Математическое моделирование бедренного компонента эндопротеза тазобедренного сустава из метаматериала

Представлены методика и результаты математического моделирования механического состояния биомеханической системы, образованной бедренной костью и ножкой эндопротеза тазобедренного сустава. Бедренный компонент эндопротеза сформирован из метаматериалов, обладающих сквозной пористостью около 70 %, заданной ячейками периодичности решетчатых и поверхностных структур из биосовместимого титанового сплава. Всего рассматривалось четыре типа периодических ячеек, формирующих метаматериал: две решетчатые и две на основе трижды периодических минимальных поверхностей. Оценка прочности конструкции и напряженного состояния костной ткани проводилась для двух характерных состояний. В первом случае предполагалось, что поровый объем метаматериала заполнен мягкой недифференцированной тканью, что соответствует начальному этапу установки эндопротеза. Во втором случае поровое пространство было заполнено костным веществом, возникающим на отдаленных этапах восстановления кости. Была проведена серия конечно-элементных расчетов напряженно-деформированного состояния системы при заданных нагрузках, моделирующих типичные виды двигательной активности человека: умеренную ходьбу, подъем и спуск по лестнице. С позиции прочности конструкции, результаты исследования демонстрируют, что приоритет следует отдавать балочным структурам, так как для них характерно отсутствие превышений предела текучести во всем наборе сценариев. Поверхностные структуры допустимы к применению при условии наличия проектного резерва под наиболее нагруженные сценарии движения человека, а также при локальной корректировке геометрии и ограничении минимальных толщин перемычек. Такое усиление снижает риск появления локальных концентраторов напряжений и позволяет улучшить напряженное состояние конструкции в целом.

Введение                                         значительную часть нагрузки при ходьбе, беге и переносе тяжестей [1]. Существует множество причин, Тазобедренный сустав (ТБС) является одним из    приводящих к его заболеваниям. Основной причиной крупнейших суставов в  теле  человека и несет    является патологическое разрушение хрящевой ткани

Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International

License (CC BY-NC 4.0)

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

сустава. Врожденные деформации сустава и его повреждения ведут к разрушению костной и хрящевой ткани. Также распространенной причиной является патология, заключающаяся в образовании опухоли в костной ткани. Количество пациентов, страдающих деформирующим артрозом тазобедренного и коленного суставов, неуклонно увеличивается. Прогнозируется, что со старением популяции и тенденцией к росту числа операций ревизионного (повторного) эндопротезирования тазобедренного сустава потребность в кастомизированных имплантатах будет только возрастать [2].

Эндопротезирование тазобедренного сустава – широко распространенный и перспективный метод лечения ряда заболеваний и повреждений опорнодвигательного аппарата человека [3; 4]. Установка имплантата помогает устранить или значительно уменьшить болевой синдром и восстановить движение в суставе. Обладая высокой эффективностью, эндопротезирование имеет существенные недостатки, связанные в основном, с отдаленными неблагоприятными последствиями (асептическое расшатывание ножки эндопротеза, перелом костей бедра и таза), возникающими через 5–12 лет после установки эндопротеза в 25–30 % случаев. Причины возникновения неблагоприятных последствий обусловлены несовершенством применяемых эндопротезов.

Одной из основных биомеханических проблем эндопротезирования тазобедренного сустава является проблема прочности конструкции «имплантат–кость» [5]. Как правило, стержень эндопротеза изготавливается из титана или кобальтохромовых сплавов. Однако для обеспечения лучшей биосовместимости и индивидуального подхода при проектировании имплантата перспективным является применение новых материалов со сложной внутренней структурой.

В современной высокотехнологичной и персонализированной медицине метаматериалы нашли применение в различных клинических приложениях, включая восстановление тканей и органов [6]. Ключевые применения биометаматериалов в тканевой инженерии – это создание трехмерных структур, таких как скаффолды, которые служат временной основой для регенерации тканей, или таких как имплантаты и эндопротезы, которые являются искусственными заменителями отдельных органов или их частей, устанавливаемыми в организм человека на постоянной основе. Биометаматериалы могут быть спроектированы таким образом, чтобы имитировать биомеханические свойства естественных тканей. Например, они могут иметь определенные упругожесткостные свойства, что позволяет им более точно соответствовать механическим характеристикам восстанавливаемых тканей и органов.

В контексте применения биометаматериалов в тканевой инженерии необходимо отметить, что биометаматериал – это не просто высокопористая конструкция со сложной внутренней структурой, 105

выполненная из биосовместимого металла или пластика. Считается, что метабиоматериалы существенно отличаются от подавляющего большинства других метаматериалов, известных на сегодняшний день тем, что они ориентированы на одновременное обеспечение физических свойств различной природы [6]. В этом смысле метабиоматериалы можно рассматривать как «мультифизические метаматериалы», в отличие от классических метаматериалов, проектируемых на обеспечение одного типа физических свойств, таких как механические, акустические или оптические метаматериалы. При этом крайне важным набором свойств другой физической природы является совокупность биофизических и биомеханических характеристик живых, в частности, костных тканей, которым должны удовлетворять метабиоматериалы. К таким свойствам, помимо чисто механических (упругость, прочность, жесткость), следует отнести массотранспортные свойства и топологические характеристики, необходимые для функциональной и репаративной регенерации костной ткани [7]. Тем самым высокий уровень пористости и разветвленная сеть поровых каналов костных скаффолдов и имплантатов из биометаматериалов можно рассматривать как ключевые механобиологические факторы [8], ответственные за эффективность регенеративных процессов в объеме искусственных заменителей элементов скелета человека [9–10].

В настоящее время эндопротезы с развитой пористой поверхностью на основе биосовместимых сплавов широко применяются в регенеративной медицине для восстановления крупных дефектов костных элементов опорно-двигательного аппарата человека. При обширных костных дефектах, возникших в результате травмы, опухоли или других патологических состояний, требуется имплантат, который будет не только обеспечивать механическую поддержку, но также будет способствовать восстановлению костной структуры путем стимуляции остеогенеза (образования новой костной ткани), обеспечения остеоинтеграции (врастания костной ткани в пористое пространство имплантата) и васкуляризации (разрастания сосудов в области дефекта для обеспечения кровоснабжения) [11; 12]. Однако, как правило, в большинстве стандартных конструкций эндопротезов только поверхностный слой ограниченной толщины имеет пористую структуру.

С механобиологической позиции сквозная пористость имплантата из метаматериала обеспечивает проникновение биологической жидкости и костного вещества как в радиальном, так и в осевом направлениях костномозгового канала длинных трубчатых костей скелета человека, что невозможно при использовании эндопротеза из сплошного материала. Высокая сквозная пористость метаматериала при изготовлении из него эндопротеза обеспечивает на этапе хирургической операции заполнение внутреннего объема метаматериала большим количеством биоактивной субстанции с мезенхимальными стволовыми клетками и факторами роста, а впоследствии свободное проникновение активных клеток-предшественников внутрь имплантата. Тем самым в объеме биометаматериала процессы репаративной регенерации могут проходить более эффективно, что в конечном итоге должно обеспечивать надежную остеоинтеграцию имплантата [13].

Другой критической проблемой, имеющей место при установке и эксплуатации пациентами цельнометаллических эндопротезов, является так называемый эффект экранирования напряжений [14]. Ввиду высокой жесткости ножки бедренного компонента эндопротеза тазобедренного сустава, изготовленной традиционным способом из титанового сплава, происходит перераспределение напряжений в системе «кость–имплантат», поскольку большую часть нагрузки принимает на себя металлическая конструкция. Это создает предпосылки для снижения уровня напряжений в компактной костной ткани, образующей костномозговой канал, в зоне примыкания кости к эндопротезу. Что, в свою очередь, согласно закону Вольфа [15] и основным гипотезам современной механобиологии [16], приводит к активизации специфических костных клеток (остеокластов), ответственных за разрушение костного вещества ввиду возникновения пониженных напряжений в объеме кости в зоне ее контакта с эндопротезом. В результате ускоряются процессы резорбции костной ткани и имеет место их превалирование над процессами образования нового костного вещества. Тем самым плотность и связанные с ней прочностные характеристики костной ткани снижаются, что со временем приводит к микроразрушениям кости на интерфейсе с металлом, ослаблению фиксации ножки в костномозговом канале и в конечном счете к ее расшатыванию и даже полному выпадению. Значительный перепад модуля упругости между имплантатом и окружающей костной тканью также создает зоны концентрации напряжений, что повышает вероятность возникновения перипротезных переломов, особенно в области дистальной части ножки бедренного компонента.

Для решения данной проблемы в ортопедии делаются попытки использовать вместо металлов более мягкие полимерные биосовместимые материалы [17]. В частности, для снижения эффекта экранирования делаются успешные попытки разработки компонентов эндопротезов из полиэфирэфиркетона, армированного углеродными волокнами (PEEK/CF) [18; 19]. Однако, как правило, такие подходы не предусматривают создания пористых структур на основе полимерных материалов ввиду существенного снижения прочности имплантата, особенно для высоконагруженных костных элементов скелета человека [20]. Поэтому другим перспективным вариантом снижения интегральной жесткости конструкции при сохранении необходимой прочности, рассматриваемым в настоящем исследовании, представляется использование пористых метаматериалов на основе биосовместимых сплавов с настраиваемыми в широких пределах эффективными упругими и прочностными свойствами [21; 22].

Ключевая зависимость свойств метаматериалов на макроуровне от топологии на микроуровне привела к широкому изучению особенностей внутренней структуры, определяемой геометрией элементарной повторяющейся ячейки [23; 24]. Первые типы биометаматериалов, то есть метаматериалов, предназначенных для тканевой инженерии, были спроектированы на основе структурных ячеек в виде стержневых микроконструкций от простой формы типа куба до сложных форм из множества стержней [25]. Часто элементарные ячейки таких «балочных» метаматериалов имитируют кристаллические решетки металлов, повторяя их группы пространственной симметрии [26]. Экспериментальные клинические исследования подтвердили возможность применения оптимизированных решетчатых имплантатов при выполнении операций по замене части трубчатой кости скаффолдом существенной длины [27]. Предложена методика разработки специального типа метаматериала на основе базовой ячейки, содержащей пору варьируемой эллиптической формы и ориентации, продемонстрировала свою успешность на примере ножки эндопротеза тазобедренного сустава, что дало возможность снизить массу конструкции на 9-11 % в зависимости от вида имплантата при сохранении прочности конструкции [28]. Один из примеров лечения костных дефектов с применением открыто-пористых структур на основе балочных элементов с диаметром стержня 200–1500 мкм представлен в [29], где описан процесс структурной оптимизации титановой вставки с целью согласования упругих свойств скаффолда и кортикальной костной ткани. В работе исследовано механическое поведение построенных моделей метаматериалов, которое показало зависимость модуля упругости от особенностей балочных структур.

Метаматериалы на основе гладких поверхностей в трехмерном пространстве появились позже конструкций на основе балочных элементов. Они имеют преимущество перед метаматериалами решетчатого типа в специфических приложениях, где требуется высокоразвитая внутренняя структура, образованная сквозной системой связанных между собой поровых каналов с плавным изменением искривленности. Важное место среди них заняли метаматериалы на основе трижды периодических минимальных поверхностей (ТПМП). ТПМП представляют собой множество периодически повторяющихся неявных поверхностей с нулевой средней кривизной, что означает локальную минимизацию площади поверхности для трехмерной области с некоторой заданной границей. Метаматериал на основе трижды периодических минимальных поверхностей состоит из бесконечных, не пересекающихся друг с другом оболочек заданной толщины, повторяющихся в направлениях трех координатных осей с фиксированным или изменяющимся периодом. Благодаря большой удельной площади внутренних поверхностей ТПМП-метаматериалы могут использоваться как химические микрореакторы, мембранные устройства, тепловыделяющие элементы, поглотители энергии (кинетической, тепловой, энергии акустических волн, электромагнитных волн) [30].

В настоящее время активно изучается вопрос применения подобных метаматериалов в области биомедицинских приложений как костного скаффолда или имплантата. Это связано с тем, что для эффективной остеоинтеграции искусственные заменители костной ткани должны обладать разветвленной системой поровых каналов открытого типа для миграции и преобразования активных клеток в костное вещество, но в то же время иметь достаточную прочность для обеспечения функциональности органов, особенно опорно-двигательного аппарата человека. Использование метаматериалов подобного типа несет в себе потенциальные преимущества над «балочным» типом за счет большей площади внутренних поверхностей с кривизной, близкой к кривизне структуры трабекулярной костной ткани, имеющей разветвленную систему поровых каналов. Считается в последнее время установленным, что кривизна поверхности сильно влияет на регенерацию тканей [31], а поскольку средняя кривизна поверхности трабекулярной кости близка к нулю, то предполагается, что биометаматериалы на основе ТПМП должны обеспечивать более эффективную регенерацию биологической ткани во внутреннем пространстве скаффолда [32].

Несмотря на активное применение аддитивных технологий для производства персонализированных имплантатов и эндопротезов, в том числе, имеющих произвольную пористую [33] или периодическую решетчатую структуру [34–36], вопросы теоретической оценки их прочности освещены весьма слабо и, как правило, ограничены исследованиями разрушения на мезоуровне ячейки периодичности метаматериала [37] или с использованием осредненных моделей. Особую проблему при этом вызывает построение высокоадекватных полномасштабных конечноэлементных моделей эндопротезов из биометаматериалов и численный анализ их напряженно-деформированного состояния « ab inito », то есть моделей без упрощений и гомогенизации упругопластических свойств [38].

За исключением небольшого количества статей, описывающих относительно небольшие решетчатые модели имплантатов [27–29] и эндопротезов [39; 40] с целью прямого конечно-элементного анализа напряженного состояния, в настоящее время практически отсутствуют публикации, посвященные расчетной оценке прочности эндопротезов из сложноструктурных метабиоматериалов (поверхностных, в частности) «как есть», без применения процедур осреднения. Эта особенность может быть обусловлена существенными сложностями прямого конечно- 107

элементного моделирования периодической внутренней пространственной структуры решетчатых и, особенно, поверхностных метаматериалов. В то же время оценки прочности и жесткости являются крайне важными по причине того, что эндопротезы крупных суставов человека должны выдерживать значительное силовое воздействие в течение многих циклов нагружения при нормальной двигательной активности пациента после хирургической операции.

Таким образом, изучение применения биометаматериалов для разработки новых конструкций эндопротезов крупных суставов со сквозной пористостью является актуальной задачей. Ввиду отмеченной выше мультифизической сущности биометаматериалов их применение может способствовать решению указанных биомедицинских проблем.

В настоящей работе исследуется проблема разработки конструкции бедренного компонента (ножки) эндопротеза тазобедренного сустава человека из биометаматериала со сквозной пористостью и сложной внутренней структурой. Рассматриваются два варианта биометаматериала на основе решетчатых структур и два варианта на основе трижды периодических минимальных поверхностей. Задачей исследования является теоретическая оценка прочности ножки эндопротеза, имплантированной в бедренную кость человека, при реальных нагрузках, возникающих во время умеренной ходьбы по горизонтальной поверхности и подъеме-спуске по лестнице. Также определенный интерес представляет изучение напряженного состояния костной ткани бедренной кости человека в начальный момент установки эндопротеза и в отдаленный период после завершения основного этапа формирования костной ткани внутри порового пространства метаматериала имплантата.

Материалы и методы

Трехмерные CAD-модели биомеханической системы «кость - имплантат»

В рамках разработки моделей перспективных конструкций бедренного компонента эндопротеза тазобедренного сустава были рассмотрены биометаматериалы на основе титанового сплава Ti -6 Al -4 V . Данный сплав широко распространен в хирургических операциях по замене костных структур на искусственные компоненты ввиду своих высоких прочностных свойств, химической стабильности и биосовместимости. Материал может быть использован при изготовлении деталей с тонкими элементами и сложной геометрией, а также хорошо подходит для изготовления изделий, масса которых должна быть минимальна.

В качестве элементарных ячеек, образующих проектируемые метаматериалы, выбраны два типа ячеек стержневого типа и два типа ячеек на основе трижды периодических минимальных поверхностей. Решетчатые метаматериалы представлены в данном исследовании структурами: Cubic with supports и Diamond. Поверхностные метаматериалы разработаны на основе трижды периодических минимальных поверхностей Gyroid и IWP (рис. 1). Детальное описание процессов построения ячеек периодичности стержневых и поверхностных метаматериалов дано в предыдущих работах авторов [21-22].

Бедренный компонент стандартного эндопротеза ТБС состоит из ножки и головки, изготовленной из высокопрочной керамики (рис. 2). В свою очередь, в рамках данного исследования, ножка эндопротеза спроектирована таким образом, чтобы имел место плавный переход от головки к основному телу эндопротеза из метаматериала с помощью относительно короткого элемента (шейки) из сплошного титанового сплава. Предполагается, что шейка должна воспринимать значительную часть нагрузки, приводящей к изгибу ножки. Однако величина этой нагрузки может оказаться избыточной и может привести к вероятному разрушению шейки, если данная часть будет изготовлена из пористого материала. Также за счет поперечных пластин (плечиков) шейка должна более равномерно распределять нагрузку на тело имплантата.

Типичная форма проектируемой ножки эндопротеза имеет общепринятую в эндопротезировании ТБС топологию, повторяющую изгиб проксимальной части бедренной кости вдоль силовых линий (см. рис. 2, а). Длина ножки составляет 192 мм, а габаритные размеры базовых ячеек метаматериала 3×3×3 мм. Внутренние размеры структурных элементов подобраны таким образом, чтобы объемная пористость и содержание базового материала обеспечивали необходимые значения эффективных упругих свойств, о чем более подробно будет сказано далее. Трехмерные геометрические модели ножки на основе решетчатых метаматериалов построены в модуле ANSYS Space Claim. Модели ножки имплантата на основе поверхностных структурных элементов - в системе компьютерного моделирования Altair Inspire. На рис. 2, б приведены габаритные размеры и характерная трехмерная геометрическая модель ножки эндопротеза, спроектированная из метаматериала типа Cubic with supports.

Пространственная CAD -модель бедренной кости человека длиной 461 мм подготовлена на основании обезличенных данных компьютерной томографии мужчины средних возраста, роста и веса, полученных от представителей медицинской организации, с применением систем геометрического моделирования Autodesk Meshmixer, Altair Inspire и ANSYS SpaceClaim (рис. 3, а ).

При разработке модели принято во внимание, что длинная трубчатая кость скелета человека состоит из тканей, имеющих различные физиологические функции и физико-механические характеристики. Компактная костная ткань образует «трубку», воспринимающую основную внешнюю нагрузку. Внутренность «трубки» заполнена спонгиозной тканью и костным мозгом. Головки кости сформированы из спонгиозной ткани, покрытой тонким кортикальным слоем. Принята толщина кортикального слоя 2-4 мм.

а

б

в

г

Рис. 1. Базовые ячейки рассматриваемых метаматериалов:

Cubic with supports ( а ); Diamond ( б ); Gyroid ( в ); IWP ( г )

Рис. 2. Бедренный компонент эндопротеза тазобедренного сустава: общий вид и элементы конструкции ( а ); габаритные размеры ножки из метаматериала ( б )

б

В системе компьютерного моделирования Altair SimLab с помощью стандартных булевых операций разработанные модели ножки из метаматериала объединяются с построенной трехмерной моделью бедренной кости. Также в системе SimLab выполняется ряд операций, направленных на обеспечение конформности поверхностной конечно-элементной сетки на всех компонентах модели. Таким образом формируется серия сеточных геометрических моделей биомеханической системы, включающей бедренный компонент эндопротеза из рассматриваемых четырех типов метаматериала и модель стандартной бедренной кости    человека.    Характерная    компьютерная пространственная модель системы «кость – имплантат» показана на рис. 3, б.

Конечно-элементная постановка задачи цифровых испытаний биомеханической системы «кость -имплантат»

В настоящей работе ставится задача расчета напряженно-деформированного            состояния биомеханической системы при заданном нагружении. Математически проблема рассматривается в двух базовых вариантах, описывающих два момента времени в рамках жизненного цикла эндопротеза: а) заполнение внутреннего порового пространства метаматериала недифференцированной мягкой тканью, что моделирует начальный момент установки импланта; б) заполнение внутреннего порового пространства метаматериала сформировавшейся костной тканью, что моделирует

а

б

Рис. 3. Разработанные трехмерные CAD -модели бедренной кости человека ( а ) и биомеханической системы «кость – имплантат», включающей бедренный компонент эндопротеза тазобедренного сустава ( б )

отдаленный этап регенерации костной ткани внутри типичную конечно-элементную сетку рассматриваемой пористого имплантата.

Для численного решения трехмерной задачи теории упругости, которой описывается рассматриваемая в исследовании проблема, используется классический метод конечных элементов в перемещениях на основе вариационного принципа минимума потенциальной энергии или обобщения метода взвешенных невязок на трехмерные задачи [41]. Расчет напряженно-деформированного состояния данной системы твердых деформируемых тел осуществляется в конечно-элементном программном комплексе Abaqus. Трехмерные геометрические модели компонент биомеханической системы «кость - имплантат» служат основой построения пространственных конечноэлементных сеток для разработки виртуального испытательного стенда ножки эндопротеза. Математическая постановка задачи теории упругости также требует задания упругих свойств материалов, из которых должны быть изготовлены элементы рассматриваемой биомеханической системы, кинематических граничных условий и действующих сил.

Разработанные численные модели образованы тетраэдральными конечными элементами, имеющими первый порядок интерполяции перемещений. Характерный линейный размер конечных элементов построенной сетки для ножки эндопротеза (рис. 4) составляет 0,1–0,13 мм, для остальных компонентов системы - 1 мм. Количество элементов, образующих

а                         б системы «кость - имплантат», составило примерно 1,939 млн, а узлов - примерно 514 тыс.

Для обеспечения рационального соотношения между точностью расчетов и вычислительными затратами была реализована следующая стратегия дискретизации. В поверхностных слоях компонентов модели применена более детализированная сетка, что позволяет адекватно воспроизводить геометрические особенности конструкции и учитывать граничные условия, в то время как в объемных областях, удаленных от зон приложения нагрузок и граничных условий, использована укрупненная сетка. Такой подход существенно сокращает общее количество степеней свободы в модели, что приводит к значительному уменьшению объема вычислительных ресурсов, требуемых для проведения анализа. Подобная методика построения расчетной сетки, сочетающая области с различной плотностью дискретизации, является общепринятой практикой в вычислительной механике и позволяет достичь рационального баланса между точностью моделирования и эффективностью вычислений.

В компьютерных моделях, описывающих отдельные компоненты системы, реализовано идеальное соединение между костной тканью и геометрией имплантата за счет подготовки конформной сетки (рис. 5).

Рис. 4. Трехмерные конечно-элементные модели метаматериала ножки эндопротеза из рассматриваемых структурных типов Cubic with supports ( а ), Diamond ( б) , Gyroid ( в ) и IWP ( г )

б

Рис. 5. Конечно-элементные пространственные модели биомеханической системы «кость - имплантат», включающей бедренную кость человека и бедренный компонент эндопротеза тазобедренного сустава ( а ); иллюстрация соединения элементов в конформной конечно-элементной сетке ( б)

а

в                                г

Конформная конечно-элементная сетка представляет собой согласованную дискретизацию расчетной области, при которой граничные узлы и поверхности элементов контактирующих областей строго совпадают, обеспечивая непрерывность решения в зоне контакта и исключая взаимное смещение сопрягаемых узлов. Такой подход подразумевает, что ножка жестко закреплена в сохраненной части головки и костномозговом канале бедренной кости и не может проскальзывать, что позволяет точно описывать геометрическое соответствие на границах взаимодействия различных компонентов модели без применения дополнительных условий сопряжения. С вычислительной точки зрения данная постановка не требует дополнительного задания контактного взаимодействия на интерфейсных поверхностях, что обеспечивает более быстрое и стабильное решение.

Для расчета напряженного состояния бедренная кость совместно с эндопротезом выделена из скелетной системы человека, что приводит к необходимости условного закрепления нижней части кости и задания реактивных усилий, возникающих при движении человека, с противоположной стороны. Внешняя распределенная по поверхности головки бедренного компонента эндопротеза нагрузка фактически представляет собой силовое граничное условие. В конечно-элементной модели, предназначенной для расчета в системе Abaqus, такая нагрузка моделируется как сосредоточенная сила, приложенная в отдельной референсной точке, которая математически связана со всеми узлами конечно-элементной сетки на поверхности головки ножки эндопротеза, что обеспечивает более равномерное распределение силы по поверхности головки (рис. 6). В качестве кинематических граничных условий задаются нулевые перемещения в узлах конечно-элементной сетки на внешней поверхности дистальной части бедренной кости, что также показано на рис. 6.

Величины сил реакций, действующих со стороны отсеченной части тазобедренного сустава и приложенных в геометрическом центре головки эндопротеза в референсной точке, взяты из базы данных открытого ресурса OrthoLoad . В базе представлены экспериментальные данные, полученные с помощью специальных эндопротезов на добровольцах различного веса и возраста.

Величины нагрузок, содержащихся в OrthoLoad , получены с помощью инструментальных эндопротезов тазобедренного сустава, оснащенных датчиками, а также внешних приемников, прикрепленных к суставам. Данное оборудование позволяет записывать величины возникающих в суставе сил и передавать их на компьютер [42].

В настоящем исследовании рассмотрены такие виды нормальной двигательной активности человека, как умеренная ходьба по горизонтальной поверхности, подъем и спуск по лестнице. Графики нормированных сил реакций за период, равный циклу соответствующих движений человека, показаны на рис. 7. Реальный вес человека принят равным 800 Н.

Корректное задание физико-механических свойств материалов является крайне важным фактором для построения высокоадекватных цифровых моделей, виртуальных стендов и полигонов. Во многих работах, посвященных конечно-элементному моделированию костных структур, широко применяется подход, предполагающий моделирование костной ткани как изотропной линейно-упругой среды. На основании обзора литературных источников были определены наиболее достоверные средние значения упругих свойств костных тканей. Модуль Юнга кортикальной ткани бедренной кости принят равным 18 300 МПа, коэффициент Пуассона - 0,4; модуль Юнга губчатой ткани - 320 МПа, коэффициент Пуассона - 0,3 [43; 44].

Моделирование нелинейного механического поведения костной ткани представляет собой сложную задачу, требующую учета множества факторов. В настоящем исследовании основной акцент сделан на консервативную оценку предельных состояний, включая риск разрушения костной ткани. Для достижения этой цели и для более адекватного описания возможных пиков напряжений в отдельных элементах сетки принята упрощенная модель материала костной ткани как идеально упругопластической среды без упрочнения. Предел текучести кортикальной ткани длинных трубчатых костей скелета человека принят равным 84,5 МПа, спонгиозной - 5 МПа [43; 45].

Рис. 6. Схема кинематических и силовых граничных условий, наложенных на систему «кость - имплантат» систему в программном комплексе Abaqus

в

Рис. 7. Графики зависимости нормированных усилий в суставе от фазы нагружения для характерных случаев движения человека: умеренная ходьба ( а ); подъем по лестнице ( б ); спуск по лестнице ( в )

Как было сказано выше, в данной работе рассматриваются метаматериалы, для производства которых с помощью аддитивных технологий предполагается применять титановый сплав Ti-6Al-4V. Принята модель идеального упругопластического поведения аддитивного титана, характеризуемая следующими материальными константами: модуль Юнга 105,8 ГПа, коэффициент Пуассона – 0,3, предел текучести – 853,7 МПа [46].

В настоящем исследовании объемное содержание металла в элементарной ячейке метаматериала, однозначно определяющее его пористость, подобрано таким образом, чтобы эффективные упругие модули рассматриваемых метаматериалов примерно соответствовали значениям модуля Юнга компактной ткани. Это обусловлено как требованием обеспечить необходимую прочность и жесткость эндопротеза на начальном этапе установки, так и биомеханическим соответствием упругих свойств имплантата и компактной ткани в отдаленный период восстановления кости для предотвращения эффекта экранирования напряжений. Подробное изложение процедур гомогенизации применительно к рассматриваемым типам метаматериалов дано в ранее опубликованных работах авторов [21; 22]. Определенные в них эффективные упругие модули рассматриваемых метаматериалов с объемным содержанием титанового сплава 0,3 равны 21 730, 17 705, 14 770 и 16 170 МПа для ячеек типа Cubic with supports , Diamond , Gyroid , IWP , соответственно.

Высокая пористость метаматериала приводит к существенному снижению жесткости вдоль главных направлений материальной симметрии по сравнению со сплошным материалом. Согласно многочисленным экспериментальным исследованиям, обобщенным в [47], значения модуля Юнга компактной ткани проксимальной части бедренной кости в зависимости от плотности вещества (от 1,5 до 2 г/см3) лежат в пределах 7500–20000 МПа в продольном направлении и 4000– 7000 МПа в трансверсальном. Тем самым полученные значения модулей Юнга рассматриваемых метабиоматериалов при заданной пористости 70 % ближе к верхней границе упругих модулей компактной ткани в продольном направлении. Можно предположить, что с биомеханической точки зрения такой диапазон упругих свойств метабиоматериалов позволит обеспечить восприятие нагрузки компактной тканью бедренной кости в достаточной степени, чтобы не происходила резорбция кости ввиду пониженного уровня напряженного состояния вблизи металлического имплантата.

Математически два пограничных случая установки эндопротеза моделируются разными значениями модуля Юнга для материала, расположенного в поровом пространстве. Предполагается, что в первом случае недифференцированная мягкая ткань имеет низкий модуль Юнга, равный 1 МПа, в то время как во втором случае упругие свойства ткани в поровом пространстве имплантата соответствуют свойствам губчатой кости, то есть 320 МПа.

Наконец, высокопрочная керамика, из которой изготовлена головка бедренного компонента, имеет модуль Юнга, равный 430 МПа, коэффициент Пуассона - 0,3, предел текучести - 70 МПа [48].

Результаты

Результаты конечно-элементного решения поставленной задачи механики представлены полями перемещений, деформаций и напряжений во всех компонентах рассматриваемой системы. Перемещения являются базовыми расчетными переменными и в целом характеризуют механическое поведение и жесткость системы, в то время как напряженное состояние характеризует прочность отдельных компонентов системы, в особенности имплантата с высокой пористостью, а также позволяют прогнозировать риск развития резорбции костной ткани в результате установки металлического эндопротеза.

Ввиду большого объема данных, полученных в результате расчетов четырех типов метаматериалов при двух вариантах заполнения порового пространства имплантата тканью с различными упругими свойствами, и трех видах двигательной активности человека под действием силы, существенно изменяющейся за цикл движения, в статье приводятся только характерные рисунки полей основных переменных. В качестве такого supports и начальный момент установки эндопротеза, характеризуемый минимальным значением модуля упругости мягкой ткани, заполняющей поровое пространство метаматериала. Результаты расчетов механических характеристик системы в остальных рассматриваемых случаях показаны в сравнении с базовым вариантом в соответствующих таблицах и на диаграммах.

Кроме того, для формирования полей модуля вектора перемещений и эффективного напряжения по Мизесу, возникающих от переменной за цикл нагрузки, принят следующий алгоритм обработки данных. В каждом конечном элементе за период нагружения определяется максимальное значение расчетной переменной и отображается на рисунке. Генерируемые таким образом рисунки «максимальных» полей дают интегральную оценку «сверху» напряженно-деформированного состояния биомеханической системы за цикл изменения приложенной нагрузки.

Для базового варианта расчета (метаматериал из ячеек типа Cubic with supports , начальный момент установки эндопротеза) на рис. 8 приведены интегральные распределения модуля и вертикального компонента вектора упругих перемещений рассматриваемой биомеханической системы «кость -имплантат» при трех видах двигательной активности человека.

характерного варианта выбран метаматериал Cubic with

а

б

Рис. 8. Интегральные поля упругих перемещений (модуля и вертикальной проекции) ножки эндопротеза из метаматериала типа Cubic with supports в начальный момент установки имплантата для характерных случаев движения человека (мм): умеренная ходьба ( а ); подъем по лестнице ( б ); спуск по лестнице ( в )

На рис. 9–11 показаны максимальные поля эффективных напряжений по Мизесу, возникающих в компонентах конструкции «кость–имплантат», от действия заданных сил за цикл нагружения также при трех рассматриваемых видах двигательной активности человека.

Результаты расчетной оценки напряженно-деформированного состояния основных компонентов рассматриваемой системы для всех видов топологии метаматериала представлены в табл. 1–9 в виде «интегральных» значений максимальной интенсивности напряжений по Мизесу, разбитых на десять интервалов от нуля до предела текучести материала.

Для упрощения восприятия результатов на основе табл. 1–3 построены и показаны на рис. 11 характерные гистограммы распределения интенсивности напряжений по Мизесу, максимальной за цикл движения человека, в метаматериале топологии Cubic with supports . Аналогичные диаграммы распределения интенсивности напряжений по Мизесу по уровням значений и процентной доле конечных элементов, в которых достигается соответствующий уровень напряжений, в губчатом и компактном веществе бедренной кости, построенные на основе данных табл. 4–6 и 7–9, соответственно, приведены на рис. 12.

а

б

Рис. 9. Интегральные поля интенсивности напряжений по Мизесу (МПа) в ножке эндопротеза из метаматериала типа Cubic with supports в начальный момент установки имплантата для характерных случаев движения человека: умеренная ходьба ( а ); подъем по лестнице ( б ); спуск по лестнице ( в )

б

а

в

Рис. 10. Интегральные поля интенсивности напряжений по Мизесу (МПа) в кортикальной и губчатой тканях бедренной кости в начальный момент установки имплантата для характерных случаев движения человека: умеренная ходьба ( а ); подъем по лестнице ( б ); спуск по лестнице ( в )

Таблица 1

Распределение максимальных значений интенсивности напряжений по Мизесу в объеме метаматериала за цикл «умеренная ходьба»

Интервал, МПа		Топология Cubic with supports , % от объема	Топология Diamond , % от объема	Топология Gyroid , % от объема	Топология IWP , % от объема
0	85,37	97,91559	98,49861	97,95151	96,87761
85,37	170,74	2,047089	1,48935	2,006418	3,081847
170,74	256,11	0,037016	0,011943	0,039235	0,037647
256,11	341,48	0,000303	9,96E-05	0,002263	0,00235
341,48	426,85	0	0	0,000251	0,000401
426,85	512,22	0	0	0,000101	5,81E-05
512,22	597,59	0	0	7,98E-05	1,94E-05
597,59	682,96	0	0	7,45E-05	3,95E-05
682,96	768,33	0	0	2,13E-05	3,1E-05
768,33	853,70	0	0	5,04E-05	0

Таблица 2

Распределение максимальных значений интенсивности напряжений по Мизесу в объеме метаматериала за цикл «подъем по лестнице»

Интервал, МПа		Топология Cubic with supports , % от объема	Топология Diamond , % от объема	Топология Gyroid , % от объема	Топология IWP , % от объема
0	85,37	95,4575	96,13063	95,61101	92,86633
85,37	170,74	4,367389	3,821885	4,239136	7,006383
170,74	256,11	0,173542	0,046075	0,141459	0,117288
256,11	341,48	0,001379	0,001408	0,006994	0,008728
341,48	426,85	0,000193	4,11E-06	0,000901	0,000781
426,85	512,22	0	0	0,000168	0,000318
512,22	597,59	0	0	8,62E-05	4,44E-05
597,59	682,96	0	0	7,37E-05	5,37E-05
682,96	768,33	0	0	7,38E-05	7,25E-06
768,33	853,70	0	0	9,81E-05	7,05E-05

Таблица 3

Распределение максимальных значений интенсивности напряжений по Мизесу в объеме метаматериала за цикл «спуск по лестнице»

Интервал, МПа		Топология Cubic with supports , % от объема	Топология Diamond , % от объема	Топология Gyroid , % от объема	Топология IWP , % от объема
0	85,37	96,84436	97,2505	97,10481	95,72876
85,37	170,74	3,068337	2,713062	2,823243	4,184592
170,74	256,11	0,086132	0,035174	0,066786	0,080295
256,11	341,48	0,001066	0,001267	0,004282	0,005425
341,48	426,85	0,000107	0	0,000445	0,000507
426,85	512,22	0	0	0,00011	0,000283
512,22	597,59	0	0	0,000128	5,92E-05
597,59	682,96	0	0	9,61E-05	4,67E-05
682,96	768,33	0	0	3,49E-05	0
768,33	853,70	0	0	6,96E-05	0,000031

Таблица 4

Распределение максимальных значений интенсивности напряжений по Мизесу в губчатом объеме кости за цикл «умеренная ходьба»

Интервал, МПа		Топология Cubic with supports , % от объема	Топология Diamond , % от объема	Топология Gyroid , % от объема	Топология IWP , % от объема
0	0,5	56,38883	55,88128	56,83369	56,67456
0,5	1,0	36,30279	36,7326	35,92717	35,95772
1,0	1,5	6,455426	6,508262	6,4514	6,497611
1,5	2,0	0,697635	0,706289	0,646588	0,691267
2,0	2,5	0,117494	0,12686	0,107764	0,123747
2,5	3,0	0,025495	0,028554	0,022334	0,033023
3,0	3,5	0,007146	0,008895	0,006249	0,012228
3,5	4,0	0,002888	0,004031	0,002875	0,005204
4,0	4,5	0,001089	0,001599	0,000877	0,002241
4,5	5,0	0,001209	0,001629	0,001052	0,002403

Таблица 5

Распределение максимальных значений интенсивности напряжений по Мизесу в губчатом объеме кости за цикл «подъем по лестнице»

Интервал, МПа		Топология Cubic with supports , % от объема	Топология Diamond , % от объема	Топология Gyroid , % от объема	Топология IWP , % от объема
0	0,5	42,99155	42,47659	43,36835	43,15036
0,5	1,0	41,21942	41,50046	41,05138	41,05672
1,0	1,5	12,10299	12,27535	11,95998	12,07526
1,5	2,0	2,794044	2,828014	2,766135	2,812771
2,0	2,5	0,70956	0,729568	0,685279	0,704877
2,5	3,0	0,134515	0,135187	0,125805	0,131093
3,0	3,5	0,030298	0,033652	0,027836	0,038681
3,5	4,0	0,010155	0,010721	0,008115	0,014906
4,0	4,5	0,003691	0,00513	0,003761	0,007393
4,5	5,0	0,003776	0,005332	0,003358	0,007941

Таблица 6

Распределение максимальных значений интенсивности напряжений по Мизесу в губчатом объеме кости за цикл «спуск по лестнице»

Интервал, МПа		Топология Cubic with supports , % от объема	Топология Diamond , % от объема	Топология Gyroid , % от объема	Топология IWP , % от объема
0	0,5	35,42794	34,90566	35,81955	35,68927
0,5	1,0	38,30559	38,77726	38,17389	38,20947
1,0	1,5	17,69132	17,71274	17,54115	17,55438
1,5	2,0	4,832462	4,891661	4,780454	4,825562
2,0	2,5	2,57791	2,558311	2,549302	2,568834
2,5	3,0	0,94675	0,936187	0,92443	0,92422
3,0	3,5	0,189493	0,18822	0,18486	0,199883
3,5	4,0	0,026432	0,026619	0,023907	0,024338
4,0	4,5	0,001189	0,002112	0,0016	0,001908
4,5	5,0	0,000902	0,001236	0,000857	0,002139

Таблица 7

Распределение максимальных значений интенсивности напряжений по Мизесу в кортикальном слое кости за цикл «умеренная ходьба»

Интервал, МПа		Топология Cubic with supports , % от объема	Топология Diamond , % от объема	Топология Gyroid , % от объема	Топология IWP , % от объема
0	8,452	12,44462	12,04232	12,69755	12,46506
8,452	16,904	26,83217	26,78389	26,82692	26,86889
16,904	25,356	29,20886	29,49341	29,14468	29,29099
25,356	33,808	24,74311	24,85999	24,57929	24,56694
33,808	42,26	6,171407	6,228536	6,154794	6,211454
42,26	50,712	0,550961	0,542524	0,545963	0,547184
50,712	59,164	0,043241	0,043537	0,045201	0,044071
59,164	67,616	0,005326	0,00549	0,005296	0,005098
67,616	76,068	0,000304	0,000304	0,000304	0,000304
76,068	84,52	0	0	0	0

Таблица 8

Распределение максимальных значений интенсивности напряжений по Мизесу в кортикальном слое кости за цикл «подъем по лестнице»

Интервал, МПа		Топология Cubic with supports , % от объема	Топология Diamond , % от объема	Топология Gyroid , % от объема	Топология IWP , % от объема
0	8,452	8,155378	7,864732	8,351713	8,189118
8,452	16,904	14,21543	14,06116	14,29069	14,15041
16,904	25,356	21,20828	21,30055	21,30949	21,45595
25,356	33,808	34,07853	34,19833	33,79816	33,91354
33,808	42,26	18,20205	18,38033	18,11054	18,14015
42,26	50,712	3,383493	3,438296	3,386033	3,393764
50,712	59,164	0,594742	0,590602	0,588799	0,595955
59,164	67,616	0,114207	0,119507	0,116834	0,114954
67,616	76,068	0,0368	0,035533	0,036256	0,034562
76,068	84,52	0,011089	0,010962	0,011483	0,011595

Таблица 9

Распределение максимальных значений интенсивности напряжений по Мизесу в кортикальном слое кости за цикл «спуск по лестнице»

Интервал, МПа		Топология Cubic with supports , % от объема	Топология Diamond , % от объема	Топология Gyroid , % от объема	Топология IWP , % от объема
0	8,452	12,82548	12,25897	13,2159	12,74948
8,452	16,904	16,04475	16,2886	15,92769	16,22014
16,904	25,356	15,92563	16,17159	15,74799	15,89261
25,356	33,808	16,5281	16,5867	16,46246	16,4839
33,808	42,26	16,07878	16,12317	16,07203	16,11077
42,26	50,712	14,02492	13,98093	13,99166	13,97246
50,712	59,164	6,062643	6,095419	6,070104	6,073536
59,164	67,616	1,278333	1,264304	1,275284	1,266189
67,616	76,068	0,680151	0,677671	0,682313	0,674248
76,068	84,52	0,551219	0,552656	0,554573	0,556658

а

в

Рис. 11. Интегральные поля интенсивности напряжений по Мизесу (МПа) в ножке эндопротеза из метаматериала типа Cubic with supports в начальный момент установки имплантата для характерных случаев движения человека: умеренная ходьба ( а ); подъем по лестнице ( б ); спуск по лестнице ( в )

в

Рис. 12. Интегральные поля интенсивности напряжений по Мизесу (МПа) в губчатом (слева) и компактном (справа) веществе бедренной кости с установленным эндопротезом из метаматериала типа Cubic with supports (начальный момент установки) для характерных случаев движения человека: умеренная ходьба ( а ); подъем по лестнице ( б ); спуск по лестнице ( в )

Обсуждение

Анализ результатов моделирования момента установки эндопротеза

Разработанная компьютерная модель, описывающая момент установки эндопротеза в костномозговом канале бедренной кости путем присвоения материалу внутри порового пространства имплантата различных значений модуля Юнга, не показала существенных количественных различий в напряженно-деформированном состоянии системы. Переход в модели от начального момента установки к модели завершения регенерации приводит к уменьшению характерных напряжений всего на 1–3%.

Такая нечувствительность к изменению свойств ткани, заполняющей внутренне пространство метаматериала, по-видимому, связана с двумя особенностями используемого подхода. Во-первых, различие в модулях Юнга материала внутри порового пространства имплантата 1 и 320 МПа, хотя и является значительным, но тем не менее несущественно по сравнению с эффективным упругим модулем используемого метаматериала (15000–20000 МПа). Тем самым упругий вклад материала, заполняющего поровое пространство имплантат, в глобальную матрицу жесткости конечно-элементной системы явно незначителен по сравнению со вкладом материала имплантата. Во-вторых, связь узлов конформной конечно-элементной сетки и линейная постановка задачи в обоих случаях также снижают вероятность обнаружить различие в результатах. Перспективным, но, очевидно, более затратным и проблематичным с вычислительной точки зрения может стать контактная постановка задачи в начальный момент установки имплантата. Тогда как заключительный этап регенерации ткани вокруг и внутри имплантата по-прежнему может быть описан с помощью линейной постановки, исключающей микроперемещения на внешней интерфейсной границе костной ткани и метаматериала. Представляется более вероятным, что в этом случае количественные различия в напряженно-деформированном состоянии системы «кость – имплантат» будут более заметны.

Таким образом, далее проводится анализ только одного варианта установки эндопротеза, моделирующего начальный момент установки, до завершения процесса регенерации, но в линейной контактной постановке.

Анализ упругих перемещений биомеханической системы

Упругие перемещения, возникающие под действием заданной нагрузки, интегрально характеризуют жесткость конструкции, что является немаловажным фактором стабильности эндопротеза в костномозговом канале в процессе эксплуатации. На наблюдаемые перемещения (рис. 8) оказывает существенное влияние способ наложения кинематических граничных условий в референсной точке на перемещения и повороты, что эквивалентно жесткой заделке дистальной части бедренной кости, в то время как проксимальная часть не испытывает ограничений на перемещения. В результате под действием горизонтальных компонентов силы, приложенной в центре головки эндопротеза, система совершает большие перемещения во фронтальной и сагиттальной плоскостях. Верхняя точка эндопротеза, расположенная на его головке, обладает максимальными перемещениями: 11,0; 14,3 и 15,8 мм. Эти перемещения не являются физиологически достоверными ввиду отмеченной особенности наложения граничных условий и не используются для оценки жесткости.

Тем не менее наибольшие отклонения головки эндопротеза, соответствующие максимальным значениям приложенной нагрузки, можно использовать для верификации модели путем сравнения с аналогичными постановками, известными в литературе. Так, в работе [48] были рассмотрены мультирешетчатые конструкции, разрабатываемые с целью снижения уровня экранирования напряжений, для чего масса изделия была снижена до 25 %. Эффективные модули упругости рассматриваемых ячеек находились в диапазоне 20…63 ГПа при объемном содержании сплошного материала 26…58 %. При этом значения перемещений модели с решетчатой структурой незначительно превышали значения перемещений модели со сплошным имплантатом (4,04 и 3,81 мм соответственно) при статической нагрузке, равной весу человека 700 Н. В нашем случае для всех моделей модуль вектора перемещений, соответствующих максимальной силе примерно 2200 Н за цикл нормальной ходьбы по горизонтальной поверхности (см. рис. 7), составил порядка 11 мм. Исходя из линейной постановки задачи, можно утверждать о соответствии значений перемещений: при увеличении силы примерно в три раза, во столько же раз увеличиваются перемещения.

Как уже было отмечено, вертикальные перемещения кости совместно с эндопротезом от действия вертикальной составляющей приложенной в центре головки силы можно использовать для оценки интегральной жесткости системы в продольном направлении. Как видно по полям перемещений, приведенным на рис. 8, характер распределения перемещений схож для различных типов метаматериала, независимо от класса топологии. Поделив значение вертикальной проекции приложенной силы на вертикальное перемещение головки эндопротеза (для определенности можно взять один расчетный случай, соответствующий максимальной нагрузке), можно оценить интегральную жесткость конструкции вдоль продольной оси. Полученное значение жесткости примерно равно 1200 Н/мм.

Анализ прочности эндопротеза

Интегральные поля эквивалентных напряжений по Мизесу в ножке эндопротеза из типичного метаматериала (рис. 11) и процентное распределение интенсивности напряжений по десяти уровням для всех рассматриваемых случаев (табл. 1–3) показывают общую низкую нагруженность имплантата за исключением зоны перехода от шейки эндопротеза к основной области (рис. 9). Большая часть объема ножки (от 92 до 98 %) при всех видах нагрузки и топологиях ячейки метаматериала испытывает напряжения в пределах 85 МПа, что в десять раз меньше предела текучести и значительно меньше предела временного сопротивления титанового сплава Ti-6Al-4V [46]. Следующий уровень напряжений (от 85 до 170 МПа) достигает лишь 3–7% материала, в то время как напряжения третьего уровня (от 170 до 256 МПа) испытывают меньше 0,2 % конечных элементов ножки эндопротеза. Таким образом, прочность конструкции из метаматериала, несмотря на его высокую пористость в 70 %, остается высокой как по условию статической прочности, так и по сопротивлению многоцикловой усталости. Весьма малый процент объема имплантата находится в диапазоне напряжений, превосходящих предел выносливости в 350 МПа. Возникающая концентрация напряжений в зоне шейки эндопротеза, достигающих 255–307 МПа, вполне обоснована видом приложенной нагрузки и не превышает предел текучести Ti-6Al-4V. Причем по рис. 9 можно заметить, что данная зона, возникающая в сплошном материале ножки, распространяется ниже перемычки внутрь метаматериала. Дополнительно обратим внимание, что сложная решетчатая или поверхностная структура метаматериала, видимо, из-за того, что большую часть нагрузки на себя принимает сплошная часть ножки, не испытывает повышенных напряжений, что можно считать положительным конструктивным решением для пористого имплантата из метаматериала.

Сравнивая топологии ячеек периодичности метаматериала между собой, необходимо отметить, что напряжения в имплантатах, спроектированных из метаматериалов решетчатого типа (Cubic with supports и Diamond), при всех рассматриваемых нагрузках ни в каких конечных элементах не превышают половины предела текучести. В то же время в имплантатах, спроектированных из метаматериалов поверхностного типа (Gyroid и IWP), имеет место распространение повышенных напряжений (более половины от предела текучести) в отдельные области метаматериала. Доля конечных элементов с такими повышенными уровнями напряжений не является значительной, но тем не менее не может быть оставлена без внимания в контексте многоцикловой усталости, измеряемой миллионами циклов нагружения. При этом принципиальной разницы в надежности имплантата из метаматериалов одного класса (Cubic with supports и Diamond) и (Gyroid и IWP) не наблюдается. Существенно снизить количество элементов, достигающих повышенных значений напряжений, можно посредством доработки конечноэлементной или геометрической модели. Тонкие элементы, выходящие на границу ножки эндопротеза, зачастую становятся концентраторами напряжений и могут быть удалены, так как не обладают несущей способностью. Таким образом, ограничивающим при проектировании    эндопротеза    конструктивным элементом с точки зрения прочности выступает решетчатая часть и ее область соединения со стержнем.

Распределение напряжений на макроуровне конструкции соответствует как качественным аналитическим предсказаниям согласно модели изгиба консольного стержня, так и работам других авторов, исследующих прочность   ножек эндопротеза тазобедренного сустава из новых материалов [19; 40]. Наибольшие напряжения возникают на внутренней поверхности ножки в зоне изгиба и, например, по статье [40] достигают примерно 450 МПа в случае решетчатой градиентной структуры из аддитивного титанового сплава Ti-6Al-4V при максимальной вертикальной нагрузке 2800 Н. Хотя условия численного эксперимента и значение пористости рассматриваемых метаматериалов отличаются, можно утверждать, что рассчитанные нами значения напряжений в данной области     (400…500     МПа)     соответствуют представленным в [40]. В целом более высокий уровень напряжений в нашем случае обусловлен более тонкими балочными или поверхностными элементами, образующими       ячейки       рассматриваемых метаматериалов. Интересно отметить, что в работе [48] фиксировалось снижение напряжений по Мизесу при замене части сплошного материала имплантата на мультирешетчатую структуру.

Анализ напряженного состояния костных тканей

Интегральные поля эквивалентных напряжений по

Мизесу в костной ткани при наличии установленной ножки эндопротеза из типичного метаматериала (рис. 12) и процентное распределение интенсивности напряжений по десяти уровням для всех рассматриваемых случаев (см. табл. 4–9) подтверждают нагруженное состояние кости, что также соответствует более ранним работам [5].

В большей части объема губчатой костной ткани (75–90 %) при всех видах нагрузки и топологиях ячейки метаматериала возникают напряжения, не превышающие 1 МПа, что равно лишь 20 % предела текучести спонгиозной ткани (см. табл. 4–6). Еще приблизительно 15–25 % конечных элементов испытывают напряжения от 1 до 2,5 МПа, что составляет половину от используемого значения предела текучести. Лишь менее 0,005 % объема губчатого и 0,56 % компактного вещества достигают предела текучести, что не является критическим значением для развития повреждений в кости.

Сравнивая различные случаи нагружения, заметим, что из рассмотренных типов двигательной активности человека спуск по лестнице приводит к наибольшему уровню напряжений в костной ткани для всех видов топологии метаматериала ножки эндопротеза. Сравнивая различные топологические структуры метаматериала, можно сделать следующие выводы: наблюдается умеренное повышение напряжений в области перехода между метаматериалом и костью, при этом распределение остается устойчивым, протяженные зоны повышенных значений не формируются. В целом во всех моделях система «имплантат – кость» работает в пределах безопасного диапазона. Спонгиозная ткань не содержит обширных зон необратимых деформаций и не ограничивает функционал имплантата.

Характер распределения напряжений в компактном веществе кости несколько отличается от распределения напряжений в губчатом веществе, что особенно заметно при сравнении диаграмм интенсивности напряжений по Мизесу (рис. 12). Распределение максимальных напряжений по уровням за цикл движения становится более равномерным и приближающимся к принятому в исследовании пределу текучести. В результате компьютерного анализа моделей двигательной активности человека выявлено (см. табл. 7–9), что для всех типов топологии метаматериала максимальные напряжения в диапазоне 17–25 МПа сосредоточены в наибольшем объеме кортикальной ткани, составляющем примерно 29 % от общего объема в случае ходьбы. Аналогичная характеристика для подъема по лестнице смещается вправо и составляет 25–34 МПа для доли объема ткани в 34 %. Интересно заметить, что случай спуска по лестнице оказывается в среднем менее нагруженным, но более размазанным по уровням напряжений: приблизительно 48 % объема ткани испытывают напряжения от 17 до 42 МПа. Учитывая, что в данном варианте нагружения предела текучести достигает 0,55 % материала, случай спуска по лестнице можно интерпретировать как наиболее опасный для пациента с установленным эндопротезом.

Для кортикальной кости разница в напряженно-деформированном состоянии между различными структурами практически отсутствует. Во всех четырех топологиях зафиксировано превышение предела текучести только в сценарии спуска по лестнице. В сценариях подъема по лестнице напряжения приближаются к критическим значениям, в случае ходьбы сохраняется существенный запас до образования пластических зон. Различия заключаются в пространственной локализации, зависящей от сценария нагружения. Варьируются главным образом площадь и точное положение локальных максимумов внутри исследуемых областей. При ходьбе и подъеме по лестнице формируется протяженная зона повышенных напряжений по медиальной части бедренной кости, тянущаяся от межвертельной области к начальному диафизу. При спуске по лестнице акцент смещается к латеральным сегментам начального диафиза.

Для спонгиозной кости распределение напряжений характеризуется значительно меньшими уровнями по сравнению с кортикальной частью, что объясняется меньшим модулем упругости и способностью ткани к локальной деформации. Во всех рассмотренных топологиях и сценариях превышения предела текучести носят очень локальный характер в верхней области контакта имплантата с костью. Максимальные значения напряжений фиксируются при подъеме и спуске по лестнице. Однако в целом уровень напряжений далек от предела текучести с незначительным повышением в межвертельной области.

Отметим, что более равномерное по уровням распределение напряжений в кортикальной ткани бедренной кости с сохранением достаточно высокого уровня напряжений, но при этом не превышающего половины предела текучести, можно интерпретировать как положительный аспект с точки зрения эффекта экранирования напряжений. Сплошной металлический эндопротез, обладающий более высокой жесткостью, может приводить к значительному падению напряжений в кортикальном слое кости, что в свою очередь приводит к резорбции компактного костного вещества, повышению пористости и, как результат, расшатыванию ножки эндопротеза или разрушению кости вблизи него. Поэтому рассмотренные ячейки и объемные доли материала выбраны таким образом, чтобы максимально подходить по жесткости к кортикальной кости человека. Оптимизация жесткости имплантата путем подбора пористости метаматериала позволяет снизить механическую неоднородность и улучшить распределение нагрузки.

Заключение

Сопоставление четырех топологий метаматериала в трех сценариях нагружения и двух состояниях (до/после регенерации) показывает, что балочные структуры характеризуются более низкими уровнями напряжений.

Во всех рассмотренных режимах для этих вариантов превышений предела текучести не обнаружено. Области повышенных напряжений ограничены зоной перехода стержня к решетчатому блоку и не развиваются в протяженные зоны с критическими значениями. Внутри решетчатого объема выраженные локальные концентраторы встречаются эпизодически и остаются ограниченными по площади. При переходе от «до регенерации» к «после регенерации» их амплитуда и протяженность не возрастают. Для поверхностных структур общая картина меняется:  отмечаются критические участки в области перехода и на тонких перемычках, где максимальные напряжения подходят к пределу текучести и местами его превышают.

С точки зрения прочности конструкции результаты исследования демонстрируют, что приоритет следует отдавать балочным структурам типа Cubic with supports или Diamond, так как для них характерно отсутствие превышений предела текучести во всем наборе сценариев. Поверхностные структуры типа Gyroid и IWP допустимы к применению при условии наличия проектного резерва именно под наиболее нагруженные сценарии движения человека, а также при локальной корректировке геометрии в области перехода и ограничении минимальных толщин перемычек. Такое усиление снижает риск появления локальных концентраторов напряжений и позволяет улучшить напряженное состояние в целом.

Состояние кортикальной и спонгиозной кости для рассмотренных    сценариев    не    накладывают существенных конструктивных ограничений с точки зрения прочности. Поэтому ключевое внимание в дальнейших исследованиях следует уделять решетчатой части и области ее соединения со стержнем, где формируются критические значения напряжений, приближающиеся к пределу текучести.