Линейчатые поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квази-эллиптическом пространстве

Дифференциальная геометрия четырехмерного квазиэллиптического пространства S¹ 4 рассматривалась Т.П. Володиной [1, 2]. Более полно исследованы погруженные многообразия только в S¹_3.

• § 1.    Предварительные сведения

Четырехмерным квазиэллиптическим пространством S¹ 4 называется, проективное пространство Р 4 , в котором задан абсолют, состоящий из пары мнимых гиперплоскостей, пересекающихся по действительной 2-плоскости, и мнимой коники в этой плоскости.

Прямые, пересекающие абсолютную плоскость, называются параболическими, или евклидовыми.

Наиболее общий репер пространства можно выбрать так, чтобы абсолют задавался уравнениями:

Q 0 : ( x 0 ) 2 + ( x ¹ ) ² = 0, T : x ⁰ = x ¹ = 0,

Q 1 : x ⁰ = x ¹ = 0,( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 + ( x 4 ) 2 = 0.

Это означает, что координатный тетраэдр выбран так, что абсолютная 2-плоскость является плоскостью A ₂ A ₃ A ₄ . Точки A ₂, A ₃, A ₄ полярно сопряжены относительно абсолютной коники, а гиперплоскости A ₀ A ₂ A ₃ A ₄ и A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ полярно сопряжены относительно абсолютных гиперплоскостей.

Тогда в квазиэллиптическом пространстве S¹ 4 определяются следующие квазискалярные произведения:

( X * Y ) ₁ = x ⁰ y ⁰ + x ¹ y ¹;                              (1.1)

( X * Y ) 2 = x ² y ² + x ³ y ³ + x ⁴ y ⁴.                     (1.2)

Координаты точек, не лежащих в абсолютной плоскости, нормируются условием ( X * X ) ₁ = 1. Координаты точек, лежащих в абсолютной плоскости, - условием ( X * X ) 2 = 1. Расстояния между точками на параболических прямых и между точками абсолютной 2-плоскости определяются соответственно по формулам:

cos5 = ( X * Y )1;(1.3)

d2 =( X - Y * X - Y )2;(1.4)

cos^ = (X * Y)2.(1.5)

Цыренова В.Б., Батожаргалова А.Э. Линейчатые поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квазиэллиптическом пространстве

Деривационные формулы наиболее общего репера примут вид: dA = « 0 A 1 + « 2 A 2 + « 3 A ₃ + « 0 A ₄, dA 1 = -« 1 A + « 2 A + « 3 A ₃ + « A ₄, dA = « 2 A₃ + « 2 A₄, dA₃ =-« 3 A + « 3 A₄, dA₄ = « 2 A - « 3 A₃.

• § 2.    Канонический репер параболического регулюса и его геометрическая характеристика

Совместив ребро ( AA 2 ) с образующей параболического регулюса, получим п 0 = п 0 = П ⁴ = п 2 = П 2 = 0 . Следовательно, формы « 1 , « 0 , « 0 , « 2 , « 3 становятся главными и можно положить:

«0 = а« 0, «0 = в« 0, «3 = у« 0, « 3 = Ц« 0, «0 Ф 0, (2.1)

где « 01 - базисная форма. Далее, пользуясь алгоритмом Картана, канонизируем репер полностью. Деривационные формулы канонического репера параболического регулюса даны в следующем виде:

dA

• —⁰ = A + cA₃

ds ^{1      2}

dA1- = - A0 + bA2 + c (A3 + A4)

ds dA

(2.2)

• -=- = A3 + A4

ds dA3

---= - A2 + aA4

ds dA^- = - A2 - aA3

ds ^{2      3}

Точка А2 канонического репера определяется как точка пересечения образующей (A A) параболического регулюса с абсолютной 2- плоскостью, а плоскость ( A0 , A2 , A1 ) является касательной 2-плоскостью к регулюсу в точке А0.

Чтобы геометрически характеризовать точки А₃ и А₄ канонического репера, найдем соприкасающуюся квадрику, содержащую образующую ( A₀A ₂ ) рассматриваемого регулюса. Ее уравнение имеет вид:

у : ( x ³ ) - ( x ⁴ ) + x ⁰ x ³ - x ⁰ x ⁴ + x ¹ x ³ - x ¹ x ⁴ + x ² x ³ - x ² x ⁴ = 0.

Эта квадрика пересекает абсолютную 2-плоскость T: x0=x1=0 по кривой g второго порядка

3V _(Y4V Y0Y3 Y0Y4 Y1Y3          Y2Y3 Y2Y4

(x ) —(x ) + x x - x x + x x - x x + x x - x x — 0

• _ x0 — 0; x 1 — 0

Точка А 2 (0; 0; 1; 0; 0) принадлежит кривой второго порядка g, а точки A ₂ , A ₃ , A ₄ полярно сопряжены относительно мнимой коники Q 1 .

Точки Р(0; 0; 0; 1; 1) и Q(0; 0; 0; 1; -1) суть точки пересечения кривой g с прямой (А3А4). Точки А3 и А4 репера гармонически делят точки Р и Q.

Уравнение соприкасающейся квадрики, содержащей ребро (А 1 А 3 ), получим в виде:

y. ( x ² ) - ( x ⁴ ) + x ⁰ x ¹ - x ⁰ x ² + x ¹ x ² - x ¹ x ⁴ + x ² x ³ - x ³ x ⁴ — 0.

Точка А1 является одной из точек пересечения ее с ребром A0A1.

• §3. Геометрическая характеристика инвариантов и простейшие классы параболических регулюсов

Найдем соприкасающуюся 2-плоскость кривой (А 1 ), то есть

( A 1 , dA 1 , d ² A 1 )

( x ⁴ - x ³ ) ( db - 3 c ) - 2 cabx ⁰ - 2 cax ²

— 0

( db - 3 c ) x ¹ + bx ⁰ + x ² — 0

пересечем полученную плоскость с евклидовой прямой (A0 A2), получим точку N(1;0;b;0;0). Найдем расстояние между точками А0 и N по формуле (1.4), получим d2 = b2.

Прямая (A 3 , A 3 + dA 3 ) – параболическая прямая, поэтому на этой прямой расстояние между точками A 3 (0; 0; 0; 1;0) и А 3 +dА 3 (0; 0; -1; 1; а) находится по формуле (1.5) и геометрически инвариант а характеризуется 1

следующим образом: cos о = ,      .

V2 T 0 ⁷

Прямая (A0, A0 + dA0) - эллиптическая прямая и на этой прямой найдем расстояние между точками A0(1; 0; 0; 0;0) и А0+dА0 (1; 1; с; 0; 0) по формуле (1.3) в виде: cosO — , ^

• V 2 + c c

Отсюда получаем следующие три простейших класса:

• 1.    Параболический регулюс а=const характеризуется тем, что расстояние между точками A₃ и A₃+ dA₃ постоянно.

• 2.    Параболический регулюс b=const≠0 характеризуется тем, что расстояние между точками А₀ и N постоянно.

• 3.    Параболический регулюс c=const характеризуется тем, что расстояние между точками A₀ и А₀+dА₀ постоянно.

Цыренова В.Б., Проскурякова И.В . Комплексы в трехмерном квазигиперболиче-ском пространстве