Линейчатые поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квази-эллиптическом пространстве
Автор: Цыренова Валентина Бабасановна, Батожаргалова Арюна Эрдынеевна
Журнал: Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика @vestnik-bsu-maths
Рубрика: Алгебра и геометрия
Статья в выпуске: 1, 2012 года.
Бесплатный доступ
В данной работе построен и геометрически характеризован канонический репер линейчатой поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квазиэллиптическом пространстве, даны геометрические характеристики инвариантов и получены простейшие классы.
Квазиэллиптическое пространство, абсолют, линейчатая поверхность, репер, инварианты
Короткий адрес: https://sciup.org/14835065
IDR: 14835065
Текст научной статьи Линейчатые поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квази-эллиптическом пространстве
Дифференциальная геометрия четырехмерного квазиэллиптического пространства S1 4 рассматривалась Т.П. Володиной [1, 2]. Более полно исследованы погруженные многообразия только в S13.
-
§ 1. Предварительные сведения
Четырехмерным квазиэллиптическим пространством S1 4 называется, проективное пространство Р 4 , в котором задан абсолют, состоящий из пары мнимых гиперплоскостей, пересекающихся по действительной 2-плоскости, и мнимой коники в этой плоскости.
Прямые, пересекающие абсолютную плоскость, называются параболическими, или евклидовыми.
Наиболее общий репер пространства можно выбрать так, чтобы абсолют задавался уравнениями:
Q 0 : ( x 0 ) 2 + ( x 1 ) 2 = 0, T : x 0 = x 1 = 0,
Q 1 : x 0 = x 1 = 0,( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 + ( x 4 ) 2 = 0.
Это означает, что координатный тетраэдр выбран так, что абсолютная 2-плоскость является плоскостью A 2 A 3 A 4 . Точки A 2, A 3, A 4 полярно сопряжены относительно абсолютной коники, а гиперплоскости A 0 A 2 A 3 A 4 и A 1 A 2 A 3 A 4 полярно сопряжены относительно абсолютных гиперплоскостей.
Тогда в квазиэллиптическом пространстве S1 4 определяются следующие квазискалярные произведения:
( X * Y ) 1 = x 0 y 0 + x 1 y 1; (1.1)
( X * Y ) 2 = x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4. (1.2)
Координаты точек, не лежащих в абсолютной плоскости, нормируются условием ( X * X ) 1 = 1. Координаты точек, лежащих в абсолютной плоскости, - условием ( X * X ) 2 = 1. Расстояния между точками на параболических прямых и между точками абсолютной 2-плоскости определяются соответственно по формулам:
cos5 = ( X * Y )1;(1.3)
d2 =( X - Y * X - Y )2;(1.4)
cos^ = (X * Y)2.(1.5)
Цыренова В.Б., Батожаргалова А.Э. Линейчатые поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квазиэллиптическом пространстве
Деривационные формулы наиболее общего репера примут вид: dA = « 0 A 1 + « 2 A 2 + « 3 A 3 + « 0 A 4, dA 1 = -« 1 A + « 2 A + « 3 A 3 + « A 4, dA = « 2 A3 + « 2 A4, dA3 =-« 3 A + « 3 A4, dA4 = « 2 A - « 3 A3.
-
§ 2. Канонический репер параболического регулюса и его геометрическая характеристика
Совместив ребро ( AA 2 ) с образующей параболического регулюса, получим п 0 = п 0 = П 4 = п 2 = П 2 = 0 . Следовательно, формы « 1 , « 0 , « 0 , « 2 , « 3 становятся главными и можно положить:
«0 = а« 0, «0 = в« 0, «3 = у« 0, « 3 = Ц« 0, «0 Ф 0, (2.1)
где « 01 - базисная форма. Далее, пользуясь алгоритмом Картана, канонизируем репер полностью. Деривационные формулы канонического репера параболического регулюса даны в следующем виде:
dA
-
—0 = A + cA3
ds 1 2
dA1- = - A0 + bA2 + c (A3 + A4)
ds dA
(2.2)
-
-=- = A3 + A4
ds dA3
---= - A2 + aA4
ds dA^- = - A2 - aA3
ds 2 3
Точка А2 канонического репера определяется как точка пересечения образующей (A A) параболического регулюса с абсолютной 2- плоскостью, а плоскость ( A0 , A2 , A1 ) является касательной 2-плоскостью к регулюсу в точке А0.
Чтобы геометрически характеризовать точки А3 и А4 канонического репера, найдем соприкасающуюся квадрику, содержащую образующую ( A0A 2 ) рассматриваемого регулюса. Ее уравнение имеет вид:
у : ( x 3 ) - ( x 4 ) + x 0 x 3 - x 0 x 4 + x 1 x 3 - x 1 x 4 + x 2 x 3 - x 2 x 4 = 0.
Эта квадрика пересекает абсолютную 2-плоскость T: x0=x1=0 по кривой g второго порядка
3V _(Y4V Y0Y3 Y0Y4 Y1Y3 Y2Y3 Y2Y4
(x ) —(x ) + x x - x x + x x - x x + x x - x x — 0
-
_ x0 — 0; x 1 — 0
Точка А 2 (0; 0; 1; 0; 0) принадлежит кривой второго порядка g, а точки A 2 , A 3 , A 4 полярно сопряжены относительно мнимой коники Q 1 .
Точки Р(0; 0; 0; 1; 1) и Q(0; 0; 0; 1; -1) суть точки пересечения кривой g с прямой (А3А4). Точки А3 и А4 репера гармонически делят точки Р и Q.
Уравнение соприкасающейся квадрики, содержащей ребро (А 1 А 3 ), получим в виде:
y. ( x 2 ) - ( x 4 ) + x 0 x 1 - x 0 x 2 + x 1 x 2 - x 1 x 4 + x 2 x 3 - x 3 x 4 — 0.
Точка А1 является одной из точек пересечения ее с ребром A0A1.
-
§3. Геометрическая характеристика инвариантов и простейшие классы параболических регулюсов
Найдем соприкасающуюся 2-плоскость кривой (А 1 ), то есть
( A 1 , dA 1 , d 2 A 1 )
( x 4 - x 3 ) ( db - 3 c ) - 2 cabx 0 - 2 cax 2
— 0
( db - 3 c ) x 1 + bx 0 + x 2 — 0
пересечем полученную плоскость с евклидовой прямой (A0 A2), получим точку N(1;0;b;0;0). Найдем расстояние между точками А0 и N по формуле (1.4), получим d2 = b2.
Прямая (A 3 , A 3 + dA 3 ) – параболическая прямая, поэтому на этой прямой расстояние между точками A 3 (0; 0; 0; 1;0) и А 3 +dА 3 (0; 0; -1; 1; а) находится по формуле (1.5) и геометрически инвариант а характеризуется 1
следующим образом: cos о = , .
V2 T 0 7
Прямая (A0, A0 + dA0) - эллиптическая прямая и на этой прямой найдем расстояние между точками A0(1; 0; 0; 0;0) и А0+dА0 (1; 1; с; 0; 0) по формуле (1.3) в виде: cosO — , ^
-
V 2 + c c
Отсюда получаем следующие три простейших класса:
-
1. Параболический регулюс а=const характеризуется тем, что расстояние между точками A3 и A3+ dA3 постоянно.
-
2. Параболический регулюс b=const≠0 характеризуется тем, что расстояние между точками А0 и N постоянно.
-
3. Параболический регулюс c=const характеризуется тем, что расстояние между точками A0 и А0+dА0 постоянно.
Цыренова В.Б., Проскурякова И.В . Комплексы в трехмерном квазигиперболиче-ском пространстве
Список литературы Линейчатые поверхности с параболическими образующими в четырехмерном квази-эллиптическом пространстве
- Володина Т.П. Основы теории гиперповерхностей в S14.//Геометр. сб., 23. -Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. -С. 111-118.
- Володина Т.П. Поверхности в квазиэллиптическом пространстве S14.//Геометр. сб., 21. -Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. -С. 115-121.