Математическая модель распространения электромагнитных волн в ограниченных гиротропных областях при продольном намагничивании

Распространение электромагнитных волн (ЭМВ) как в ограниченной, так и в неограниченной продольно-намагниченной гиротропных областях приводит к эффекту Фарадея. Это свойство широко используется в практических приложениях [1,2].

В настоящее время распространение ЭМВ в продольно-намагниченных ограниченных прямоугольных и круглых областях достаточно хорошо изучены [1–3]. Но распространение ЭМВ в гиротропных эллиптических областях мало исследованы и носят фрагментарный характер [см. например, 4].

Целью настоящей работы является разработка обобщенной математической модели ЭМВ в ограниченных гиротропных областях с ортогональной формой поперечного сечения, на базе которой возможен переход к частным случаям: прямоугольным, круглым, эллиптическим.

Модель включает в себя поп еречные компоненты, уравнения Гельмгольца и граничные условия.

Поперечные компоненты

Уравнения Максвелла для гармонических процессов без наведенных токов и зарядов имеют вид [1]:

rotH = jw s E ; rotE = — jwB ; divE = 0; divB = 0,

где E , H – соответственно напряженности электрического и магнитного полей; s - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, s E = D -электрическая индукция, B – магнитная индукции, j – мнимая единица, w – циклическая частота.

При распространении волны в магнитогиротропной среде магнитная индукция B в системе (1) примет следующий вид:

в =1 И H .

При продольном намагничивании, когда направление внешнего намагничивающего постоянного магнитного поля совпадает с направлением распространения ЭМВ (волна распространяется вдоль координаты Z), тензор магнитной проницаемости феррита, как следует из [1], имеет вид:

где

ww

И = И 0 + И 0—2----2, w 0 — w

k = И о

—

II И II =

—

И	j K	0
j K	И	0
0	0	Иц_

wwM

2 w ₀ ²

—

2 , w

wM

,

= и0YM0, Y = 1.76*1011 Кл кг

–

гиромагнитное отношение для спина электрона, w ₀ = и ₀ YH ₀ - частота ферромагнитного резонанса, И ₀ — магнитная постоянная, М ₀ - намагниченность феррита, Н ₀ – намагничивающее внешнее магнитное поле.

Знаки перед н едиагональными компонентами в (3) могут быть проти- воположными, если взять к = — и0

wwM

2 w ₀ ²

—

w ^{2 .}

В системе (1), разложив rot H и rot E по поперечным осям, после подстановок и преобразований в [5] были получены поперечные компоненты электромагнитного поля при продольном намагничивании:

E.= 2 jYa 22 g+g - 1 -< V1 Ez + w^c-^ V 2^ Y a2 1Z - j v2 sk a2 V 2 Ez - Y V1 Hz _        ws E 2 = 2 jYa - g + g - V 2 Ez - WЦ c   И jw Sk г V1 HZ +    2 Ya2            a2 V1 Ez + Y V 2 _        ws HZ H1 = jYa2 . „ 2 „2 g + g - w^ V 2 Ez 1 Y - V1 HZ + jw 2sk a2 ws , Y V1 Ez +V 2 Hz 1 /• ,H = = 2 jYa 2 g+g- 2 w^ V1 EZ +V 2 HZ [ Y jw2 sk a2 ws V2EZ - V,HZ 1 r где

3  3   3  3   3  3  3.3 ,3

a = w ц - y = w ц - у , g 2 = w sц ± w s k - у ,

2    2 Ц2 — k2    2 v 1 d          1 d c = w s--y , Vi =--, V2 =--, ц                hi dui         h2 du2

w - циклическая частота, у - постоянная распространения, h1 , h2 – коэффициенты Ламэ, u1 , u2 – поперечные координаты.

Уравнения Гельмгольца

Подставив выражение для поперечных компонент ЭМВ (4) в проекции rot H , rotE на продольную ось и используя divB = 0, с учетом тензора магнитной проницаемости феррита (3) получим уравнения Гельмгольца гибридных НЕ и ЕН волн соответственно [6]:

где

4 1 H Z + 42 H Z +

w ² ец^ V

ц«                 к

Yy I H z + jws — E z = 0, ц ) ц

4 1 E z + ^ 22 E z + ⁽ w² ец 1 - Y ² ) E z - j Y w ^ H z = 0, ^ц

d

hk?^+Г

■4 u 1

—

Г 12 1 = 4 1 , ^ 22

d

:^^+Г

V^d u 2

—

Г 21 I = ^ 22 ,

2 ^ц

Г ₁₂ , Г 21 - символы Кристоффеля, ц ₁ = —

—

k ²

.

ц

Граничные условия

Краевые задачи Дирихле и Неймана для уравнений Гельмгольца (5) имеют вид:

JEZ е C2 (О )n C(дО);

[EZ = 0 на границе ограниченной области дО

ᴎ

'Hz е C2(G)n C1 (дО)

^HZ- = 0 на „ дn где G – ограниченная

C ( О ) - непрерывные дифференцируемые на

границе

область, на G

ограниченной области дG,

д О - граница ограниченной области,

функции, C 1 ( G )

О функции, C 2 ( G )

–

–

непрерывно

дважды непрерывно

дифференцируемые на G функции, n – нормаль к границе ограниченной области д О .

Заключение

Разработанная математическая модель ЭМВ позволяет на единой методологической базе исследовать электромагнитные процессы в ограниченных гиротропных областях с разными ортогональными формами поперечного сечения. Модель позволяет получить дисперсионные уравнения, описывающие процесс распространения ЭМВ в таких областях.