Линейные начальные задачи дифференциальных уравнений неопределенного типа

Н. К. Куликов [1, 2] и многие его ученики и последователи применяли функцию гибкой структуры для решения начальных задач дифференциальных уравнений с обыкновенным аргументом. Выпишем ее общий вид и дадим информацию о входящих в нее функциях и постоянных d‘А, (u (x) — X)

y1 i)(Uj (X)) = D У y(■ -l)( X„)

s =1

u j ^{( x} ) d i А n ( u , ( x ) - 1 )

+ J ------—------^(t)dt] + S,u™ (x)ц(Uj (x)),

∂xi       ijj x 0

где i = 0, n , D = D ( r 1 ,r ₂, K , r n ) — определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров r ₁ , r ₂ , K , r_n , которые определяются в ходе решения задачи, исходя из оптимальности ее решения. Определители А s ( x - 1 ), s = 1, n получаются из определителя D заменой s -ой строки строкой exp r ( x - 1 ),exp r ₂( x - 1 ),...,exp r n ( x - 1 ), ^ ( x ) — новая неизвестная функция и S _n = 1, S i = 0 V i = 0, n - 1.

Постановка задачи и ее решение

Рассмотрим общий вид одного класса дифференциальных уравнений, в котором отсутствует функция и ее производные от аргумента x l n - 1

y ^{( n} ) ⁽ u ^{( x} )) + ЕЕ j , ^{( x} ) y ⁽ i ) ^{( и} , ^{( x} )) = f ^{( x} x                ⁽¹)

J = 1 i = 0

где u , ( x ) <  x V j = 1, l и u , ( x ) Ф x , функции f , ( x ), u , ( x ) и f ( x ) непрерывны на отрезке x ₀ <  x <  b .

Определим начальные функции для уравнения (1) на начальном множестве E x 0

y ⁽ i ^{) ( u} j ^{( x} )) = Ф ⁽ i ^{) (} u ^{( x} )), i = ⁰, n ^{- 1 x е} E x ₀              ⁽²⁾

l где Ex = U Ej, Ej — множество точек, для которых соответствующие uj (x) < x0 при x > x0 Vj = 1, 1 , E® =[ a, x0 ].

Определение. Уравнения вида (1) назовем уравнениями неопределенного типа, так как в зависимости от значений коэффициентов в уравнении можно получать уравнения, относящиеся к различным типам линейных дифференциальных уравнений как с обыкновенным, так и с запаздывающим аргументом запаздывающего, нейтрального и опережающего типов.

В работе [3] доказано, что решение задачи (1), (2) при условиях непрерывности входящих в нее функций существует и единственно на отрезке x е [ x ₀, b ] . Будем искать его, применив для преобразований функцию гибкой структуры [2], обозначенную (*).

Подставим искомое решение начальной задачи (1), (2) в виде функции гибкой структуры (*) в уравнение (1) и перенесем все известные выраже- ния в правую часть равенства

1 n - 1         u )       д i A ( u ( x ) - t )

un(x)жui(x))+EEfj(x) j D"’   n-j— ^(t)dt= j=1 i=0          x 0

-E-E   .A .           d* A, ( u ( x ) - x _n)

=f (x) - EED Eys-1 (x0)fj (x) —s j   0.(3)

j=1 i=0       s =1

Суммируя затем интегралы с одинаковыми пределами интегрирования от неизвестной функции ^(t) и вводя обозначения для известных выраже- ний n-1

^д ‘^A n ^{( u} j ^{( x} ) ^- t )

∂ xⁱ

G j ( x , t ) = D ^{- 1} E j x )

i = 0

d i ^A s ^{( u} j ^{( x} ) ^{- x} 0 ) dxⁱ

1 n - 1 n

F ( x ) = f ( x ) - EEE y ⁽ s ^{- 1)} ( x 0 ) f₉( x ) D ^{- 1}

j = 1 i = 0 s = 1

в равенстве (3), придем к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра l uj(x)

u ‘ ⁿ ( x ) ^ ( u l ( x )) + E j G_j ( x , t ) ^ ( t ) dt = F ( x ).          ⁽⁴⁾

.^j = ¹ x 0

Далее, поделив последнее равенство на u‘n (x) ^ 0 , введя новую переменную z = ul (x), обратную функцию x = u-’(z) и обозначения для известных выражений, получим для задачи (1)-(2) разрешающее уравнение типа Вольтерра с обыкновенным аргументом i vj (z )

Д < z ) + E j H j ( ^z , t ) ^ ( t ) dt = Ф ( z ), ^j = ¹ x 0

где n-1 f(u-1( z)) HX z, t) = E  j , j ’    EDun(u71(z))

a i a n ^{( u} j ⁽ w ;¹⁽ z )) - t ) [5 ^u - ^{1 (} z ) ] i

v j ⁽ z ) = ^u j ^{( u}?4 z D,

^{ф (} z )

1 u n ( u^ z ))

l n-1 n f (u-1( z))-EEEy(s-1)( xo) • j=1 i=0 s=1

• f ( u ^c z )) d

d i ^A s ( ^u j ( u -V ^z )) ^- x o )

^[ dM -V 2 )]¹

Вывод. Задача Коши для дифференциальных уравнений неопределенного типа (1) с начальными функциями (2) с запаздывающим аргументом с помощью функции гибкой структуры (*) преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра (5) с обыкновенным аргументом. Единственное решение этого уравнения существует при выполнении условий непрерывности функций Ф(z),H (z,t) в разрешающем уравнении (5) в любом заданном квадрате ul (x0) < z < ul (b).

Пример. Найдем точное решение начальной задачи уравнения неопределенного типа

Ххxx

. У Ъ) ⁺ У У = ² Х + ¹

y(x) = x, xn = 0 на Ev . 0

По формуле функции гибкой структуры (*) имеем y (x) = У (x 0) e(x - x 0) + j e(x - t) ц( t) dt = j er(x- t) ц( t) dt, x 0

x / 2     , x .

,x.       f ^{r (}T^- t ) , _x ,

У (-) = I ^{e 2} ^ ⁽ t ) ^dt ,

2    0

x

x x          r(7-t)

У ⁽7) = J ^{e 4}   ^ ⁽ t ) ^dt ,

4    0

x

x x.     r 4 r(--t) . . ,      1     ,x.

• У ⁽4) = 4 j ^{e 4} ^ ⁽ t ) ^{dt +} 4 ^ ⁽4).

xx

Подставив в исходное уравнение найденные выражения у (—) и у (—)

получим

1                7 4 x                /2 x

I X            r (— t )                  r (— t )

• -ц ( x ) + -J e ⁴ ц ( t ) dt + J e ² ц ( t ) dt = 2 x + 1.

4    4    4 -                    0

При r = 0 разрешающее уравнение упростится

x

1 x ²

- ц(-) + J ц (t ) dt = 2 x + 1, 44 ₀

его решение ц(x) = 4. Подставив это значение в функцию гибкой струк туры данной задачи при r = 0, найдем ее решение y(x) = 4x. Нетрудно проверить, что условия начальной задачи выполняются.

Заключение

В периодической литературе имеются работы, которые затрагивают многие вопросы решения дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, но мало работ, которые поднимали бы и решали проблему преобразования начальных задач для таких уравнений к разрешающим уравнениям с обыкновенным аргументом.

В данной статье исследованы возможности построения модели с обыкновенным аргументом для начальной задачи одного вида дифференциальных уравнений неопределенного типа. Полученные аналитические выражения модели начальной задачи дают возможность оптимизировать нахождение ее точного или приближенного решения за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры и разработать программу решения поставленных задач на ЭВМ. Этому и будут посвящены дальнейшие исследования и разработки программ.