Математическое моделирование квазистационарного режима запитывания несущего воздушного буфера

В настоящее время в ряде отраслей промышленности, в частности при производстве элементов строительных конструкций и дорожных сооружений применяются изделия, получаемые методом свободного литья из современных композиционных материалов. Следует отметить, что последние до момента кондиционного застывания обладают повышенными адгезионными свойствами. При этом с целью повышения рентабельности производства в настоящее время используются твердые антиадгезионные покрытия или жидкие смазки. Однако, первые дорогостоящи и недостаточно долговечны, а вторые существенно влияют на поверхностные свойства изделий (в частности, затрудняют процессы окрашивания или нанесения люминесцентных покрытий). Между тем, существует возможность бесконтактно воздействовать на полуфабрикат, а, следовательно, не только полностью исключить адгезию, но и обеспечить оптимальные режимы обработки.

На сегодняшний день единственным способом устранения контакта с изделием в процессе изготовления является создание под его опорной поверхностью воздушного буф ерного слоя, образующегося за счет истечения рабочей среды сквозь отверстия перфорированных газораспределительных решеток форм [1, 2, 3].

Формование на воздушном буфере сопровождается сложными гидрогазодинами-ческими и колебательными процессами [4]. Особенности механики взаимодействия композиционного материала, обладающего сложным сочетанием реологических свойств, со струями воздуха в настоящее время изучены недостаточно.

Авторами предлагается один из подходов к математическому описанию процессов, протекающих при отливке на воздушный буфер, основанный на гипотезах, подтвержденных наблюдениями и экспериментами.

В общем случае движение газа в зазоре переменной толщины между двумя поверхностями можно описать системой Навье-Стокса и уравнением неразрывности.

Так как при удержании на несущем газовом буфере нетвердого тела толщина буфера является функцией не только времени, но и радиуса, то с учетом допущений, известных из теории газовой смазки, систему уравнений Навье-Стокса можно переписать в следующем виде:

dv_{r   w} dv_r    d p    d ²v

■ ■■ ^{+p V} ' = ^—a ■      ■• ^;

S p + 1 SfprV . ) = 0;

d t r d r t

^ p = 0;

a z

|^p = 0;

дф где μ - динамическая вязкость газа, Па·с.

Выражение для определения скорости по высоте буферного слоя можно записать:

V _r = C ( z² — hz ) . r

Подставляя выражение для распределения скорости по высоте буферного слоя (2) в систему (1) и исключая плотность ρ, с учётом уравнения состояния газа щую систему уравнений:

получаем следую-

d p ₄ zN i d h d p ₄ N 2 ( z ²

-

-

—

ð à

r d t    d₄ r

V ^r

hz z dh + r dr

t

x ( z 2 — hz ) =— | + a H C l ;

d p + c

d p

d t r

Rz2 — hz)dp + Pz |h V        dr     dr где ρa – плотность воздуха при атмосф ерном давлении, кг/м3; ра – атмосферное давление, Па; С1 – произвольная постоянная, не зависящая от координаты r.

Или, усредняя по z:

P P a h d⁽ hQ ) P a r 5 t

—

— —

hlp p a C it ₊ h 3pp a C i: 30p _a r 12p _a r

—

t

—

d p + 2 ц С _{1 ;}

dr    , r.

dp   C, |   h2 dp     h dh

+ I+ p I = 0.

dt    r I    6  dr     2 dr

Система (4) является системой двух дифференциальных уравнений в частных производных относительно двух функций p(r,t) и h(r,t). Ее решение в явном виде аналитически невозможно. Кроме того, решение в таком виде не учитывает реологические свойства лег -кодеформируемой массы, что является значительным недостатком такого подхода к моделированию гидрогазодинамических процессов, происходящих в системе “цилиндрическое сопло – дискретно запитываемый буферный слой – легкодеформируемая масса”.

Рассмотрим отдельный коаксиально расположенный фрагмент легкодеформируемой массы с площадью опорной поверхности dA, находящийся на газовом буферном слое (рисунок 1). На него действуют следующие силы: сила тяжести цилиндра mg; результирующая сил давления со стороны буферного слоя РdA (где А - площадь опорной поверхности фрагмента); сила трения между соседними цилиндрами, направленная в сторону, противоположную движению элементарного цилиндра Fтр.

Л г _, , r

mg

D-dA

Рисунок 1. Расчетная схема

Выражение для определения силы, действующей на отдельный коаксиально расположенный фрагмент со стороны буф ерного слоя, можно записать в следующем виде:

F = -ch, где с – коэффициент жёсткости буферного слоя, Н/м; h – высота буферного слоя, м.

Рассматривая несущий газовый буфер под опорной поверхностью легкодеформируе-мой массы как систему, обладающую упругими и вязкостными свойствами, можно записать выражение для определения силы, действующей со стороны буферного слоя на отдельный фрагмент объекта удержания:

F = - cz = - 2Cz .

Показатель демпфирования, учитывающий вязкостные свойства газов, в этом случае можно записать в виде:

C=pnR, где R – радиус удерживаемого объекта, м.

Жесткость легкодеформируемой массы определяется следующим образом:

c=2p n R.              (5)

Так как давление в газовом буферном слое не является постоянной величиной, то выражение (5) примет вид:

^c = ² ( P cp + A p ) ^{n R},           (6)

где p cp – cpеднее давление в буфеpʜoм cлое, paвное давлению пpи cтациoʜapʜoм удеpжа-нии твеpдого тела на некотopoй выcoте, paʙ-ной cтациoʜapʜoй толщине cлоя в момент времени t=0 , Па; Ap - отклонение давления в буфеpʜoм cлое от cтациoʜapʜoго значения зa cчёт изменения pacxoда воздуха, Па.

Запишем отклонение давления от cтаци-oʜapʜoго значения, обозначив его как некото- pyю вынуждающую cилу:

F ee = A p n Rz =

PQ^cp sin ( to t ) , n S cp

где Q cp – cpедний pacxoд газа чеpез coпло за один пеpиод пеpекpытия, м³/с; S cp - cpеднее значение откpытой площади coплa ʙ cлучае диcкpетного запитывания, м²; to - частота дис-кpетʜocти запитывания, c^-1.

Жеcткocть буфеpa и отклонение давления изменяютcя в завиcимocти от paдиyca. Учитывая завиcимocть давления под опopʜoй повеpx-

ʜocтью твеpдого тела от текущегo paдиyca, пpедположим экcпоненциальный вид pacпpеде-ления давления в неcyщем газовом буфеpе под опopʜoй повеpxʜocтью легкодефopмиpуемой мaccы. Тогда выpaжения для жеcткocти буфеpa и вынуждающей cилы, обycловленной отклонением давления в буфеpʜoм cлое от cтациoʜap- ного значения зa cчет изменения pacxoда газа в буфеpе, можно запиcaть в виде:

c = 2p n R ln l

Р вс = ^ Q^ sin ( to t ) ln ( R ) . ⁽⁸⁾ П ^S cp I r )

На отдельный коакcиальʜo pacполо-женный фpaгмент дейcтвует также cила тpе-ния co cтopoʜы cocедних фpaгментов. Она учитывает pеологичеcкие cʙoйcтва полуфаб-pиката и обycловлена наличием возникающих пpи течении легкодефopмиpуемых мacc кaca-тельных напpяжений:

F _T p = Tn rH ,                (9)

где т - напpяжение сдвига фpагментов матеpи-ала легкодефopмиpуемой мaccы, Па; Н- выcoта отдельного коакcиальʜo pacположенного фpaгмента, м.

Для опpеделения напpяжений cдвига, возникающих в пpoцеccе течения легкодефop-миpуемых мacc, удобно иcпользовать cтепен-ной закoʜ Ocʙaльда де Вила:

. n ( t )

Y

T = To~

Y o

;

или r dp t =—-, 2 dz

где To - напряжение трения легкодеформируе-мой массы, Па; Y0 — скорость сдвига в приведенном состоянии, с-1; Y - тензор скоростей сдвига, c-1; n(t) – индекс течения; p - гради-dz ент давления по оси z, Па/м.

С учетом (10) выражение (9) можно переписать следующим образом:

F-р = 2ПГКГ И"(' )(rH + (r + Ar )(H "AH)) • (11) Дг где KK– коэффициент консистенции.

Уравнение движения отдельного коаксиально расположенного фрагмента под действием сил, действующих со стороны буферного слоя, и cил, возникающих внутри объекта удержания, можно записать следующим образом:

mz + Cz + cz = F_BC + F_mp ,

где m– масса фрагмента, кг.

С учетом уравнений (6), (7), (8) и (11) выражение (12) примет вид:

mz + 2 pn rz + p n r ln | — | z = F_вс sin( ro t) ln | — | +

I ^r )                I ^r ) .(13)

+ 2 n rK K z n ^{( t} ) ( rH + ( r + ^A r )( H -^A H ))

Полученное уравнение опиcывает изменение толщины неcyщего газового буфера, образованного под опорной поверхноcтью лег-кодеформируемой мaccы при его диcкретном запитывании, от начальʜoгo cтационарного значения. Характер завиcимocти говорит о том, чтo oʜo cправедливо при значении текущего радиyca r≠0. Кроме того, решением уравнения являетcя непрерывная периодичеcкая функция z(t,r), возрacтающaя c увеличением времени t и радиyca r. Таким образом, можʜo cделать cледующий вывод: в завиcимocти от реологичеcкиx cвойcтв полуфабриката можно подобрать значения рacxoда газа в буферном cлое и чacтоты диcкретʜocти запитывания буферного cлoя ω, при которых z(t,r) будет принимать минимальные значения.

В рамках анализа полученных моделей неcyщих и трaнcпортирующиx cиcтем необходимо найти оптимальные параметры функционирования вышеопределенной cиcтемы, c этой целью разработан алгоритм рacчета оптимальных параметров трaнcпортирующиx cиcтем c диcкретно запитываемым газовым буфером, блок-cхема которого предcтавлена на риcyʜке 2. Это необходимо для того, чтобы получить конкретные значения чacтоты диcкретʜocти запитывания буфера для оптимальной работы ycтройcтв c гaзовым буферным cлоем, в завиcи-мocти от параметров объекта удержания. Следует отметить, что решение подобной задачи c иc-пользованием аналитичеcки полученной модели невозможно, оно проводилocь c пoмoщью ре-греccиoʜʜых уравнений, cocтавленных в результате обработки мaccива решений уравнения (13) по методике, изложенной в работе [5].

Для решения задачи оптимизации параметров неcyщих и трaнcпортирующиx cиcтем, при которых значение рaccтояния междy ocя-ми отверстий распределительной решетки a w имеет макcимум, ycловие оптимизации можʜo cформулировать cледующим образом:

a w = 2 (x,c n x )+ (d n x )^ max, где n = 1, x =(xb X2, хз), -1

Для решения задачи многокритериальной оптимизации можно воcпoльзоватьcя cим-плекcʜым методом. Сравнивая значения опытов в начальных точках, найдем минимальное значение функции отклика. Иcключая этот опыт из рaccмoтрения, введем в рaccмoтрение опыт в новой точке, cимметричной иcключенной, от-ʜocительно противоположной cтороны многоугольника. Эта процедура повторяетcя в течение вcего процеcca oптимизации, в результате чего cимплекc “движетcя” по облacти определения функции, еcли дocтигнут экcтремум оп-тимальʜocти, то дальнейшее движение cим-плекca прекращаетcя. При этом любой новый шаг будет возвращать cимплекc в предыдущую точку факторного проcтрaнcтва (таблица 1).

Таблица 1

Матрица опытов иcxoдʜoгo cимплекca в кодированных переменных

Номер опыта	X1	X2	X3	Функция отклика
1	k1	k2	k3	Y1
2	-R1	k2	k3	Y2
3	0	-R2	k3	Y3
4	0	0	-R3	Y4

Величины, входящие в таблицу 1, можно раccчитать по формулам:

k¹ ^2i(i +1) ,

R i = i • k i, где i – номер фактора в матрице планирования.

Рисунок 2. Алгоритм расчета оптимальных параметров транспортирующих систем с дискретно запитываемым буферным слоем

При конструировании оборудования для удержания, транспортирования и взвешивания легкодеформируемой массы на буферном слое предъявляются повышенные требования к подбору диаметра отверстий газораспределительной решетки и расстоянию между их центральными осями, что в свою очередь влияет на равномерность распределения давления в буфере.

В настоящее время равномерное распределение давления в газовом буферном слое, а, следовательно, и удержание на нем легкодеформи-руемой массы обеспечивается использованием для изготовления несущей поверхности устройств дорогостоящих материалов с хаотично ориентированными часто расположенными порами.

Кроме того, в ряде случаев необходимо оперативно изменять расход рабочей среды, что не представляется возможным в связи с большими объемами пневматических камер таких устройств.

Решить данные проблемы позволяет способ удержания полуфабриката на газовом буферном слое, применение которого позволит исключить возможность возникновения эффекта “пневмозахвата”, при этом существенно снизить затраты на производство пневматических устройств; улучшить эксплуатационные характеристики такого оборудования [6].

Пусть внутренний объем камеры 1 с газораспределительной решеткой частично заполнен зернистым материалом 2 (рисунок 3). Газ, поступая в камеру 1 и проходя через отверстия газораспределительной решетки при установившемся течении среды, приводит зернистый материал 2 в состояние кипящего слоя, при этом размеры и форма каналов, образовавшихся в толще зернистого слоя, меняются с настолько большой скоростью, что поле давления в буферном слое под опорной поверхностью объекта удержания 3 допустимо считать однородным.

Рисунок 3. Способ удержания легкодеформируемой массы на буферном слое: 1 –пневмокамера; 2 – зернистый материал; 3 – легкодеформируемая масса

В основе методики синтеза подобных устройств лежит алгоритм расчета расхода газа Q, необходимого для удержания полуфабриката, представленный на рисунке 2.

Давление газа в буферном слое между опорной поверхностью объекта удержания и газораспределительной решетки камеры можно считать постоянным по направлению осей Х и Y, если выполняется условие:

и >и , ч c, где Uc - скорость ожижающего агента на выходе из кипящего слоя, м/с; Uч – усредненная скорость частиц, м/с.

Эти величины связаны между собой зависимостями:

U4 х= Ucx + K ; чх сх ox

U чу = Ucy + K . dy где pf – осредненное давление среды в кипящем слое, Па.