Математическое моделирование как средство интеграции естественно-научных и математических дисциплин

ководство вуза должно учитывать особенности этого вида обучения и организовать его моральную и финансовую поддержку. В частности, программа подготовки должна предусматривать практику студентов на инофирмах, международных конференциях, выставках. Идеальный случай — стажировки за рубежом, международные лагеря и т.д.

Современные профессиональные знания и терминология так обширны, что «чистым переводчикам» очень трудно работать в любой области растущего международного сотрудничества. Именно поэтому «стоимость» специалиста, владеющего иностранным языком, на много выше «стоимости» специалиста, им не владеющего. Такое соотношение повышает личную мотивацию обучения и внутреннюю потребность в самосовершенствовании.

Автор надеется, что изложенные соображения и опыт иноязычного преподавания естественно-научных дисциплин в рамках вузовской подготовки будут способствовать осуществлению интеграционных и междисциплинарных программ высшей школы. Они создают условия для роста качества высшего профессионального образования и находятся в русле его современной модернизации.

Поступила 11.10.02,

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК СРЕДСТВО ИНТЕГРАЦИИ ЕСТЕСТВЕННО НАУЧНЫХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН

В.А. Далингер, зав. кафедрой теории и методики обучения математике Омского государственного педагогического университета, профессор

Сегодня становится очевидным, что много десятилетий разрабатываемая проблема межпредметных связей есть лишь полумера в решении накопившихся в образовании проблем. Кардинальное решение возможно лишь за счет интеграции содержания образования классических учебных дисциплин (математика, физика, химия, биология, астрономия и т.д.) В ее основе лежат интересы личности обучающегося, его развитие.

Интеграция предполагает ревизию всего объема образовательной информации, ее переоценку и концентрацию, воссоединение частей и воссоздание целостности и затрагивает не только предметную область (объем знаний), но и личностно-значимую (характер обученности). Интеграция делает мышление ученика «более широким и целостным», направляет его в сторону моделирования, систематизации, структуризации и т.п., являющихся более сложными мыслительными операциями. Интегративное мышление позволяет человеку строить гипотезы, устанавливать причинно-следственные связи; оно определяет стратегию и тактику рассуждений и доказательств.

Направлениями интеграции могут стать:

• —    расширение и углубление предмета познания;

• —    ликвидация многопредметности в обучении;

• —    сокращение времени изучения учебного материала;

• —    ликвидация дублирования;

• —    изменение технологии обучения;

• —    создание условий для развития личности учащегося и т.д.

Интеграционный процесс предполагает наличие совокупности объектов, вступающих между собой во взаимосвязь и образующих новое целостное единство. В нашем случае объектами интеграционного процесса являются понятия, теории, законы, факты, процессы естественно-научных и математических дисциплин. Интеграционный процесс реали-

€ В.А Далингер, 2002

зуется через объективно существующие или преднамеренно создаваемые соединения объектов интеграции.

В педагогической литературе (И.Я. Лернер) предложена четырехкомпонентная структура содержания образования, включающая в себя:

— систему знаний, усвоение которых обеспечивает формирование в сознании учащихся верной научной картины мира, вооружает их правильным методологическим подходом к познавательной и практической деятельности;

• —    систему общих интеллектуальных и практических умений и навыков, лежащих в основе множества конкретных видов деятельности;

• —    основные черты творческой деятельности, обеспечивающие готовность к поиску решений новых проблем;

— систему норм и отношений людей друг к другу, т.е. систему мировоззренческих и поведенческих качеств личности.

Как показывает анализ, ведущая роль в формировании указанных предметных и личностно-значимых качеств принадлежит интегративным процессам. Интеграция компонентов образования выступает как отражение единства содержательной и процессуальной сторон обучения на всех уровнях формирования системы содержания образования (уровне общего теоретического представления, учебного предмета, учебного материала, уровне педагогической действительности и уровне структуры личности).

Следует заметить, что само понятие «интеграция» в педагогической литературе трактуется по-разному. В.С. Безрукова рассматривает интеграцию как высшую форму выражения единства целей, принципов, содержания, форм организации процесса обучения и воспитания. Некоторые ученые склонны видеть в ней одну из сторон учебного процесса, связанную с объединением учебных дисциплин в комплексы или системы, результатом функционирования которых является формирование у обучаемых качественно новой целостной интегрированной системы знаний и умений.

• В.В. Кондратьев предложил следующую классификацию существующих

подходов к определению интеграционных процессов:

• — механический, предполагающий механическое сведение элементов интеграции к единому интегрирующему центру;

• — диалектический, предполагающий поиск общих закономерностей, сопровождающийся признанием качественных различий между интеграционными составляющими;

— дополнительностный, при котором единство подразумевается как необходимое условие воспроизведения целостности посредством использования взаимоисключающих данных.

М.Н. Берулава предлагает проводить интеграцию на трех уровнях: межпредметных связей, дидактического синтеза, целостности.

Самым низким уровнем интеграции является уровень межпредметных связей. Он характеризуется ассимиляцией инструментария (технического и теоретического), соучаствующего в интеграции учебного предмета с базовым предметом, каждый из которых сохраняет свой суверенитет в учебном процессе. При этом решаются такие дидактические задачи, как актуализация знаний учащихся, их обобщение и систематизация. Ведущим интегрирующим фактором выступают общие структурные элементы содержания.

Интеграция учебных дисциплин на уровне дидактического синтеза осуществляется на базе одного из учебных предметов. Доминирующей дидактической задачей на этом уровне рассматривается изучение на интегративной основе нового учебного материала, а интегрирующим фактором — общие объекты исследования, т.е. объекты техники и технологии, комплексные проблемы. На данном уровне создается возможность одновременного изучения такого объекта с позиции различных научных областей.

Уровень целостности автор определяет как высшую степень предметной интеграции, предполагающую формирование новой интегративной дисциплины. В качестве основного интегрирующего фактора выступают переходные науки. На этом уровне достигаются полная со- держательная и процессуальная интеграция в рамках образования нового целого предмета и решение всех дидактических задач.

В числе важнейших задач — определение системообразующего фактора интеграции. В.С. Безрукова предлагает в качестве системообразующих факторов идеи, явления, понятия, предмет, способные:

• —    объединить в целостное единство компоненты системы;

• —    целенаправить их;

• —    стимулировать целостное деятельностное проявление;

• —    сохранить при этом определенную и необходимую степень свободы компонентов;

• —    обеспечить саморегуляцию новой системы, ее саморазвитие.

Анализ показывает, что основанием интеграции может выступать лишь то, что способствует:

• —    формированию научного мировоззрения;

• —    использованию этого основания для изучения различных вопросов учебного курса на протяжении длительного промежутка времени;

• —    более полной реализации внутри-предметных и межпредметных связей:

• —    обеспечению прикладной и практической направленности в обучении.

Системообразующим фактором интеграции может выступать математическое моделирование, ибо оно позволяет:

• —    интегрировать математические и естественно-научные знания в процессе построения и исследования математических моделей реальных процессов и явлений;

• —    использовать интегративные формы и методы обучения;

• —    обеспечить тесную связь науки и образования;

• —    объединить компоненты образовательного процесса (личностный, процессуальный и содержательный) в систему;

• —    формировать компоненты творческого мышления;

• —    обеспечить целостность, структурность, иерархичность и динамичность знаний;

• —    обучать приемам мышления (анализ, синтез, индукция, дедукция, аналогия, абстрагирование и др.);

• —    связывать исследование объектов с аналогами в других областях, более удобных для наблюдения.

Моделирование способствует приведению частных знаний в систему и выполняет следующие функции: замещает объект изучения моделью; связывает аппарат выражения модели и решение поставленной задачи; позволяет получать сведения об изучаемом объекте; предоставляет возможность создавать обобщенную модель объекта по результатам изучения отдельных сторон оригинала; позволяет судить о реальных объектах на основании анализа, проводимого на моделях.

Моделирование является одним из наиболее прогрессивных и развивающихся методов обучения, которому органически присущи признаки процесса творчества, исследовательской деятельности и открытия обучающимися субъективно новых знаний.

Математическое моделирование можно определить как деятельность по созданию и исследованию математическими средствами моделей, выражающих существенные черты объекта, явления, процесса. Модель — это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты (А.Б. Горстко).

К классификации математических моделей специалисты подходят по-разному. В зависимости от положенного в их основу признака предлагаются классификации:

• —    по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии, экономике и т.д.);

• —    по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении дифференциальных уравнений, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.);

• —    по целям моделирования (дис-криптивные, оптимизационные, мно-

• гокритериальные, игровые, имитационные и т.д.).

Обратимся к анализу интеграционных процессов курса математики с курсами естественно-научных дисциплин.

• 1)    Математика — физика.

Между математикой и физикой существует три рода связей:

• а)    физика ставит задачи, решение которых приводит к появлению в математике новых идей и методов, а они, в свою очередь, становятся базой для развития математической теории;

• б)    применение математической теории с ее идеями и аппаратом для изучения и анализа физических явлений приводит к созданию новой физической теории;

• в)    физическая теория опирается на имеющийся математический аппарат, но последний развивается по мере его использования в физике; происходит параллельное развитие физики и математики.

Математический аппарат необходим физике прежде всего как язык для описания физических явлений, как один из методов физического исследования.

Математическое моделирование — незаменимое средство в изучении таких физических процессов, как:

• —    движение тела с учетом сопротивления среды (падение тела с учетом сопротивления среды; движение тела, брошенного под углом к горизонту);

• —    движение тел с переменной массой (полет ракеты; движение небесных тел);

• —    колебания математического маятника (колебания маятника при наличии трения; вынужденные колебания; параметрические колебания; многогранность задачи об одномерных колебаниях);

• —    движение заряженных частиц;

• —    моделирование явлений и процессов в приближении сплошной среды;

— моделирование процесса теплопроводности (уравнение теплопроводности; уравнение теплопроводности в трехмерном пространстве; начальные и краевые условия; методы конечных разностей в моделировании свойств сплошных сред) и т.д.

• 2)    Математика — химия.

В отличие от физики химия не способствовала развитию новых областей математики, а односторонне заимствовала уже готовые, ранее разработанные разделы математической науки. Следовательно, можно утверждать, что математика «действует» на химию и это есть математизация химической науки.

Исследования показывают, что чисто дедуктивным математическим путем невозможно решить все задачи химии, в то время как некоторые разделы физики поддаются дедуктивной организации.

Покажем на примерах интегративные процессы математики и химии.

К исследованию аппарата арифметики и алгебры в химии привели исследования весовых и объемных характеристик химических явлений. Так как химические процессы протекают во времени, для их математического описания можно ввести независимую переменную — время и тем самым получить возможность описывать химические явления в виде дифференциальных уравнений. Такие разделы математики, как методы линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и т.д., используются для решения задач термодинамики неравновесных процессов. Теория конечных множеств, теория графов вошли в основу методов расчетов термодинамических параметров органических реакций.

Анализ и расчет равновесий в сложных многокомпонентных системах были ранее недоступны в силу больших вычислительных трудностей, эта проблема в настоящее время стала разрешимой благодаря быстродействующим компьютерам. Аналоговые и цифровые вычислительные машины широко используются для моделирования кинетики химических процессов. Компьютеры стали интенсивно применяться для поиска оптимального пути получения (синтеза) заданного соединения по указанным характеристикам, а также для предсказания свойств химических соединений на основе знания их состава и структуры.

Геометрические образы вошли в химию с момента создания физико-химического анализа, который стал ведущим междисциплинарным методом экспери- ментального исследования по диаграммам «состав — свойство».

Теория групп стала инструментом для осуществления попытки дать интерпретацию периодической таблицы элементов с точки зрения симметрии в ней химических элементов. Теория позволяет решить и такую задачу химии, как установление правил отбора, которые определяют, будет ли данный переход между двумя состояниями разрешен или запрещен.

Развитие квантовой химии привнесло в химию некоторые математические теории: дифференциальных уравнений, матриц и определителей, операндов. Основой квантовой химии являются две составляющие: физический квантомеханический подход и классические представления химии о строении химических соединений. Первая составляющая предоставила квантовой химии весь математический аппарат квантовой механики. Волновым свойствам электрона была придана строгая математическая форма — волновые дифференциальные уравнения, а явлениям квантовой химии — матричная форма. Впоследствии была доказана эквивалентность этих двух форм.

Сейчас, пожалуй, нет области знаний, в которой не использовались бы методы теории вероятностей. Применение вероятностно-статистических методов стало традиционным во многих науках, в том числе и в химии. Теория вероятностей применяется, например, для количественного подсчета вероятности спонтанного образования белковой молекулы или молекулы нуклеиновой кислоты в соответствующий период геологического развития. Вероятностно-статистические методы легли в основу создания теории планирования эксперимента. Когда в расчетах констант равновесия появилось понятие энтропии, химики начали использовать вероятностно-статистические методы и обнаружили связь между вероятностью состояния атома, волновой функцией и энергией. С этого момента вероятность стала таким же важным понятием, как и координата электрона. Вероятностные методы позволили рассчи тать число молекул, имеющих скорости в заданных пределах.

Столь важное математическое понятие, как декартова система координат, стало инструментом в руках химиков. В большинстве случаев молекулу располагают так, чтобы ее центр тяжести совпадал с началом системы координат, это дает возможность лучше всего характеризовать свойства симметрии молекулы через описание пяти основных типов операций симметрии, которые оставляют неизменным центр тяжести молекулы. Подобных примеров использования математических методов в химии множество.

• 3)    Математика — экология.

Математические модели в экологии используются практически с момента появления этой науки. И хотя поведение организмов в живой природе трудно описать средствами математики, так как каждый из таких организмов является уникальным, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но это нормально, так как лучше «экспериментировать» на математических моделях.

Математические модели в экологии:

— помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что обеспечивает экологу анализ рассматриваемого процесса или явления;

— выступают в качестве уникального языка, с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятными;

— могут служить образцами «идеальных объектов» или идеализированного поведения, при сравнении с которыми можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы;

— действительно могут пролить свет на реальный мир, несовершенными имитациями которого они являются.

Математические модели можно использовать для изучения таких экологических вопросов, как внутривидовая конкуренция, следствия интенсивной конкуренции, межвидовая конкуренция, динамика численности популяций хищника и жертвы, последствия ядерной войны и т.п.

• 4)    Математика — география — астрономия.

Остановимся на интегрирующей роли сферической геометрии, одного из разделов геометрии, в реализации межпредметных связей с физической географией и астрономией.

Особая роль при организации такого вида работы отводится задачам межпредметного характера. Новизна подхода к их решению состоит в том, что содержание этих задач рассматривается «под геометрическим углом зрения»; учащиеся соот носят пространственные образы, сформированные у них на уроках геометрии, с физическими, астрономическими, географическими понятиями. Часто такая работа приводит к удивительному для учащихся результату: выясняется, например, что с геометрической точки зрения поверхность мыльного пузыря и эквипотенциальная поверхность электростатического поля точечного заряда соответствуют одному и тому же понятию — понятию сферы, хотя первую можно даже рассматривать, а вторую нельзя обнаружить ни зрительно, ни на ощупь.

Приведем фрагмент интегрированного урока, целью которого является реализация межпредметных связей курсов сферической геометрии, астрономии и физической географии. Очень полезно предложить учащимся заполнить такую таблицу.

№ п/п	Физическая география	Астрономия	Сферическая геометрия
	I	II	III

1 Полная поверхность Земли

2 Ось Земли

Небесная сфера

Ось мира

3 Плоскость сечения

Плоскость небесного экватора

• 4    Расстояние между двумя точками земной поверхности

• 5    Широта

• 6    Долгота

• 7    Азимут

Расстояние между двумя точками небесной сферы Склонение

Прямое восхождение

Астрономический азимут

Сфера

Прямая, проходящая через центр сферы

Плоскость, содержащая центр сферы и перпендикулярная прямой,соединяющей полюса сферы Сферическое расстояние

Угол между прямой и плоскостью

’Угол между двумя плоскостями

Двугранный угол между двумя плоскостями

Начать работу следует под руководством учителя, но основную ее часть школьники должны выполнить самостоятельно, пользуясь учебниками и справочной литературой.

Столбцы 1 и И таблицы даются учащимся уже заполненными,оформление же столбца III сначала осуществляется всем классом, с обоснованием выбора геометрического образа, соответствую щего понятиям физической географии и астрономии. После коллективного заполнения трех-четырех строк таблицы каждый ученик продолжает работу индивидуально, затем проводится проверка, обсуждаются ошибки, учитель уточняет формулировки понятий, приводимых учащимися.

Работу можно организовать и несколько иначе, предложив учащимся са- мостоятельно подобрать понятия из курсов географии и астрономии в столбцы I и II, которым соответствовал бы один и тот же, уже данный в столбце III, геометрический образ.

В литературе (А. Поликарпов) выделяются различные виды интеграции: горизонтальная и вертикальная; внешняя и внутренняя; онтологическая, гносеологическая и практическая; информационно-генеративная; функциональная и организационная. Формами интеграции выступают интегративные задания, интегративные уроки, экскурсии, специализированные курсы, факультативы и т.д.

В заключение еще раз подчеркнем положение о том, что математическое моделирование является системообразующим фактором интеграции естественно-научных дисциплин. И хотя мы уже приводили аргументы в пользу этого положения, перечислим еще несколько качеств математического моделирования, которые доказывают его системообразующее назначение:

• —    приближенность к реальной жизни;

• —    общность для всех объединяемых объектов и компонентов;

• —    способность повлиять на развитие мышления, деятельности или личности в целом;

• —    способность обеспечить индивидуальное развитие обучающихся.

Поступила 27.09.02.

МЕЖПРЕДМЕТНАЯ ИНТЕГРАЦИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ

Проблема использования интеграции в учебном процессе начальной школы важна и современна как для теории, так и для практики педагогической науки. Ее актуальность продиктована новыми социальными запросами, предъявляемыми к личности младшего школьника.

Отдельные аспекты совершенствования учебно-воспитательного процесса в общеобразовательной школе с позиции интеграции рассматривались в трудах известных педагогов-классиков (Я.А. Ко-менского, Дж. Локка, И. Гербарта, К. Ушинского); современных дидактов (И.Д. Зверева, В.Н. Данилова, Н.М. Скат-кина и др.); ученых-психологов (Н.Ф. Талызиной, Г.И. Верглеса и др.).

Межпредметная интеграция в начальной школе мало разработана, изложена противоречиво; много разногласий среди ученых в понимании сущности этого явления.

Изучение опыта интегративных процессов в педагогической практике показало, что традиционно интеграция рас сматривается как слияние содержания, методов и форм учебной деятельности в целях ее эффективности. Если межпредметная связь базируется на функционально-целевом сходстве содержания разных учебных предметов, то интеграция выражает тенденцию к объединению элементов в целое за счет взаимодополнения, уплотнения, унификации. В данном случае интеграция и синтез могут приниматься за синонимы. С точки зрения дидактики это кратчайший путь обучения, что важно в настоящее время, когда школьное образование определяется двенадцатью годами. Интегрированное обучение, выражающееся в виде интегрированных предметов и программ, понимается нами как специально организованный процесс становления целостной картины мира ученика за счет упорядочения, согласования, взаимодополнения содержания обучения научными знаниями различных учебных предметов на основе межпредметной интеграции. Узкопредметное обучение в начальной © В.В. Левченко, 2002