J.K. Quasi-Banach space for the sequence space Ip, where 0 J.K. Al-Delfi//Journal of college of Education (Iraq -Baghdad). Mathematics. -2007. -№ 3. -P. 285-295.
Краткое сообщение