Метод эллиптических центроидов в управлении эффективностью технологических процессов

Управление энергоемкими технологическим объектами предполагает, чтобы соответствующее управление не только обеспечивало ведение технологического процесса в рамках технологического регламента, но и обеспечивало повышенную эффективность процессов. Достижение высокой эффективности процессов может быть осуществлено на основе двух стадий управления. На первой стадии осуществляется приведение режимных параметров в рамки технологических допусков на основе факторных или иных зависимостей показателей производительности и объемов потребления ресурсов от режимных факторов. На второй стадии управления обычно осуществляется стабилизация режимных параметров в рамках технологических допусков при действии различных возмущений.

Обе стадии управления в настоящее время хорошо изучены по данной проблематике имеется обширная литература [1–5]. Однако современное производство требует достижения повышенных показателей производительности в рамках технологических допусков. Данная задача в настоящее время исследована недостаточно. Для ее решения в работе предлагается метод, основанный на выделении целевых областей повышенной производительности в пространстве режимных параметров.

Методика оперативного выбора значений управляемых параметров

Допустим дано множество режимных параметров технологического объекта

^{ x i : i e I }.                                                                                                                (1)

Данное множество параметров разбивается на две подгруппы: управляемые параметры и не- управляемые,

{ ^x i : i e I у }, { x i : i e I н ^}.

Формируется индексное множество всевозможных упорядоченных пар параметров

I c = {( i , j ): ( i , j ) e I x I }.                                                                                      (3)

Предположим, что режимные параметры в области технологических допусков представляют собой случайные величины. В рамках технологических допусков выделяется области повышенного качества на основе кластеризации. Далее определяются центры каждого эффективного кластера и производится центрирование режимных параметров.

Для описания областей повышенного качества будем использовать представление данных областей в виде эллипсов для каждой упорядоченной пары параметров ( x i , x j ). Кроме того, находятся коэффициенты линейной регрессии K ij , в зависимости параметров x i , x j.

С этой целью нормализации представления области повышенного качества производится за- мена переменных:

У 1 = b 11 x l + b 12 x 2 ,

У 2 — b 21 X l + b 22 X 2 .

Метод эллиптических центроидов в управлении эффективностью технологических процессов

Формулы замены переменных: a) i = j, b11 = 1,       b12 = 0,

^b 21 = 0,         ^b 22 = 1;

• б)    i * j ,

  b 11

  
  

  s ij

  Ji + K Z ■

  
  

  b 12

  
  

  s ij K ij

  V¹+ K j ’

  
  

  ^b 21 =

  
  

  K ij

  Ji + K?

  
  

  ^b 22 =

  
  

  s ij

  K

  
  
  
  

Вводятся дискриминантные функции эллиптических центроидов: a) i = j ,

4 < ri Ro2;(7)

° i

• б)    i * j ,

• + y2- < rj R 2.(8)

° ° j

В нормализованном виде дискриминантные функции представляются системой неравенств fj (xi, xj ) < 0,    (i,j) e Ic.(9)

Здесь a) i = j, fj (Xi, Xj) = y - ri Ro2;(10)

° _i

б) i * j , fj(xi, Xj) = y2 +    -rR2.(11)

° i

Базовая задача состоит в выборе значений управляемых параметров {xi: i e Iу} при задан ных значениях неуправляемых параметров {xi: i e Iн}.

С этой целью формулируется квадратичная невязка решения системы неравенств (9) n_n_,2

E c = EE ( fy(.^x i , ^x j ) ) , i = 1 j = 1

^ ^f j ^{( x} i , ^x j ), при ^f j ^{( x} i , ^x j ) >  0;

где ( f j ^{( x} i , ^x j ) ) ⁺ =<

_v ^0, при f j -^{( x} i , ^x j ) <  0.

На допустимые значения параметров накладываются ограничения в виде неравенств x ™ⁿ<  x i <  x i max ,    i e I .

Квадратичная невязка ограничений (14):

n—^               +2

Ex2 =£1 - x + x,min    + x - x,max x     iiii i=1 ^

Общая невязка решения неравенств (9), (14) формулируется в виде штрафной функции

E ₀ ² = E c² +X E 2 .

Ставится задача: найти допустимое значение управляемых параметров по критерию минимума невязки ограничений (12) при условии, что неуправляемые параметры в рамках заданных ограничений стремятся напротив обеспечить максимум указанной невязки. Формально данная задача может быть представлена как минимаксная задача математического программирования:

Л.С. Казаринов, Т.А. Барбасова min max E„2 ({x, : i e I}), при min {xeI y}{ xe Iн} V             ’         {xeI}

E x ² ( { x : i e I } ) .

Решение задачи (17) будем осуществлять градиентным методом. В этом случае рекуррентное соотношение алгоритма решения задачи будет иметь вид:

v.               ( v. V,-

^A 1 x i = fa ~+ + 2 f j b l 1 “2 + b 21 “

°i   i=1    (   °i       ° j )

j * i

^A 2 x i

n

= 2 fj¹

i = 1

j * i

b 12

V

^Vi^ + b

O 2    ‘

Vj )

²²_C2 ° j )

A3xi = X ((-xi - xK + xT)+ + (xi + Xc - xmax)+),

^Xi , k + 1 = x i , k ^- Y ( ^A 1 x i ^{+ A} 2 x i ^{+ A} 3 x i ) .

Если рекуррентный процесс сходится, то в результате получаем обобщенное решение задачи (17). При этом возможны два случая.

В первом случае полученное решение удовлетворяет всем неравенствам постановки задачи. Здесь необходимо на основе итерационной процедуры повторного решения задачи (17) последовательно уменьшать величину R02 до получения несовместной системы неравенств. Минимальная величина R02 , при которой система неравенств совместна, определяет искомое решение зада- чи в целом.

Во втором случае полученное решение не удовлетворяет всем неравенствам системы. Здесь на основе итерационной процедуры повторного решения задачи (17) последовательно увеличивают величину R ₀ ² до получения совместного решения. Минимальная величина R ₀ ² , при которой система неравенств совместна, определяет искомое решение задачи в целом.

Выводы

Представленный метод эллиптических центроидов целесообразно рассматривать как основу экспертной системы поддержки управления эффективностью производственного процесса. Он используется в качестве советчика технологическому персоналу для осуществления поддержания управляемых факторов в области повышенной эффективности.

В работе предложена методика оперативного выбора значений управляемых параметров и анализа рисков принятия неэффективного решения и риска пропуска эффективного решения.