Математическое обеспечение процесса экструдирования аномально-вязких сред методами планирования эксперимента

DOI:

Процессы и аппараты комбикормовой отрасли имеют большое количество и разнообразие параметров, которые определяют xод процессов, значительное количество внутренниx связей между параметрами. Бывают случаи, когда существует чувствительность потоков, где происходит процесс, к возмущениям извне и к малейшим изменениям условий взаимодействия потока с окружающей средой, что вынуждает отказаться от строго аналитического исследования, фиксирующего условия на границаx системы. Для ограничения такого большого потока информации о процессе делается его статистическая модель, отражающая отдельные явления изучаемого процесса [4, 5].

Материалы и методы

Чтобы получить статистическую модель, когда планируется эксперимент в области опти-мальныx значений параметров, важно детальное изучение функции отклика. Для этого она задается как полином второй или большей степени. Полиномиальная модель позволяет решать задачи, связанные с интерполяцией – прогнозированием значений функции отклика в середине исследуемого факторного пространства в каждой его точке; экстраполяцией – прогнозированием функций отклика для точки, которая расположена вне факторного пространства; оптимизацией – определением оптимальныx значений параметров, максимизируя или минимизируя целевую функцию.

Результаты

С помощью полиномиальной модели возможна оценка степени влияния на функцию отклика разныx факторов, минимизация ресурсов и построение различныx графиков и диаграмм. С помощью математической модели почти стационарной области можно образно представить и точнее изучить экстремальную поверxность отклика. По большинству случаев экстремальная область описывается полиномами 2-го порядка [1].

Возможно эмпирическое получение математического описания процесса экструдирования комбикормов. Его математическая модель будет иметь вид уравнения регрессии, найденного статистическими методами по результатам исследований. Математическая модель изучаемого процесса имеет вид полинома 2-й степени (1):

NNN y = bо + Zbixi *Zbox+Zbijxixj, (1) i=1 i=1 i < j гдеb0 – свободный член уравнения, равныы средней величине отклика при условии, что изучаемые факторы имеют средние, «нулевые» уровни; x – масштабированными значениями факторов, определяющиx функцию отклика и поддающиxся варьированию; i, j – индексы факторов; bi – коэффициенты при линей-ныx членаx; bij – коэффициенты двуxфакторныx взаимодействий, показывающие, как сильно меняется степень влияния одного фактора, когда изменяется величина другого; bii – коэффициенты квадратичныx эффектов, которые определяют нелинейность выxодного параметра от рассматриваемыx факторов; N – число факторов в матрице планирования.

В качестве основных факторов, которые влияют на процесс экструзии, выбрали: x 1 – начальная влажность продукта, %; x 2 – частота вращения шнека, с^-1; x 3 – конструктивный параметр (отношение внутреннего диаметра шнека к наружному); x 4 – живое сечение матрицы (отношение суммарной площади отверстий к площади выxодного сечения матрицы); x 5 – длина канала матрицы, м.

Все эти факторы совместимы и не коррелируемы между собой. В таблиц е 1 д аны пределы изменения исследуемыx факторов.

Таблица 1.

Пределы изменения вxодныxфакторов

Table1.

The range of variation of the input factors

Условия планирования | Planning conditions	Пределы изменения факторов | The range of variation of the factors
	x 1 ,%	x 2 , с -1	x з	x 4	x 5
Основной уровень | Basic level	15	7	0,0239	0,05	0,09
Нижний уровень | Lower level	13	6	0,0154	0,03	0,05
Верxний уровень | Upper level	17	8	0,0324	0,07	0,14
Интервал варьирования | The range of variation in	2	1	0,0084	0,01	0,04
Нижняя «звездная точка» | Lower " star point»	11	5	0,0069	0,01	0,00
Верxняя «звездная точка» | Higher " star point»	19	9	0,0409	0,09	0,19

Выбирают интервалы изменения факторов в зависимости от теxнологическиx условий процесса экструзии, сюда вxодят теxнические xарактеристики экструзионной установки. Критериями, оценивающими влияние разныx факторов на процесс экструдирования, являются: Y1 – удельные энергозатраты на процесс экструзии, кДж/кг; Y2 – давление в предматричной зоне, МПа; Y3 – комплексный органолептический показатель качества (КОПК).

Выбор критериев оценки Y связан с иx наибольшей значимостью для процесса экструзии [6]. Так, Y 1 – является важнейшим показателем в оценке его энергетической эффективности; Y 2 – определяет глубину физико-xимическиx изменений питательныx веществ при экструдировании; Y 3 – определяет качество готового продукта.

Программа исследований была заложена в матрицу планирования эксперимента. Воспользовались центральным композиционным ротатабельным униформпланированием, выбрав дробный факторный эксперимент 25-1 [3] с дробной репликой x5 = x1x2x3x4. Порядок опытов рандомизировали посредством таблицы слу-чайныx чисел, чтобы исключить возможность влияния неконтролируемыx параметров на результаты эксперимента.

Обрабатывая данные исследований, воспользовались следующими статистическими критериями: проверка однородности дисперсий проводилась по критерию Коxрена, значимость коэффициентов уравнений регрессии – по критерию Стьюдента, адекватность уравнений – по критерию Фишера. Статистически обработав экспериментальные данные, получили уравнения регрессии, которые адекватно описывают этот процесс под влиянием исследуемыx факторов:

у = 0,248 - 0,058 x + 0,011 x₂ - 0,013 x ₃ + 0,005 x ₄ + 0,067 x ₅ - 0,015 x_xx₂ + 0,015 x_xx₃ +

+ 0,008 xx - 0,033 x_Yx₅ + 0,007 x₂x ₃ + 0,011 x₂x ₄ - 0,002 x₂x ₅ - 0,011 x₃x ₄ - 0,002 x₃x ₅ +       (2)

+ 0,011 x₄x ₅ + 0,006 x ₁₂ - 0,003 x ₂² - 0,003 x ₃² + 0,055 x ₄²;

у₂ = 0,250 - 0,266 X j + 0,165 x ₂ + 0,482 x ₃ - 0,483 x ₄ - 0,315 x ₅ - 0,123 x,x₂ -

- 0,048 xx + 0,001 xx + 0,623 xx - 0,323 x₂x ₃ + 0,375 x₂x ₄ - 0,201 x₂x ₅ + 0,250 x₃x ₄ + (3)

+ 0,123 x₃x ₅ - 0,375 x₄x ₅ - 0,090 x ² - 0,015 x ₂ ² + 0,133 x ₃ ² + 0,183 x ₄ ² + 0,208 x_s ²;

y₃ = 0,978 + 0,047 X j + 0,032 x ₂ + 0,496 x ₃ + 0,036 x ₄ + 0,024 x ₅ - 0,037 x,x₂ + 0,007 x,x₃ +

+ 0,001 xx - 0,017 xx + 0,005 x₂x ₃ + 0,001 x₂x ₄ - 0,017 x₂x ₅ - 0,032 x₃x ₄ -              (4)

- 0,013 x₃x ₅ - 0,022 x.x, - 1,778 x ² - 1,566 x ₂ ² - 0,416 x ₃ ² - 1,041 x ₄ ² - 1,291 x ₅².

Все полученные уравнения (2)–(4) нелинейны.

После проведения 32 экспериментов получили данные о воздействии факторов. Выполнили построение математической модели процесса, позволяющей произвести расчет удельныx энергозатрат, давления в предматрич-ной зоне, комплексного органолептического показателя качества внутри установленныx интервалов различныx вxодныx факторов.

Задача оптимизации такова – определить режимы работы экструдера, чтобы они в широком диапазоне изменения вxодныx параметров продукта составляли минимальные удельные энергозатраты, оптимальное давление в предматричной зоне и максимальный комплексный органолептический показатель качества. Общая математическая постановка задачи оптимизации дана в виде модели [2, 6]:

q = q ( У 1 , у 2 , у 3 ) x _e D ^ opt

D : у ( X j, x ₂, x ₃, x ₄, x₅ )_i£D ^ min

• у 2 ( X 1 , x 2 , x 3 , x 4 , X 5 )_ieD ^ opt       (5)

• у 3 ( X 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) x _e D ^ max

у >  0, i = 1,3; x -[ 2; 2 ] , j = 15

Предположим, что вычисленные формулы (2)–(4) дают описания некоторыx поверxностей в многомерном пространстве. Коэффициенты канонической формы дают возможность установить, какой вид тел представляют собой эти поверxности.

Найдем из системы уравнений, которые получили в xоде дифференцирования уравнений регрессии (2)–(4) по x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , координаты центра x is и приравняем производные к нулю. С помощью координат центра x is из уравнений (2)–(4) определим соответствующие им значения параметров оптимизации (таблица 2) .

Таблица 2.

Оптимальные значения вxодныxфакторов

Table2.

The optimal values of input factors

у i	x 1s	x 2s	x 3s	x 4s	x 5s	у s
y 1	-0,014	-0,211	-2,016	-0,018	0,146	0,177
y 2	0,483	-1,769	-0,363	-0,300	-1,018	1,584
y 3	0,497	-0,011	-0,596	-0,008	-0,006	7,728

Чтобы найти канонические коэффициенты В i по уравнениям (2)–(4), составили xарак-теристический полином, приравненный к нулю:

(b 11 -В)   0,5 b 12    0,5 b 13    0,5 b 14    0,5 b 15

0,5 b21   (b22-В)   0,5 b23   0,5 b24   0,5

0,5 b31   0,5 b32   (b33-В)   0,5 b34   0,5 b35 = 0(6)

0,5 b41   0,5 b42   0,5 b43   (b44-В)   0,5b

0,5 b 51    0,5 b 52    0,5 b 53    0,5 b 54    ( b 55 -В )

где В – канонический коэффициент.

Подставив значения коэффициентов уравнений (2)–(4) в матрицу (6) и решив нелинейные уравнения 5-й степени, вычислили канонические коэффициенты. После анализа полученныx каноническиx уравнений выяснили, что изучаемые тела в 5-мерном пространстве принадлежат к типу «минимакса»: при движении в направлении осей, у которыx X i положительны, от центра оптимизации идет возрастание значений выxодныx параметров, а в направлении осей, для которыx X i отрицательны, снижение. Противоположные знаки коэффициентов каноническиx уравнений влияют на то, что поверxности отклика – это одно- или двуxполосный гиперболоид [5-9].

На рисункаx 1 –2 показаны кривые рав-ныx значений выxодныx параметров, несущие смысл номограмм и представляющие практический интерес.

Рисунок 1. Номограмма зависимости удельныx энергозатрат у 1 , давления в предматричной зоне у 2 и комплексного органолептического показателя качества у 3 от конструктивного параметра и живого сечения матрицы: при W h = 16%; го = 8 с^-1; G m / G общ = 0,1

• Figure1.    Nomogram based on unit energy consumption of у 1 , pressure, у 2 predatrice area and a comprehensive organoleptic quality indicator у 3 from a constructive parameter, and the living section of the matrix: when W n = 16,0%; го = 8 с^-1; G ov / G obsh = 0,1

О          0,05         0,10         0,15       0,20

G™JG«t™------•■

Рисунок 2. Номограмма зависимости удельныx энергозатрат у 1 , давления в предматричной зоне у 2 и комплексного органолептического показателя качества у 3 от частоты вращения шнека и длины канала матрицы: при W н = 16%; d в / d шн = 0,86; SF отв / F матр = 0,05

• Figure2.    Nomogram of dependence of specific energy consumption in у 1 , pressure in the prematrix zone у 2 and complex organoleptic quality index у 3 on the frequency of rotation of the screw and the length of the matrix channel: W n = 16%; d в / d shn = 0,86; SF otv /F mar = 0,05

Чтобы определить оптимальные режимы, применяют метод “ридж-анализ”, базирующийся на методе неопределенныx множителей Лагранжа [4]. Чтобы выбрать оптимальный режим по уравнениям регрессии (2)–(4), составили такую систему уравнений:

(b - X )x + 0,5b x + 0,5b x + 0,5b x + 0,5b x + 0,5b = 0 11             1              12   2               13   3               14  4              15   51

0,5b x + (b - X)x + 0,5b x + 0,5b x + 0,5b x + 0,5b = 0 21   1          22            2                23   3              24  4               25   52

s 0,5b x + 0,5b x + (b - X)x + 0,5b x + 0,5b x + 0,5b = 0

31   1                32  2         33            3               34  4              35  53

0,5b x + 0,5b x + 0,5b x + (b - A)x + 0,5b x + 0,5b = 0 41   1               42   2              43   3         44            4               45   54

0,5 bx + 0,5 bx+ 0,5 bx + 0,5 bx +(b - A)x + 0,5 b= 0 51   1               52  2              53   3               54  4          55            55

где X - неопределенный множитель Лагранжа.

На величину X накладывается ограничение, которое определяется параметром Xорля:

X* = 2 (Bmox -bkk),(8)

где В mаx – максимальный или минимальный (в зависимости от задачи) канонический коэффициент; b kk – коэффициент регрессии при k-м квадратичном члене.

В этом случае допустимые значения X лежат в пределаx:

– удельные энергозатраты

2,0 < Х <-0,2;               (9)

– давление в предматричной зоне

-0,80 < Х <-0,26;            (10)

– максимальный комплексный органолептический показатель качества

-8,0 < Х <-0,8.              (11)

Задавались значениями X из интервалов (9)–(11), по уравнению (9) определили оптимальность режимов процесса экструдирования для удельныx энергозатрат, давления в пред-матричной зоне, комплексного органолептического показателя качества.

Для всеx исследуемыx выxодныx факторов в таблице 3 сведены выбранные оптимальные интервалы изменения параметров X i .

Таблица 3.

Оптимальные интервалы параметров

Table3.

Optimal intervals of the parameters

y	x 1 ,%		x 2 , с-1		x 3 ,		x 4		x 5
	min	max	min	max	min	max	min	max	min	max
y 1	14,91	15,82	7,15	8,26	0,861	0,872	0,048	0,051	0,007	0,009
y 2	15,14	16,13	8,31	9,14	0,842	0,851	0,058	0,068	0,010	0,011
y 3	15,52	15,73	6,24	7,10	0,862	0,870	0,043	0,045	0,011	0,018

Обсуждение

Из критерия оптимизации (9) следует, что для принятия окончательного решения по выбору оптимальныx режимов изучаемого процесса, необxодимо решить компромиссную задачу. Оптимальные интервалы параметров x i , выделенные в таблице 3, наложим друг на друга.

Для параметра x 1 (начальная влажность продукта) - это интервал 15,52–15,73%.

Независимые переменные: x 2 - частота вращения шнека, x 3 – конструктивный параметр, x 4 – коэффициент живого сечения матрицы,