Математическая задача как средство интеграции в различных аспектах умственной деятельности

Автором раскрывается математическая задача как средство интеграции в аспектах умственной деятельности учащихся. Приводятся общие и частные цели выполнения заданий по математике. Дается характеристика компонентов системы «задачи».

В условиях наукоемких и высокотехнологических производств значительно повышаются требования к научной, технологической и гуманитарной подготовке учащихся. Возрастает значение среднего общего образования как основы развития познавательных способностей, общеучебных умений и навыков, без которых все другие этапы непрерывного образования малоэффективны. Усовершенствование содержания среднего общего образования, в частности в области математики, дает возможность более полно учесть интересы обучающихся, рационально перераспределить дидактический материал по ступеням обучения, устранить имеющиеся диспропорции в компонентах содержания образования.

Любые задачи в обучении математике выполняются с определенной целью: формирования понятий, их систематизации, обучения доказательству и т. д. Все эти цели связаны между собой и с целями обучения в школе. Следовательно, одним из компонентов системы «задачи» являются цели выполнения заданий. Внутри данного компонента необходимо различать общие и частные цели. Например, одной из общих целей выполнения заданий по математике выступает формирование понятий; усвоение же существенных свойств понятия — частная цель. Другой пример: обучение векторному методу — общая цель; формирование умения переводить геометрический язык на векторный — частная.

Очевидно, что достижение общей цели возможно через достижение част ных целей. Ставя частные цели, не следует упускать из виду цели общие. Так, обучение школьников доказательству теорем — общая цель. Она должна в основном реализоваться при изучении первого раздела курса геометрии в 7-м классе. Однако анализ соответствующих учебников геометрии показывает, что достижению этой цели не уделяется должного внимания, она «не пробивается» через частные цели изучения первого раздела геометрии.

Общие и частные цели выполнения заданий по математике обусловлены целями обучения математике, тем не менее они сами образуют систему, развитие которой определяется прежде всего ее внутренним строением и логикой. В связи с этим в процессе преподавания математики требуется, во-первых, выявить состав целей использования задач, выделить общие и частные цели как по всему курсу, так и по отдельным его разделам и темам; во-вторых, изучить закономерные связи между общими и частными целями использования задач.

Достижение каждой цели требует определенной деятельности и, следовательно, владения умениями, адекватными ей. Например, применение векторного метода в конкретных ситуациях предполагает владение следующими умениями:

• 1)    переводить геометрический язык на векторный и наоборот;

• 2)    выполнять операции с векторами;

• 3)    представлять вектор в виде произведения вектора на число, суммы векторов, разности векторов;

• 4)    выполнять преобразования векторных равенств;

• 5)    переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот;

• 6)    выражать длину вектора через его скалярный квадрат;

• 7)    выражать величину угла между векторами через их скалярное произведение.

Все действия, адекватные знаниям и способам деятельности, составляющим содержание обучения математике, реализуются в обучении посредством выполнения задач. На этот процесс оказывают влияние условие, требование задачи, характер отношения между ее данными и искомыми. Таким образом, в системе «задачи» в качестве еще одного ее компонента должны учитываться содержание задачи и действия, осуществляемые с ней. Будем называть этот компонент содержанием задач. Поскольку выполнение действий происходит на основе знания определений понятий, теорем, способов деятельности, в содержание задач имплицитно «заложено» содержание обучения математике, а поскольку содержание задач является компонентом системы «задачи», то в указанной системе учитывается и содержание обучения математике.

Решение задач активизирует разные виды умственной деятельности учащихся (репродуктивную, творческую). Поэтому в системе «задачи» в качестве ее компонента должна выступать и умственная деятельность обучающихся. Между тем можно привести немало примеров, когда процессы, протекающие при выполнении заданий, содержащихся в школьных учебниках математики, не адекватны той деятельности, которой требует усвоение материала.

• 1.    Усвоение понятия на уровне творческого применения предполагает владение приемом переформулировки требования задачи в новое, по отношению к которому данное требование является следствием. Однако выполнение множе

• 2.    Перечисленные выше действия по применению векторного метода адекватны деятельности по использованию векторов в различных конкретных ситуациях. В учебниках геометрии не предусмотрено формирование умений 1 и 5, что ведет к несоответствию процессов, протекающих при выполнении заданий, деятельности по применению векторного метода.

ства заданий курса алгебры и геометрии не способствует овладению этим приемом.

Умственная деятельность учащихся зависит не только от содержания задач, но и от последовательности их выполнения. Для формирования того или иного умения обычно предлагается несколько однотипных задач. Допустим, изучается преобразование трехчлена а² + lab + b² в квадрат двучлена. Для выработки умения применять правило указанного преобразования приводятся задачи. В ранее действующем задачнике по алгебре П. А. Ларичева содержались 23 однотипные задачи на применение этого правила. В действующих сейчас учебниках даются подряд от 5 до 8 однотипных задач. На первый взгляд, кажется, что чем больше ученик решит однотипных задач, тем лучше. Однако в выполнении таких задач для учителя скрывается опасность непреднамеренно содействовать появлению ошибок в действиях учащихся и тем самым снизить эффективность обучения. Пробелы в знаниях школьников порой удается обнаружить лишь при изучении последующей темы, так как все однотипные задачи данной темы выполняются учеником верно. Ошибки появляются в результате отсутствия отчетливости в восприятии учащимися отдельных компонентов изучаемого материала.

Таким образом, между умственной деятельностью ученика, последовательностью выполнения им задач, количеством однотипных задач, их комбинаций с другими типами задач имеются закономерные связи. Из сказанного следует, что в системе «задачи» важным являет- ся такой компонент, который характеризуется структурой совокупности задач, порядком их выполнения учащимися. Относительно этого компонента и его взаимосвязей с другими компонентами возникает много вопросов, не имеющих до сих пор однозначных ответов. Каким должно быть оптимальное количество тренировочных и творческих задач? Каким образом сочетать задачи, формирующие понятия и, например, пространственное мышление? и т. д.

Решение задач протекает в определенных организационных формах. Это может быть фронтальная работа с классом, индивидуальная работа с отдельными учащимися, самостоятельная работа на уроке, домашняя работа и т. п. Организационные формы выполнения задач также входят в качестве одного из компонентов в систему «задачи». Данный компонент связан с целями и содержанием задач, структурой их совокупности, умственной деятельностью учащихся.

Проведенный анализ действующих учебников алгебры для 7—11-го классов показывает, что между целями выполнения задач, содержанием задач, умственной деятельностью учащихся, строением совокупности задач и организационными формами их выполнения существуют связи, носящие функциональный характер. Поэтому объект, названный нами термином «задача», действительно является системой, обладающей специфическими свойствами, обеспечивающими ему определенную целостность.

Во-первых, данный объект в единстве учитывает все основные компонен ты процесса обучения, а не только отдельную его сторону, например, содержательную, целевую и т. д. Во-вторых, в данном объекте учтены весь круг задач, связанных с выполнением заданий, все аспекты задач (формирование понятий, умений, мышления). В-третьих, в описанном нами объекте представлены целевой, содержательный, логический, гносеологический, управленческий аспекты организации деятельности, т. е. все наиболее известные ее компоненты из выделяемых современной наукой и методологией диалектического пути познания объективной реальности.

Система математических задач школьного курса есть проекция рассмотренной системы «задачи» на содержание учебного материала курса математики. Ее теоретическими основами являются закономерности функционирования системы «задачи», т. е. закономерные связи внутри каждого компонента и между отдельными компонентами. Другими словами, система «задачи» есть теоретическая модель любой конкретной системы задач математического курса, служащая целям теоретического осмысления задач как методического явления. Она не зависит от конкретного содержания учебного курса и отражает вариант движения системы «задачи» применительно к данному курсу, логику взаимосвязи его разделов, а также связи этого курса с другими предметами. Построение системы задач конкретного математического курса (или ее подсистем) и является движением от абстрактного к конкретному.

Поступила 28.02.06.