Математическая модель многомодового отражения и преломления волн

Существующее решение задачи Френеля (отражение и преломление плоских волн в однородных граничащих средах), как известно, является неоднозначным [1] и не объясняет механизма возбуждения волн с отрицательным углом преломления [2] и обратных волн [3].

В статье дадим решение задачи Френеля с учетом возбуждения в диссипативных средах встречных волн. Под встречными волнами мы понимаем излучени е вторичными источниками волн в направлении, строго обратном к волне, полем которой наводятся эти источники – диполи.

Существование встречных волн следует из уравнений Максвелла. Действительно, пусть в среде j = 0, ρ = 0, т. е. нет свободных зарядов, есть только связанные, тогда

∂B rotE = -   , divD = 0,

∂t

∂D rotB = µ    , divB = 0.

0 ∂ t

Материальное уравнение имеем в виде:

D = s ₀ E + P в = ^( H - M ),

где P - дипольный момент единицы объема среды, M - магнитный момент единицы объема.

Подставляя (2) в (1) и исключая поле H , получим

- д² E       д ² P

rot rotE + s_ou_o — = - ^    .

⁰ д t ²             д t²

Уравнение (3) совместно с (2), как известно, описывает весьма своеобразный механизм взаимодействия поля с материальной средой. Действительно, из (2) следует, что поляризация наводится полем волны, распространяющаяся в среде. Из (3), в свою очередь, следует, что диполи, воз никшие в результате поляризации, являются источниками волновых полей. Если учесть особенности направленности излучения диполей, то становится очевидным, что в материальных средах всегда возбуждаются встречные волны. На существование встречных волн указывает также частное и общее решение уравнения (3). Учитывая (2), уравнение (3) часто записывают в виде однородного волнового уравнения, в которой вводится параметр s = s + is . Через мнимую часть - s учитываются энергети ческие потери электромагнитных полей в средах, в том числе и часть потерь, связанная с излучением вторичных источников.

Необходимо, также отметить следующее. Встречные волны, возбужденные вторичными источниками, своим полем могут наводить поляризацию, т. е. образовывать «третичные» источники и т. д. Таким образом, электромагнитное поле в средах есть интегральный результат действия множества вторичных источников, множества «третичных» источников и т. д. В однородных средах этот эффект не проявляется поскольку амплитуды, фазы и направления встречных волн однозначно связаны с параметрами исходных волн. В граничащих средах из-за наличия границы раздела встречные волны будут распространяться в соответствии с законами преломления и отражения. А это означает, что они могут проникать в области, где исходной волны может и не быть.

Пусть имеем две однородные среды с s ₁ = s 1 + i s l' , s ^ <<  s i , ^ 1 и s ₂ = s ₂ + i s ₂ , ^ ₂ , ^ _i = ^ ₂ = 1 (среды не магнитные).

Разделим граничащие среды плоскостью x = 0 на 4 области, рис. 1.

Рис.1

Построим систему собств енных волн данной структуры. В соответствии с (3) в случае гармонических во времени волн, поля в первой и второй ср едах удовлетворяют следующим волновым уравнениям:

A E1 + k 1 E\ = 0,

A E^ + k 2 X = 0,

OO k 1 = ±— Je^O)), k2 = ±— ee2(o) , знаки ± соответствуют исходным и cc встречным волнам.

Решение уравнений (4), (5) в каждой из четырех областей будем искать в виде суперпозиции трех волн: двух встречных с волновыми векторами k12 ; k13"; k22 ; k23 ; k32; k33"; k42 ; k43 ; и волн с волновыми вектора- ми k11 , k21 , k31 , k41 , возникающих из-за скачка диэлектрической про- ницаемости на границе раздела (рис. 2). Таким образом, пишем:

E i = E E ¹ j exp\i O i j t - k ¹ j r )] + ^ E 2 j ехрЮ j t - ( k j )] , j = i                                           j = i

E2 = EE3j exp[i(ojt - (kзjr)]+ EE4j exp[i(04jt - (k4j r)], j=i                                           j=i oj kj =—Veij (oij), i=i,2; j=i,2,3.

oj kj = — ejij(oij), I = 3,4; J = i,2,3; r = ix + kz.

Компоненты магнитных полей H 1 и H 2 определяем из уравнений Максвелла.

Представление решения в виде (6) и (7) исключает неоднозначность задачи. Электромагнитные поля должны удовлетворять граничным условиям:

n ( E 1 - E 2 )] = 0, (8) n ( H i - H 2 )] = 0, z = 0 . (9)

Кроме того, должны быть удовлетворены предельные условия : при r ^ ^ , E₁ и E ₂ ^ 0 . Это условие удовлетворяется, так как 8 ₁ и 8 ₂ -комплексные.

Подставляя E i , E 2 , H 1 и H 2 в (8), (9), получим два однородных уравнения, содержащих по 12 неизвестных амплитуд E ij , i = 1,2,3,4; j = 1,2,3 . Группируя в этих уравнениях слагаемые в 4 группы по три волны по принципу “падающая, отраженная, преломленная” и приравнивая каждую группу нулю, получим систему восьми независимых однородных уравнения. Пользуясь условиями однозначного решения этих уравнений, определяем связи между амплитудами трех волн, входящих в эти группы. Для наглядности удобно схематично представить распределение собственных волн по четырем областям и их возможные направления распространения (рис. 2).

а)

б)

г)

д)

в)

Рис. 2

Из рис. 2 видны четыре группы по 3 волны. Система собственных мод в граничащих средах (рис. 2а) есть наложение структур (рис. 2б, в, г). Как видно, собственные волны заполняют все области в средах, следовательно, при возбуждении граничащих сред во всех четырех областях будут возбуждаться волны.

Пусть, например, в первой среде в направлении E в падает плоская волна е 1 з = E 0 ¹ e "² k¹ r ¹ , тогда в первой области мы имеем:

-| 1

E 1 ( ^ ) = E 13 + E 12 + E 11 .

Во второй области

-| ¹             Il ¹ ₍ -Il ¹ ₍ -II ¹

E 2 ( ^ ) = E 21 + E 22 + E 23 .

В третьей области

И1/'    Ч1 Ч1 Ч1

E 3 ( p ) — E 32 + E 31 + E 33 .

В четвертой области

J1!      "^H1 IE"1 IE"1

E 4 ( p ) = E 41 + E 42 + E 43 .

Учтены связи между волнами в группах, а также тот очевидный факт, что моды, распространяющиеся в сторону границы , могут быть только встречными к возбуждающим их волнам, бегущим от границы. Кроме того, встречные волны в нашем случае практически не возбуждаются в первой среде, поскольку в ней отсутствуют потери, в том числе радиационные. Также следует учесть, что поскольку вторая среда поглощающая, то волны, распространяющиеся вглубь среды, будут неоднородными и затухающими. Стало быть, наиболее эффективной пространственной областью возбуждения встречных волн является расстояние, пройденное первичной неоднородной волной при котором ее энергии еще хватает на работу по переводу атомных или молекулярных осцилляторов на минимальный энергетический уровень, при переходе с которого диполи еще излучают. Предполагая, что среды представляют собой набор квантовых осцилляторов можно показать, что максимальная глубина, до которой возбуждаются встречные волны, оценивается величиной h2 — h20Cos 9, h20 = —-—. В электродинамике - это скин-слой, в ра-

Im k ₂

диолокации – это максимальная глубина проникновения. Следует учесть также весьма важный момент: в квантовой механике доказывается, что дипольный момент диполя, возбужденного падающей волной прямо пропорционален амплитуде этой волны. Учитывая сделанные замечания, в данной задаче можем построить следующие волновые функции:

в первой области – области обратных волн

РоЧ^-2 k ¹ Ч¹¹¹!!-)12 k^-2 k ^{2 h} 2

E ¹ ( ^р ) E ⁰ e      ^а 1 ¹ V 1,2 ^(р )J e ,                       ⁽¹⁰⁾

во второй области – области отраженных волн р|| Чу) = pJ4- " 1(г1+ 'Ч111

2-/ 2 у^у / 1—< 0 e           (Л 2 '12 у P) ,                                                ()

в третьей области – области преломленных волн г- /.’Чk1 r1 е-k2ra 111 г111 (m) 1 + Гр"111 о)]2e-4k2hh2

E 3 \V / — E 0 e e а 3 t 1 2 W / + V 21 (V) I e в четвертой области – области отрицательного преломления

^{IJ 1} 0^-k 1 1 r 1o^-k¹ 2 ^r 4 ?^^J1 T¹¹¹^VH^nV^{-2 Z}k 2 h 2

-E 4 y^^) — -E 0 e e     2 (a 3 t 12 (^P )V 12 \^^ )e       .(13)

B (10), (11), (12), (13) введены коэффициенты a ^ ¹ , a 2 ¹ , a 3 ¹ , a 4 ¹ , которые определяем из условия сшивания полей в плоскости x = 0. Эти условия имеют вид:

r 111(o) =   1(o) = £ 0±e-2k11r           7J1(0^ЧоЧ2kc2h201(14)

E 1 (0) E 2 (0) E 0 e V 1,2 (0) + T1,2 (0)T 2,1 \0)e       J,

F|!       —                     a ‘^{( k} i r i ^{+ k} 2 ^r 3 ) [t¹¹¹ ffO । TZ¹¹¹ fnVo ² k 2 h 20

e з ( 0 ) = e 4 ( 0 ) = e о e L T 12 (0) + V 2 1 ( 0 ) e J -

Подставляя (9), (10), (11), (12) в (13), (14), находим

a'1 = 1 +

v ;i (0)

i - [ V S

e -2 k 2 h 20 ,

a 21 =

a 3 ¹ =

v ^ (0) + T l №"1 ( 0 ) e ^{2 k 2} h ²⁰

V ^)

T 1, l ( 0 ) + V 2, 1 (0) e - 2 ik ² h ²⁰

,

T i l (°) Г 1 + ^{[ v} 2 1 ( Ф ) ] 2 e

- 4 ik 2 h 2

,

| ₁ _ T 1, l ( 0 ) + V 2, l (0) e ^kk ² h ²⁰

^{a 4} = 2 T 1, l (0) V 1, 1 (0) e ' ' ² h ^{20 .}

„          . zCos ф - z^Cos O       . z-^Cos ^ - zCos O

Здесь V /₂ ( ф ) = -^{1  2}------ , V 1 ¹ , ( ф ) =         ---- ¹------ ,

,        z 1 Cos ф + z ₂ Cos O    ,        z ₂ Cos ф + z 1 Cos O

Til (ф) = i + V','(ф), t2,1 (ф) = i + v2,1 (O), v',i (ф) = -v2,1 (O), z 1 = z0 Js^, z2 = z0 J72, z0 = ^°-, CosO = 1 - — sin2 ф .

V ^ 0             V ^s 2

Расчеты, выполненные по (9), подтверждены экспериментальными данными [3].

Таким образом, в работе построена математическая модель многомодового отражения и преломления волн . Показано, что наряду с обычными отраженными и преломленными волнами, в граничащих однородных средах возбуждаются обратные волны и волны с отрицательным углом преломления.

В заключение отметим, что в настоящее время во многих публикациях дискутируется физический механизм возбуждения волн с отрицательным углом преломления в однородных изотропных граничащих средах. Автор работы [5] указывает на неверное представление механизма возбуждения отрицательного преломления в работе [6]. Такое заявление считаю поспешным. Во-первых, потому что оно не следует из [5], поскольку в [5] не предполагается и не рассматривается многомодовый механизм отражения и преломления волн. Во-вторых, работа [6] не связана с «неясностями работ Веселаго». К сожалению, досадные оп ечатки в [6] есть. В частности, 3i(k r )                                                  i(q r20 ) 2ik h экспоненту e ( 1,2r20) следует заменить на e 2,10 e 1,2 2 , h2 – максимальная глубина проникновения волн в среду.

Замечание, указанное в работе [8], считаю справедливым, но оно исчезает, если слова «радиояркостная температура» заменить на «коэффициент излучения» и обратить внимание на формулу (3).

Автор благодарен за оказанное внимание к работам [6, 8] и за сделанные замечания [5, 7].